2024-2026年高考数学试题分类汇编：平面向量（解析版）

1.(2026•全国I卷高考真题)已知平面向量a,6不共线，^2a+yb=xa-3b,则()

A.x=2,y=-3B.x=-2,y=3C.x=2,>'=3D.x=-2,y=-3

【答案】A

【分析】由平面向量基本定理可得.

【详解】由题意可知平面向量。泊不共线，且2a+M=xa-3b,

x=2

则,•

y=-3

2.(2026・北京・高考真题)已知向量。，力满足卜-〃|=2,。=(2,0),则"的最大值为(•

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解.

【详解】因为卜一4=2,且〃=(2,0),则k|=2,

所以W=〃一,-/，4,+a-b=2+2=4,

所以当反向时，代取最大值为4.

3.（2026•全国11卷•高考真题）已知,+可=1,卜一方卜百，则〃力二（）

A.；B.—C.——D.--

2332

【答案】D

【详解】由卜+可=1,得,+b『=l,

所以（4+人）~=1,即〃2+246+户=]；

由卜_目=6,得,―/?『=3,

所以仅一4=3,^d2-2db+b2=3.

两式相减,得4（•方=-2,

所以«/?=-1.

LLIUUIU.IU

4.（2025.北京・高考真题）在平面直角坐标系xQy中，\OA\=\OB\=y/lt|A3|=2.设C（3,4）,则|2C4+A3|

的取值范围是（）

A.16,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

【答案】D

【分析】先根据=-。4，求出〈0408〉，进而可以用向量0408表示出2CA+/W，即可解出.

【详解】因为|。4|=|。例=应，|AB|=2,

由A8=O8—OA平方可得，OAOB=0,所以〈Q4,OB〉=].

2CA+AB=2（OA-OC）+OB-OA=OA+OI3-2OC,|oc|=V32+42=5,

所以，\2CA+AB^=0A~+OB2+4OC2-^OA+OB^OC

=2+2+4x25-4（QA+03）.0C=104-4胸+。孙OC,

又|：OA+OB）OC|WOA+O制。。卜5x7171=10,即—10V（O4+O8）OCW10,

所以12cA+e[64,144],即12cA+Aqw[8,12],

故选：D.

5.（2025・上海・高考真题）已知数列｛q｝、也｝、｛%｝的通项公式分别为。“=10〃-9,5=2"、，

%=2/+（1-团2.若对任意的4e[0,l],4、。、c”的值均能构成三角形，则满足条件的正整数〃有（）

A.4个B.3个C.1个D.无数个

【答案】B

【分析】由q=T“+（l—4）么可知G范围,再由三角形三边关系可得可也,q的不等关系,结合函数零点解

不等式可得.

【详解】由题意4也£＞（）,不妨设也）,

三点均在第一象限内，由%=①+（1-2地“可知，BC=2M2G[0,1],

故点C恒在线段A3匕则有min{a“也}Wc〃Wmax{/也}＜为+".

即对任意的％qo』，％〈可+”恒成立，

令10x-9=2”,构造函数/（』）=2"—10%+9,工＞0,

则？（力=2^In2-10,由f\x）单调递增,

又f'（3）〈0，r（4）＞0,存在%w（3,4）,使八孔）=0,

即当0＜x＜/时，r（x）＜0,f（x）单调递减；

当时，/。）＞0,/"）单调递增；

故f（x）至多2个零点，

又由/⑴＞0J（2）＜0,/（5）＜0,/（6）＞0,

可知/（用存在2个零点，不妨设不为在V%），且王£（1,2）,左€（5,6）.

①若可£口,即）0〃一942"时，此时〃=1或〃＞6.

则%4加42，可知成立，

要使生、a、c”的值均能构成三甭形，

所以4+c”＞久恒成立，故“＜2%,

所以有1120/y7-l9e＜i2M），解得…；

②若％,2勿，即10M—9之2"时,此时"=2,3,4,5.

则可知/+%＞々成立，

要使勺、a、c.的值均能构成三角形,

所以b“+c„＞可恒成立,故4“V2〃，

所以有CO解得〃=4或5；

综上可知，正整数〃的个数有3个.

故选：B.

6.(2025・全国I卷・高考真题)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测H的结果在航

海学中称为视风风速.视风风速对应的向最是真风风速对应的向最与船行风风速对应的向量之和，其中船行

风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对

应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示：线段长度代

表速度大小，单位：m/s),则该时刻的真风为()

级数名称风速大小(单位：m/s)

2轻风1.6〜3.3

3微风3.4〜5.4

4和风5.5〜7.9

5劲风8.0-10.7

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

【答案】A

【分析】结合题H条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量,

得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.

【详解】由题意及图得，

视风风速对应的向量为：，2=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),

视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,

船速方向和船行风速的向量方向反，

设真风风速对应的向量为〃I,船行风速对应的向量为公，

・,・〃=%+%,船行风速：n2=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

**•〃]=〃-％=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),

n,|=7(-2)2+22=2夜=2.828,

・••由表得，真风风速为轻风，

故选：A.

7.(2024.北京.高考真题)设j1是向量,则“(，+双。工)=0"是或0=尸的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向鼠数最积分析可知(。")(〃〃)=。等价于同=忖，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为,+〃)•,—方)=/一/#=0,可得J=〃2,即时=忖，

可知(〃+匕)(〃_〃)=0等价于|4=|同，

若力或£="可得同=忖,即,+.)•()工)=0,可知必要性成立;

若(〃+0)•(♦-匕)=0,即同=瓦无法得出a=b或〃=-〃，

例如。=(1,0)]=(0,1),满足同=忖，但a4且〃工-〃，可知充分性不成立；

综上所述，”("方)(1-6)=0"是“£=一《或£=♦’的必要不充分条件.

故选:B.

8.(2024•全国甲卷•高考真题)设向量a=(x+l㈤力=(x,2),则()

A.“x=-3”是“4JL〃”的必要条件B."x=1+百”是,，aIlb”的必要条件

C.“x=0”是的充分条件D.。=-1+百”是“打力”的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当a_L很时,则a石=0,

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

不jC,当x=0时，«=(l,O),6=(O,2),故a.b=0，

所以£_L九即充分性成立，故C正确；

对B,当时，则2(x+l)=f,解得％=i±G，即必要性不成立，故B错误;

对D,当x=-l+G时，不满足2U+1)=W,所以〃〃力不成立，即充分性不立，故D错误.

故选:C.

9.(2024.新课标H卷.高考真题)已知向量a,〃满足同=1,卜+2*2,且仅-2a)_L〃，则小()

A.；B.也C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由(〃-2a)_Lb得=2。4，结合忖=1,卜+20=2,得1+41.1+4广=1+6]=4，由此即可得解.

【详解】因为伍—2a)_Lb,所以仅一2〃”=0,即〃2=2〃/，

又因为忖=1,，+20=2,

所以1+4。力+4h=1+6b=4»

从而M=q.

故选：B.

10.(2024•新课标I卷高考真题)已知向量a=(0/),b=(2,x),若bt(b—4a),则-=()

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为皿。一甸,所以岳仅一句=。，

所以-4«/j=()*'lJ4+x2-4x=0»故/=2,

故选：D.

11.(2025♦全国n卷•高考真题)1多选)双曲线C:二/>0)的左、右焦点分别为耳、F,左、

a"2

右顶点分别为4,4，以66为直径的圆与。的一条渐近线交于M,N两点，且/N4,M=多，则()

6

B.\M\\=2\MA\

A.ZA]MA2=^2

c.。的离心率为D.当“二&时，四边形儿*"&的面积为8次

【答案】ACD

【分析】由平行四边形的性质判断A；由甲且|"O|=c•结合M在渐近线上可求”的坐标，从而可

判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得c?=13/，计

算后可判断C的正误，或者利用需=5=后并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面

积后可判断D的正误.

【详解】不妨设渐近线为yM在第一象限，N在第三象限，

对于A,由双曲线的对称性可得AM4N为平行四边形，故幺刃4,=兀-•=3

66

故A正确：

对于B,方法一：因为M在以耳外为直径的圆上，故且|MO|=c,

%：+4-/

设M(天,)，o),则，故(")=：，故M&J_AA2,

&=2[y()=b

•%a

则ccs/MC4=q,又因为以耳耳为直径的圆与C的一条渐近线交「/、N,则OM=c,

c

则若过点“往X轴作垂线，垂足为〃，则|O"|=c•色=。=|。闺，则点”与4(H)重合，则M&_Lx轴，则

C

1^1=7?-^=/?,则..AHM为直角三角形，且NAM”.，则2叫|二两惚|,

方法三：在.OMA?利用余弦定理知，|M4j=QM「+|O4「-2|OM||Q&gs/MQ42，

叫叫「=c2+/-2ac?=〃，则=

则为直角三角形，且NAM&=g，则21M4』=用M4,「故B错误；

6

对于C,方法一：因为MO=；(MA+M4),故4MO,=M4：+2MA，M4+M4/,

由B可知|M4|=4|MA|=¥方，

故4c，=b2+-b2+2xbx^^-bx—=—b2=—(c2-fl2)即c2=13/，

33233、)

故离心率6=内，故C正确；

方法二：因为咨*=<■=&，则2=26,则e=£=J1+2=川+(2扬2=屈，故C正确；

|AA2|2aaa\a'

对FD,当〃=&时，由C可知e=JB,故c二底,

故/>=2而，故四边形"MA.为2S&MM=2x；x2〃x2及=84，

故D正确，

故选：ACD.

12.(2026•天津•高考真题)已知|4=。"=1,忖>1,记c=初+曲.当a+力—d=0时，％+〃=,

当卜+〃一c|=l时，义+〃的取值范围为.

【答案】2[1,3]

【分析】第一空：利用工〃+/和a+5-c=6得出4和〃的值，即可得出结论；

第二空:解法一:将c=M+W代入|。+〃-4=1得|(1-4)。+(1-〃)司=1,展开,令-y=l-/z,

5=工+九代入并整理，得出S2=l—(f2—])y2«],即可求出的取值范围.

解法二：设a=(1,0),/?=(1,/)，，/0,根据卜+8一4=1可设c=(2+cosa/+sin。)，进而可得之+〃=2+cos〃,

即可得取值范围.

1L1LUUUU11

解法三：不妨设。=。4=(1,0),b=OB=(\,t),c=OC、。。=〃+。=(2万，可知点。在直线1

上，且点C在以。(2,。为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.

【详解】由题意，

\a\=ab=\,|^|>Hc=/U+〃b，

第一空：

当〃+Z?—c=0时，c=a+b=Aa+^ib,

/.2=//=1,

2+/z=2.

第二空：

解法一:将八而十〃〃代入,+八c|=l得|。一九"+(1_〃)同=1,

两边平方，得：[(1-4)。+(1-〃)力]=1,

222

展开：(1-A)\a|+2(1-A)(l-ju)db+(1-p)\bf=\f

代入Ia1=1,ab=\»记

(1-2)2+2(1-2)(1-/z)+r2(I-//)2=1,

令x=T,y=l-〃，s=x+y,

则原式变为：x2+2xy^+t2y2=\,

配方得：x2+2xy+ry2=(x+y)?+(/-\)y2=52+(r2-l)y2=1,

由于r>b(/2-l)r>0,因此52=l-(/2-l)y2<1,

即Is区1,解得sw[-1,1],

24-//=2-5G[2-1,2-(-1)]=[1,3],

因此，义+〃的取值范围为：U，3],

解法二：因为同=42=1,1卜1,

不妨设4=(1,0),Z>=(1,/),/*0,则:+/)=(2j),c=Aa+]ub=(A+//,///),

若卜+力—，=1,设c=(2+cose,z+sin0),

贝i]/l+〃=2+cosew[l,3].

解法三：因为闷=。包=1,忖＞1,

/、1iiiu

不妨设。=04=(1,0),人=04=(],/),/HO,即点3在直线x=l上,

UUUII

且c=OC，OD=a+b=(2,t),

I*I*1

因为c=Aa+〃〃=(2+〃,〃/),

若兀+〃=〃?，可知点C在直线x=，〃上，（或直接由三点共线的结论可得出），

若卜+。-4=1,即「4=1,可知点C在以。（2,1）为圆心，半径为1的圆上，

则圆。在直线x=l和x=3之间，可得1K〃?K3,即丸+〃目1,3].

所以4+4的取值范围为[1,3].

13.（2024.上海.高考真题）已知keR,a=（2,5）,〃=（6,&）,且〃/区，则&的值为.

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】“//,/.2攵=5x6,解得々=15.

故答案为：15.

14.（2026•上海•高考真题）在VABC中，。、E在边BC上,且BO=OE=EC，卜4=1，4）与AE所成

的夹角为1,则AB•AC的最大值为.

【答案】一去

32

【分析1先利用4。与AE表示AB、AC，再将转化为AO与AE的计算，进而求解.

【详解】,AB=AD+DB=AD+ED=AD+EA+AD=2AD-AE

AC=AD+DC=AD+IDE=A。+2（OA+A£）=-AD+2AE

ABAC=（2AD-AE）-（-AD+2A£）=-21AD|2+5AO.AE-aAE|2

v|AD|=l,AO与AE所成的夹角为方

4c=-2+半卜目-2|4E『

令卜后卜/>0,则AB・AC=_2/+|f_2=_2（f_1）-|1,r>0

当|A目时，A8MC的最大值为一,•

11o32

39

故答案为：一石.

15.（2026・上海・高考真题）已知a=（x,3）,/?=（4,6）,若〃〃匕，则％=.

【答案】2

【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.

【详解】因为。〃〃，所以xx6-4x3=0,即6x-12=0,解得工=2.

故答案为：2.

16.（2025•天津・高考真题）VABC中，D为AB边中点,CE=^-CD,AB=d,AC=bt则从七=（用〃，

力表示），若|4E|=5,AE1CB,则A£CD=

1-2-

【答案】；—15

63

【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.

【详解】如图，

11/■■I2・

因为=所以AE—AC=2(AO-AC),所以AE=±AD+'AC.

3333

]一2一1・2■

因为。为线段AB的中点，所以乂石=工48+彳4。=工。+7九

6363

22

乂因为%E|=5,AE_LCB,所以AK=fLa+2/?[=-d+-ab+-b=25^

(63J3699

A£C8=(；〃+：b](a—：〃=0,所以J+3a.b=4z/

\OO/。乙D

所以1+4。包=180,

所以4七.8=(t4+|8)「―/?+；4)=542+：46_|〃2=a(02+246_802)

=5(/+2a-b-2a2-6«Z?)=-4«/?j=-15.

故答案为：:;匕；—15.

63

1,x>0

17.(2025・上海・高考真题)已知/(幻=0,x=0,°、仄3是平面内三个不同的单位向量.若

-1,x<0

ri1rrr

f(db)+f(bc)+f(ca)=0,则|a+b+c|的取值范围是

【答案】(1,75)

【分析】利用分段函数值分类讨论，可得{/(。6)，小・，)，/(「4}={T0」}，再根据数量积关系设出a,8c

坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.

【详解】若=f,c)=/(aa)=0,则a・6="c=c>a=0,

又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a,九c两两垂直，显然不成立；

故，Je・c)，/(c")卜{T04}.

j\ab]=\

不妨设，/仅。)=0,则a/>0,8.c=0,c.«<0,

f(ca)=-\

不妨设〃=(l,0),c=(0,l),a=(cos<9,sin[0,2K),

,,ab=cos。>0,,,(3,I

则•/1Z则。w7兀2n,

ca=sine<0\2)

则,+/?+cl=|(l+cos0,1+sin创=J(l+cosef+(l+sine)。=j3+2cose+2sine

=，^+2&sin(〃+3,

\4

l：|0e—71.211,0+—e—n,—n,

【2)4(44,

7TfV2\/2

则sm(e+w)e--—»—2V2sin(6>+^)G(-2,2)

故1+〃+0k（1,石）.

故答案为：（1,6）.

18.（2025•全国n卷高考真题）已知平面向量”=。,1）力=。-1,2外,若。_1（。-〃），则|。|=

【答案】丘

【分析】根据向量坐标化运算得G-〃=（l1-2x）,再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】a-h=（\,\-2x）,因为al（a-b）,则a.（a-Z?）=0,

则工+1-2x=0,解得x=l.

则值=（1,1）,则

故答案为：＞/2-

19.（2025・上海・高考真题）在平面中，白和电是互相垂直的单位向量，向量。满足,一狷卜2,向量。满

足1一64卜1,求。在。力向上的数量投影的最大值.

【答案】4

【分析】设OA=&OB=。，根据题意，求得A£所在圆的圆心前半径：再根据数量投影的意义，数形结合

即可求得结果.

【详解】根据题意不妨设录=（1,0）,1=（0,1），〃=（.%），），8=（列〃），

则〃-46|=（x-4,y）,Z?-6^2=（/zz,z»-6）,

由卜一4q卜2可得（工―4/+'=4,由1—6/卜］可得"p+（〃—6/=I；

设0A=4,08=〃，故从在以弓（4,0）为圆心，2为半径的圆上；

“在以G（。，6）为圆心，1为半径的圆上；

过8作8D_L0A于。，则即为〃在〃上的数量投影，如下所示:

因为A4分别为两圆上任意动点，不妨固定B,则0B为定长，

设u,b=e,即NAOA=®,故Qq=|O8|cos0,

因为此时|。耳为定长，且e=N4Q4vl80。，

故随着。的减小，cos。增大，直至。4恰好与圆G相切时，取得最大值，如下所示:

在。4与圆C1相切的基础上，移动点儿过G作GE~LOA于E,故|OQ|=|O£|+|印;

在公a4。中，ZC,AO=90°,£A=2,OC]=4,

HZAOC,=30°,ZC2OE=60°,因为|OG|=6,

故在直角三角形GOE中，\OC^=2\OE\,则OE=3,即依胃二|。目+|叫=3+1回；

在四边形皿比4中，因为NDEG=NC20=90。，故。目&忸G|=1，

当且仅当8C2//OE时等号成仁从而［0。|=3+|即《3+1=4.

综上所述：〃在。方向上的数量投影的最大值为4.

故答案为：4.

【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，•是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点A,4,采用

一定一动的处理策略，从而求解最大值.

20.(2025・上海・高考真题)已知a=(2,l)/=(l,x),若a〃〃，则工=

【答案】1/0.5

【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】由a〃b得2x—l=0,解得x=；.

故答案为：.

21.(2024・天津・高考真题)已知正方形A8CO的边长为1,DE=2EC,BE=ABA+pBC,其中4〃为实

数，则2+〃=:设/是线段8E上的动点，G为线段从'的中点，则人尸.OG的最小值为.

45

【答案】?1

(\UllUUU1UUUULU

［分析］解法一：以｛BA.BC\为基底向最，根据向晟的线性运算求,即可得之+〃,设斯=4跖，求DG.

结合数量积的运算律求AQOG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求8E，即可得九+〃，

/、F11LlLMlUUl

设F(a,-3a),ae--,0,求AF,DG，结合数艮积的坐标运算求4尸•QG的最小值.

【详解】解法一：因为CE=-£>E,^CE=-BA,则8E=8。+。£=上胡+8。，

233

■4

可得％=W，〃=1，所以2+〃=q;

由题意可知：Wq=%d=i.zM/c=o,

因为尸为线段跳：I••的动点，设8F=kBE=g284+Z8CMe[0,l],

则4尸=AB+B/=AB+ZBE=(gk-l]BA+ABC,

则OG=£M+4G=-BC+；AF=d^-1B4+(gk-lBC,

又因为G为"'中点,

uJ^AFDG=

又因为左«0,l],可知：当Z=1时，入F-OG取到最小值二:

IO

解法二：以4为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(T0),6(0,0),C(0,l),£>(Tl),《q,l)

可得胡=(_1,0)取=(0,1),⑻=卜；,1),

f,1

因为跳：=/lB4+〃BC=(TM，则彳3,所以义+“不

因为点尸乍线段BE：V=-3x,xw--,0上，设尸(。,一3。),。£-—,0

且6为的中点，则G(g,j),

可得AE4+-3G),OG=(等,一"",

则A".OG=^^-+(_3a)(_|a_l)=5(a+|)一得，

且〃w-；，。，所以当。二-1时，AFOG取到最小值为-3;

_J」31o

故答案为：945

31o

22.（2026•全国1卷高考真题）已知在VA8c中，AB=3,8。=26，cosfi=—.

3

⑴求cosA；

（2）设。，E两点满足：。在8A的延长线上，DE//BC,AE±AC.若DE=R,求CE.

【答案】⑴;

（2）375

【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边AC,再用余弦定理求cosA；

（2）建立坐标系，设出点。坐标，由平行关系得点E的坐标，利用垂直条件求参数，由OE长度解出/,

再计算CE.

【详解】⑴在VABC中，"=3,BC=28,cosB=—

3

由余弦定理可知AC?=AB2+8C2-2AB-8C-COSB=9+12-2X3X2GX^=9,

3

AB^+AC--liC-9+9-126_1

故AC=3.再由余弦定理得cosA=

2-AB-AC2x3x3T8~3

（2）以A为原点，A8为x轴止方向建立平面直角坐标系如图:

则A(0,0),6(3,0),由AC=3,cosA=；^C(l,2&).

。在阴延长线上，设4>=/>0,则。（T,0）,BC=（-2,2点），DEI/BC,

设力£=2(-2,2x/2),则E(-t-2%2岳).

由4石_LAC,WAE-AC=0»Ak(-22)x1+(2>/22jx2>/2=0=>-/+6A=0=>2=^

于是。£=囚・卜。卜(*26=4：.

已知DE=>/6，则t=>/6=/=3V2，则2=.

32

代人得E(-4立2),而C(l,2收),

故CE=7（1+4X/2）2+（2>/2-2）2=J（33+8/）+（12-8a）二例=35

22

23.（2025・天津•高考真题）己知椭圆*+£=1（。>b>0）的左焦点为凡右顶点为A,尸为工=。上一点,

1々

且宜线PF的斜率为3，.PE4的面积为,，离心率为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点夕的直线与椭圆有唯一交点4（异于点A）,求证：PF平分ZAFB.

【答案】⑴工+二=1

43

（2）证明见解析

【分析】（I）根据题意，利用椭圆的离心率得到〃=2c,再由直线P/的斜率得到加=c,从而利用三角形

的面积公式得到关于。的方程，解之即可得解.；

（2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得上，进而得到直线/有的方程与点8的坐标，法■：利用向

展的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法

四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.

【详解】（1）依题意，设椭圆，+£=1（〃>〃>0）的半焦距为J

则左焦点尸（-C，。），右顶点AQO）,岗心率e=±=7,即。="，

a2

因为尸为X=4上一点，设

又直线P厂的斜率为:，则若'=:，即旦=:，

3。一(t)3a+c3

所以二一二:，解得m=c,则尸3c),即P(2c,c),

2c+c3

3

因为的面积为5，\AF\=a-(-c)=a+c=3cr|m\=c,

Ii3

所以s尸用=K|AF|M=]X3CXC=3，解得c=l,

川a=2c=2,b2=a~-c~=3»

(2)由(1)可知P(2J),尸(TO),4(2,0),

易知直线心的斜率存在，设其方程为），="+〃?，则1=象+〃?，即m=1-23

y=kx+m

22

联立工+J消去丁得，(3+4/)/+8h*+4〃，-12=0,

43

因为直线与椭圆的唯咬点，所以△=（欧•〃）-4（3+45）-（4布-12）=0,

即止一＞+3=0，则软2_。_2行+3=0,解得攵=一；，则〃!=2,

所以直线网的方程为y=-gx+2,

解得则呜,

联立《

y=T2

以下分别用四种方法证明结论:

FAFP3x3+lxO_3>/10

cosZ.PFA=HH3件+『二=，

则cosNBFP=cosNPFA,乂NBFP/PFAG(0,-),

2

所以N5PP=NPE4,即尸产平分乙4所.

2-0i-oi

法二：所以4__2_____3，kpF=g=},A“=()，

42-(-1)3

--0

\_

由两直线夹角公式，得tanN8FQ=-,tanZ.PFA3_

31+03

则lanNBFP=tanNPFA,乂NBFP、ZPFAe(0,-),

2

所以4FP=NPE4,即尸产平分乙4ra.

13

法三：则tanNPE4=〃"=-,tanZBFA=k=-

3rB4

2tanZPF4书

3

故tan2ZPM-=tan4BFA

l-tan2ZPE44，

又N8O,NPE4e(0.工),

2

所以NBFP=NPE4,即尸/平分NAfB.

法四：则4

1-(-1)4

所以直线心的方程为y=j(x+l),即3x-4y+3=0,

|3x2-4xl+3|

则点P到直线FB的距离为d=6+R)2=1，

又点P到直线E4的距离也为1,

所以尸产平分/4所.

24.(2025・上海・高考真题)已知椭圆「:1+工=1(。＞石)，”(0,〃?)(机＞0),A是「的右顶点.

a5

(1)若「的焦点(2。，求离心率e；

(2)若a=4,且「上存在一点P,满足AP=2PM，求〃?；

(3)已知A例的中垂线/的斜率为2,/与「交于C、D两点,NC7仍为钝角，求〃的取值范围.

【答案】(1)|

⑵加

⑶(氐而)

【分析】(1)由方程可得从=5,再由焦点坐标得。，从而求出。得离心率；

(2)设点P坐标，由向量关系AP=2PM坐标化可解得P坐标，代入椭圆方程可得加；

(3)根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线/方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不

等式再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得。范围.

【详解】(1)由题意知，「:£+亡=1(〃＞有)，则〃=5,

由右焦点(20)，可知c=2,则〃=j5+c2=3,

c2

故离心率。=一=一.

a3

(2)由题意44,0),M(0,m)(m＞0),P(xp,yP)

由"=2PM得，，=2,”2yJ

解得P4，争，代入£+^=1，

33165

得1+叫1=],又〃7>0,解得,〃=加.

945

⑶由线段AM的中垂线/的斜左为2,所以直线AM的斜率为-；,

w—0解得r，

0^7~~2

由A（〃,O）,M（O,］）得人用中点坐标为，

故直线/：y=2x-；3a,显然直线/过椭圆内点弓3〃,0）,

48

故直线与椭圆恒有两不同交点，

设Ca，y),设孙必)，

由(>X4“消V得(4a?+5)¥-3aA+—a4-5a2=0,

小+的』/16

9Jq2

由韦达定理得X_3次_武7”,

I丙一4)+5

因为NCMZ）为钝角，则MCMOvO，且“（。，自，

则仃xix2+(y—3)(%一5)v°，

J5a)«5、252,八

，所以玉工2+2%|---2/------=5X)^2----。(z内+%2)---"4<0，

k4八4)216

即5V，-5«2^-^x3«'+y^«2(4«2+5)<0

解得/<11，

又"75，

故石<〃<布，即〃的取值范围是（石，而）.

25.（2024.新课标n卷.高考真题）已知双曲线。：丁一丁二〃?（，〃>0）,点4（5,4）在。上，k为常数,

0<^<I.按照如下方式依次构造*E,(〃=2,3,...)：过匕T作斜率为攵的直线与C的左支交于点。”…令匕为

。,川关于y轴的对称点，记巴的坐标为(4,耳).

(1)若衣=；,求々，y2；

乙

Jr

(2)证明：数列｛七-”｝是公比为言的等比数列；

(3)没S”为冏,2的面积，证明：对任意正整数〃,S『S"\.

【答案】(1)占=3,%=0

(2)证明如下：

方法一：由于过己(七,”)且斜率为左的直线为-玉)+券，与/一)f=9联立，得到方程

22

x-(A:(x-xw)+y„)=9.

展开即得0-阴——243-5)>(稣一5)2—9=0,由于与(%”)己经是直线)，=M"一再)+),“和

/一丁=9的公共点，故方程必有一根”=%”

从而根据韦达定理，另一根=2双日五,相应的

i-K

所以该直线与C的不同于pn的交点为Q.(2女丁丁工必备2然］,而注意到Q”的横任标亦可通过

i1—K1-K)

一()‘"一履”『一9

韦达定理表示为,故2,一定在c的左支上.

(i*

(乙+汽£_26〃券+公”-2米“

所以IM

l-k2

这就得到乙,产土耳+也，唔学二

所以…T二"当普

J”+2%+2乜然+公然+2枕1+公+23、/+2

1-k21-k2-l-k2("y^~\-k

再由x；-才=9,就知道％-)-0,所以数列｛/-”｝是公比为㈠的等比数列.

1-K

方法二：因为9,(4,y,30(-小“加3%=一子三则—=/+I+，-%/+)'"

"I…1'儿'Ixn+i+xn+yn+l-yn

22c

由于，,作差得（小「加）（％+）3）=（玉-片）&+然），

“nyn

工向一）'川一5+），”一凡+_七讨一”+

,利用合比性质知%+11_x“+”1+♦+）'“_HA

与一"％/一券+%

yn+y”+ir+1+y“+i+i+y“+i-

因此｛%”-必｝是公比为空■的等匕数列.

1-k

（3）证明如下:

方法一：先证明一个结论：对平面上三个点UMW,若UV=（a,b）,uvv=（c,d）,则S“w=：依/-闻.（若

u,v,w在同•条直线上，约定5加，=0）

证明：scos2UV,UW

uvuw