北师大版高一数学（必修第一册）集合的含义与表示（讲义）（原卷版+解析）

知识点01集合与元素的相关概念

1.元素与集合的概念

（1）集合：一般地，我们把的全体称为集合，通常用大写字母表示.

（2）元素：集合中的叫作这个集合的元素.元素常用小写字母。力,c,…表示.

（3）元素的特性：、、.

【即学即练】

I.2025年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些？

并说明你的理由.

（1）你所在班级中全体同学；

（2）班级中比较高的同学；

（3）班级中身高超过178cm的同学；

（4）班级中比较胖的同学；

（5）班级中体重超过75kg的同学；

（6）学习成绩比较好的同学.

知识点02元素与集合的关系

关系语言描述记法读法

属于。是集合A中的元素一a属于集合A

不属于〃不是集合A中的元素—a不属于集合A

【即学即练】

1.用符合“e”或“史”填空.

（1）设集合A是小于6的所有实数组成的集合，则5五A，V2A；

(2)设集合B是满足方程x=/?+l(〃为正整数)的实数x组成的集合，则3_5,5—B;

(3)设集合C是方程y=f的有序实数对(x,y)组成的集合，则一1C,(-U)C.

知识点03常用的数集及其记法

3.常用的数集及其记法

正整有理

常用的数集自然数集整数集实数集

数集数集

记法

【即学即练】

1.下列关系：①0.3£Q：②;任Q；③卜6|任N；④卜其中不正确的个数为().

3

A.1B.2C.3D.4

知识点04集合的表示方法

1.列举法

(1)定义：列举法是把集合中的元素______出来写在花括号飞}.'内表示集合的方法.

(2)书写形式：一般用集合表示为{4"。，).

温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：

(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；

(2)元素不重复；

(3)元素间无顺序；

(4)“{}”表示“所有”、“整体”的含义,不能省略

2.描述法

(1)定义：通过_______表示集合的方法叫作描述法.

(2)书写形式：____________

温馨提示：用描述法表示集合，应注意：

(1)应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用

一个有序数对来表示.

(2)若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围.

(3)多层描述时，应当准确使用“且''和"或"，所有描述的内容都要写在集合内.

【即学即练】

1.用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；

(3)rh1〜20以内的所有素数组成的集合；(4)方程丁-4=0的所有实数根组成的集合；

2.用描述法表示下列集合：

⑴被3除余1的所有自然数组成的集合；

(2)比1大乂比10小的所有实数组成的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.

知识点()5区间

1.一般区间的表示

设，，。是两个实数，而且规定如下表:

定义名称符号几何表示

闭区间

{x\a<^<b]—ab

开区间——0o-------►

{x|«<x<Z?}—ab

左闭右开区间

—ab

{x\a<x<b}左开右闭区间ab

这里实数方都叫作相应区间的端出

2.特殊区间的表示

定义R｛小法｝{x|x>a){扑3}｛小V。｝

符号—————

【即学即练】

1.将下列集合用区间以及数轴表示出来:

(l)｛x|x<2｝;

(2)(x|-1<X<01<x<5｝；

(3小12Mx48且"5｝；

(4)｛x|3<x<5｝.

题型01集合的基本概念

【典例】下列对象不能组成集合的是（)

A.不超过20的质数B.兀的近似值

C.方程《=1的实数根D.函数y=F,的最小值

判断指定的一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都

能确定它是不是给定集合中的元素.

【变式1】以下各组对象不能组成集合的是（）

A.中国古代四大发明B.地球上的小河流

C.方程7=0的实数解D.周长为10c川的三角形

【变式2】（多选题）下列各对象可以组成集合的是（）

A.比1大的全体实数

B.江西师大附中2025届全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.中国著名的数学家

【变式3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象：

①接近于0的数的全体：

②比较小的正整数的全体；

③平面上到点。的距离等于1的点的全体；

④直角三角形的全体.

其中能构成集合的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

题型02求集合中元素的个数

【典例】已知集合A={0」,2},则集合），WA}中元素的个数是（）

A.1B.3C.5D.9

确定集合中元素的个数的方法是枚举法，即逐一列举出它的所有元素，其中重复的元素只能算一个，最

终再统计出元素总的个数.

【变式1】若集合人={-1，2},4={0,1},则集合{z|z=x+），,xeA_ywA}中的元素的个数为

A.5B.4C.3D.2

【变式2】已知集合.4={1.2.3）,5={（xy）|x€4yeJ、e/）,则5中所含元素的个数为

A.2B.3C.4D.6

【变式3】已知集合知="€%口=8-6},〃?eN,则集合M中的元素的个数为（）

A.7B.8C.9D.10

题型03判断元素与集合的关系

1.直接法

【典例1】以下表示元素与集合的关系中正确的是（）

A.Ow。B.3.14任Q

C.（一1,1）£卜|），=%2}D.（-1,1）G（U,y）b,=^2}

如果集合中的元素是直接给出或容易求得，则利用直接法判断元素在已知集合中是否出现即可.

【变式1】下列说法正确的是（）

A.2025万ERB.V2eZC.D.OGN'

J

【变式2】已知集合A={1,2},8={/-），2|4”力，则下列判断错误的是（）

A.IeBB.Oe£?C.3eBD.-3eB

2.推理法

【典例2】已知集合4=卜卜=34-1,々£2},8=次卜=3女+1,〃£2},。={乂1=3上忆€2},且

aeA,beB,ceC,贝ij（）

A.2aBB.2b^AC.a+beCD.b+c^A

（1）时于一些没有直接表示的集合，只要判断该元索是否满足集合中元索所具有的特征即可，此时应首

先明确己知集合中的元素具有什么特征.

（2）利用推理法判断一个对象是不是某个集合的元素，首先要明确已知集合的元素具有什么属性，即该

集合的元素要符合哪种表达式或满足哪种条件，然后判断此对象是否也具有这种属性，从而确定该元素与已

知集合的关系.

【变式。集合P={x|x=2&#wZ},Q={xk=2*+l,keZ},R={xk=4&+l,&£Z},且〃即为Q,则有

（）

A.a+b?PB.a+b?QC.a+bwRD.a+0不属于RQ.R中的任意一个

【变式2】已知集合4={2〃?+6小?€2.〃£必，则（）

A.石任AB.-2+5®AC.4GAD.-1+2GCA

【变式3】已知非空数集M具有如下性质：①若则2eM；②若wM,则x+昨例.下列说

y

法中正确的有（）.

A.-IGA/.B.2025wM.

C.若x,ywAY,则Aye".D.若x,yeM,则x-yGM.

题型04数集与点集的辨析

【典例】下列六种表示法：①{3=-1,)，=2卜②((■y)|x=-l,y=2}：③{-1.2卜@(-1.2)：⑤((一

1,2)}；⑥{(x,y)|x=-l或y=2}.

lx+y=0

能表示方程组二八的解集的是()

x-y+3=0

A.①②③④⑤⑥B.②③④⑤

C.②⑤D.②⑤⑥

•般地，数集的代表元素用•个字母表示，点集或二元一次方程组的解集的代表元素用有序实数对表示.

..,4,2x+y=0

【变式1】（多选）有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组，八的解集的是（）

x-y+3=0

.(x=-1

A.{(x,y)k=T或尸2}B.{(x,y)l<.

C.｛x=-l,j=2｝D.｛（T，2）｝

【变式2］（多选）下列关丁集合的描述，正确的是（）

A.偶数集用描述法可以表示为｛Hx=2A,&eZ｝

B.方程组广：；：；的解集可表示为｛（-1,2）｝

C.方程丁-2=0的解构成的集合，用列举法可表示为卜夜,也｝

D.集合｛#+y=l｝与集合｛小+>=1｝交集为空集

题型05选择适当的方法表示集合

【典例】用适当的方法表示下列集合:

（I）一年中有31天的月份的全体;

（2）大于-3.5小于12.8的整数的全体；

⑶梯形的全体构成的集合；

⑷所有能被3整除的数的集合；

集合的常用表示方法有列举法和描述法.

(1)列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且使人一目

了然.但对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，此时常用省略号

来表示多个元素.

(2)用描述法表示的集合，认识它一要看集合中竖线左边代表元素是什么形式;二要看竖线右边元素满足

什么条件.对无限集(集合中元素个数无限)或元素较多的有限集宜用描述法表示.

【变式I】用列举法表示集合卜£力国+A(0>-5｝为一.

【变式2】图中阴影部分(含边界)的点组成的集合〃用描述法表示为8=

【变式3】用适当的方法表示下列集合：

(1)整数中由所有非负奇数组成的集合；

(2)由所有小于1()的既是奇数又是质数的自然数组成的集合;

(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；

(4)方程x2-4x+16=0的实数解组成的集合.

(5)方程组｛「的实数解集.

x+y=2.

题型06利用元素与集合的关系求参

1.利用分类讨论思想求解

【典例1】举例说明：设集合M中含有三个元素3,x,

(1)求实数X,应满足的条件；

(2)若4i求实数％的值.

互异性是集合中元素的重要特性之一，解决此类含参数的问题时，求出a的所有可能值之后，必须代回原

集合进行检验.

1.若一3€卜/一3,2。-1,42-1},则4的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【变式2】若集合八二{〃2十93"2,8},则实数。的取值可以是()

A.2B.3C.-4D.5

【变式3】已知集合人={1,|〃—+且2e4,则实数。的值为.

【变式4】已知集合4={1,2,3},8={1,m,m+2},若2-〃蚱4,则实数

2.利用根的判别式或韦达定理求解

【典例2]已知集合A={x|ax2+2x+l=0}.

(1)若A中没有任何元素,求实数a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素,求实数a的取值范围；

⑶若A中至少有一个元素,求实数a的取值范围；

(4)若A中至多有•个元素,求实数a的取值范围.

解决含参数、其代表元素是一元二次方程的解的集合有关问题时，可将求字母的范围转化为研究方程

根的情况的问题，即研究根的判别式的符号，对于某些二次项系数为字母参数的方程，还要分类讨论方程的

类型.

【变式I】若集合A={x[(a+l)x2+4x+l=0}中恰有一个元素，则实数。的值是.

【变式2】若非空集合M4山2-2x+〃?=(UeR}不是单元素集，则其中所有元素之和S=.

【变式3】已知集合4={1£4(。一1)/一2刀+1=0},。为实数.

(1)若集合A是空集，求实数。的取值范围；

(2)若集合A是单元素集，求实数。的值；

(3)若集合A中至多有一个元素，求实数。的取值范围.

题型07集合中的新定义问题

【典例】设集合P={3,4,5},。={6,7},定义Pg）Q={（mb）\a^P,b^Q},则中元素的个数

为（）

A.3B.4C.5D.6

解决集合中的新定义胭，耍耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求逐步

分析、运算、3佥证，使问题得以解决

【变式1】设夕={1，2,3,4},Q={4,5,6,7,8},定义P»Q={（a,b）\a^P,b£Q,（州,则P*Q

中元素的个数为（）

A.4B.5C.19D.20

【变式2】设集合A={-2,1},B={-1,2},定义集合AOB={x|x=xi及，内£A,x2EB},则中所

有元素之积为（）

A.-8B.-16C.8D.16

【变式3】设A是整数集的一个非空子集，对于kwA,如果攵T/A且左+1仝A,那么左是A的一个“孤立

元"，给定S={1,2,3,45.6},由S的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（）个.

A.14B.16C.18D.20

【变式4】当一个非空数集G满足“如果a/wG,则a-b,abwG,且g0时，£eG”时，我们称

b

G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则

2O2OeG；③集合P={x|x=2A,AeZ}是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

题型08集合中的开放探究题

【典例】已知集合A的元素全为实数，且满足：若。£人，则匕

\-a

（1）若。=2,求出A中其它所有元素；

（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数。£4,再求出A中的所有元素？

集合离不开元素,元素是集合的核心，因此解决有关集合中的探索性问题时，可以从集合中的元素入

手，作为解题的切入口，同时还需注意集合中元素的互异性.

1+a

【变式1】已知数集M同时满足以下条件：①M中不含元素一I,0,1；②若a£M,则则下列

结论正确的是（）

A.集合M中至多有2个元素B.集合M中至多有3个元素

C.集合M中至少有4个元素D.集合M中有无穷多个元素

【变式2】已知集合2=*£1\1个£凡0<小<20、写出一个满足集合至少有5个元素的加的

值：.

【变式3]设A是非空实数集，且（）任A.若对于任意的乂）逢月，都有邛£4，则称集合A具有性质R；若

X

对于任意的x，ywA,都有一CA,则称集合A具有性质鸟.

（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质P}的集合4

（2）若非空实数集A具有性质且，求证：集合A具有性质々.

一、单选题

1.在“①难解的题目；②方程f+1=0在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多

多项式”中，能够组成集合的是（）

A.②@B.①③C.②④D.①②④

2.已知集合4=国丁-2x=0}.则（）

A.{0}eAB.22AC.{2}eAD.OeA

3.已知集合4={可-2<,1<4},B={x|—2<x<5},若"A,且aeB,则“的取值范围是（）

A.{x\-2<x<4]B.{x|4<x<5}

C.{x|4<x<5|D.{x|4<x<5}

4.下列各组集合中表示同一集合的是（）

A.4={2,1},8={1,2}

B.4=｛（3,-2）｝,B=｛（-2,3））

C.4=｛2「3｝,B=｛（2,_3）｝

D.4=｛（x,y）|x-y=l）,8=｛），|x-），=l｝

5.已知集合4=｛1,=3々-1,攵£2｝,8=„=34+1M£2｝,。=卜忖=3&乂£2｝,RaeA,be^ceCt则

（）

A.2aB.2b^AC.a+beCD.b+c&A

6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们

把函数.y=［x］（x€R）称为高斯函数，其中国表示不超过x的最大整数，如口1"=-2,则点集

P=｛«刈印2+［才=1｝所表示的平面区域的面积是（）

A.4B.2C.6D.1

二、多选题

7.下面四个说法中正确的是（）

A.10以内的质数组成的集合是｛2,3,5,7｝

B.由2,3组成的集合可表示为｛2,3｝或｛3,2｝

C.方程丁-44+4=0的所有解组成的集合是｛2,2｝

D.。与｛0｝表示同一个集合

8.己知非空数集S满足：对任意给定的（X、），可以相同），有/+），eS且x-ywS.见下列选项正

确的是（）

A.OGSB.若2eS,且5W则ZqS

C.S不可能是有限集D.若S中最小的正数为5,则5=｛乂工=5太壮2｝

三、填空题

9.已知集合4=｛4a=x2+y2",），€N｝,其中乐V可以相同，用列举法表示集合A中最小的4个元素所构

成的集合为.

10.用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为

四、解答题

12.请用适当的方法表示下列集合：

(1)20的所有质因数

(2)满足大于3且小于的实数构成的集合

(3)所有4的倍数

(4)一次函数丁=一穴+3与y=2x+6的图像的交点组成的集合;

(5)二次函数y=f-2x+4的函数值组成的集合.

13.已知集合例=卜卜一〃乂/一点+4-])=()}.

⑴若〃=3,求集合M；

(2)若集合用中各元素之和等于3,求实数〃的值，并用列举法表示集合

14.已知集合A有三个元素：。-3,2a-1,片+1,集合4也有三个元素：0,1,x.

(1)若—3eA,求a的值；

⑵若工建8,求实数x的值；

G)是否存在实数〃，X，使集合A与集合〃中元素相同？

15.己知有限实数集A={4，%，，a“}(〃22,〃wN),若％+4++q=4%可，则称A为“和积平衡集”.

⑴分别判断集合P={1,2}、集合。={-1,-应,&T2夜+2}是否为“和积平衡集”；

(2)已知集合M为“和积平衡集“，且M=N'，请用列举法表示集合M(不需要说明理由)；

⑶已知实数％儿若集合{乂升为•，和积平衡集“，是否存在实数z满足z2=x)，，并且使得卜y,z}为，，和积平

衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数z,若不存在，请说明埋出.

知识点01集合与元素的相关概念

1.元素与集合的概念

⑴集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写字母AIC,…表示.

（2）元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素.元素常用小写字母〃力c…表示.

（3）元素的特性：确定性、无序性、互异性.

【即学即练】

1.2025年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些？

并说明你的理由.

（1）你所在班级中全体同学；

（2）班级中比较高的同学；

（3）班级中身高超过178cm的同学:

（4）班级中比较胖的同学；

（5）班级中体重超过75kg的同学;

（6）学习成绩比较好的同学.

【答案】能构成一个集合的是（1）（3）（5）,理由见解析.

【分析】从集合中元素的确定性入手进行判断.

【解析】班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合.

（2）因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合.

（3）因为“身高超过178cm”是确定的，所以可以构成一个集合.

（4）因为“比较胖''无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合.

（5）囚为“体重超过75kg”是确定的，可以构成一个集合.

（6）因为“学习成绩比较好''无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合.

知识点02元素与集合的关系

关系语言描述记法读法

属于。是集合A中的元素Aa属于集合A

不属于，不是集合A中的元素a一4a不属于集合4

【即学即练】

1.用符合或W填空.

(1)设集合A是小于6的所有实数组成的集合，则5&____A,V24：

(2)设集合B是满足方程x="+i(〃为正整数)的实数x组成的集合，则3_5,5_B;

(3)设集合C是方程y=V的有序实数对*,),)组成的集合，则.]c(_]/)C.

【答案】(1)史w(2)史w(3)史e

【分析】若元素在集合内，则填“e”，若元素不在集合内，则填加''.

【解析】(1)因为5上＞6,所以5血£A；因为血＜6,所以6£4.(2)因为〃为正整数，所以/+1工3,

所以3史5;当〃=2时，2?+1=5,所以(3)因为集合C中的元素是有序实数刈，而“不是数对，

所以一1任。，而(—1/)是有序实数对，且(-1)2=1,所以(―Ll)cC.

知识点03常用的数集及其记法

3.常用的数集及其记法

正整有理

常用的数集自然数集整数集实数集

数集数集

记法

【即学即练】

1.下列关系：①0.3£Q；②;€Q；③卜6|右N；④卜J5|EQ洪中不型舱J个数为().

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先化简各数，再作判断.

【解析】因为O，£Q,|-6|=6e/V.|-x/3|=V3^Q,所以正确的序号只有①，即不正确的个数

为3.故选C.

知识点()4集合的表示方法

1.列举法

(I)定义：列举法是把集合中的元素一一列举出来写在花括号“/}”内表示集合的方法.

(2)书写形式：一般用集合表示为{a/,c,}.

温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：

(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；

⑵元素不重复；

(3)元素间无顺序；

(4)"{『'表示"所有”、“整体”的含义，不能省略

2.描述法

(1)定义：通过描述元索满足的条件表示集合的方法叫作描述法.

⑵书写形式：｛X及X的范围IX满足的条件｝.

温馨提示：用描述法表示集合，应注意：

(1)应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用

一个有序数对来表示.

(2)若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围.

(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.

【即学即练】

1.用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程Y=x的所有实数根组成的集合；

(3)由1〜20以内的所有素数组成的集合；(4)方程4=0的所有实数根组成的集合；

【答案】(1)｛0,1,2,345,6,7,8,9｝；(2)｛0,1｝；(3)｛2,3,5,7,11,13,17,19｝：(4)｛-2,2｝.

【分析】根据各小题中的对集合的元素的描述，确定集合的元素，然后写在大括号内，便得到其列举法表

示.

【解析】(1)小『10的所有自然数为0，1，2,3,4,5,6,789,用列卷法表示它们构成的集合为

｛0,1,2,3,4,5,6,78,9｝；

(2)由/=%解得工=()或工=1,所以方程/=%的所有实数根为。和1,用列举法表示所有实数根组成的

集合为｛04｝：

(3)1-20以内的所有素数为235,7,11,13,17,19,用列举法表示它们组成的集合为｛235,7,11,13,17,19｝；

(4)方程丁-4=0的所有‘支数根为-2,2,用列举法表示它们组成的集合为｛-2,2｝.

2.用描述法表示下列集合：

⑴被3除余1的所有自然数组成的集合；

(2)比1大又比10小的所有实数组成的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.

【答案】⑴何x=3〃+l,〃wN｝；⑵｛xllvxvl。｝；(3)｛(x,y)lxy=O｝

【分析】按照描述法的规则表示集合即可.

【解析】(1)被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为｛NX=3〃+1,〃WN｝；

(2)比I大又比10小的所有实数组成的集合可表示为｛mvx<10｝；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为｛Ey)l盯=0｝.

知识点05区间

1.一般区间的表示

设。，力是两个实数，而且规定如下表:

定义名称符号几何表示

{x\a<x<b]闭区间m,i)iab

-----oo-----

{.r|«<.r<Z?}开区间(a，b)ab

左闭右开区间ab

——Q・-------►

{x\a<x<b]左开右闭区间(。，ab

这里实数m〃都叫作相应区间的逢息

2.特殊区间的表示

定义R{x\x>a]{小>0{x[x<a}｛小V。｝

符号(—8,+8)[a,+s)(a,+s)(—8,a](—8,a)

答案：任意一个数x唯一确定自变量x伏幻反£A｝[a,b][a,b)

【即学即练】

1.将下列集合用区间以及数轴表示出来：

(l)[x|x<2｝:

(2)｛x|-l<X<0flgl<x<5｝；

⑶且x/5｝；

(4)｛x|3<x<5｝.

【答案】答案见解析

【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案.

【解析】(1)｛划><2｝用区间表示为(YO,2),用数轴表示如图:

--------1------►

02x

(2)｛为|一1。<0或1"工5｝用区间表示为(T0)D[1,5],用戮轴表示如图:

(3)任|2〈工48且不工5｝用区间表示为[2,5)D(5,8],用数轴表示如图:

~0~258^

(4)｛划3〈”5｝用区间表示为(3,5),用数轴表示如图:

03~~5x

题型01集合的基本概念

【典例】下列对象不能组成集合的是（）

A.不超过20的质数B.几的近似值

C.方程『=|的实数根D.函数），=*,x£R的最小值

【答案】B

【分析】分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案.

【解析】人、一不超过20的质数，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合：

B、冗的近似值，无法确定元素，不满足集合元素的确定性和互异性，故不可以构造集合;

C、方程f=|的实数根为-1,1,满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；

D、函数），=/,x£R的最小值为0,满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合;

故选：B.

判断指定的一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都

能确定它是不是给定集合中的元素.

【变式1】以下各组对象不能组成集合的是（）

A.中国古代四大发明B.地球上的小河流

C.方程『-7=0的实数解D.周长为10s?的三角形

【答案】B

【分析】根据集合元素的特点：互异性、确定性、无序性，判断各选项即可.

【解析】对于选项4中国古代匹大发明是指指南针、造纸术、印刷术、火药，满足集合元素的特征，构成

集合；

对「选项&地球上的小河流，没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，

故地球上的小河流不能组成集合.

对干选项C方程7=0的实数解为±77,满足集合元素的特征，构成集合：

对干选项6周长为10。〃的三角形也有明确的判断标准，满足集合元素的特征，构成集合；

故选：B.

【变式2】（多选题）下列各对象可以组成集合的是（）

A.比1大的全体实数

B.江西师大附中2025届全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.中国著名的数学家

【答案】AB

【分析】根据集合的元索必须具有确定性，逐个判断各个选项即可.

【解析】对于选项A：对于任一个实数，都可判断其是否大于1,元素具有确定性，故选项A正确;

对于选项丛对于任何一个学生可以判断其是否属于高一学生，故选项4正确，

对于选项C其中元素不具有确定性，故选项C错误，

对于选项。：其中元素不具有确定性，故选项。错误，

故选:AB.

【变式3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象：

①接近于0的数的全体；

②比较小的正整数的全体；

③平面上到点O的距离等于1的点的全体；

④直角三角形的全体.

其中能构成集合的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】根据集合的元素的确定性可判断①②是错误的，根据集合的定义即可判断③④正确.

【解析】因为集合的元素必须是确定的，而①②中的数没有标准，故①©不能构成集合，

根据集合的定义可判断③④可以构成集合，

故选:A.

题型02求集合中元素的个数

【典例】已知集合A={01,2},则集合8={x—.v|x£A,y£A}中元素的个数是（）

A.1B.3C.5D.9

【答案】C

【分析】将集合B中的元素逐一列举出来，便可确定元素的个数.

【解析】因为Ay£A,所以当X=O时，y=0或y=1或y=2,此时x-），=。或x-y=-1或x-y=-2：

当x=l时，y=0或y=l或y=2,此时x-y=y=OSU-=-1；当x=2时，

y=。或y=1或y=2,此时x-y=2或y=1或r一y=0.所以集合B=2,1,2}共五个元素.故

选C.

确定集合中元素的个数的方法是枚举法，即逐一列举出它的所有元素，其中重复的元素只能算一个，最

终再统计出元素总的个数.

【变式I】若集合A={-1,2},B={0,l},则集合{z|z=x+），,xwA），e8}中的元素的个数为

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】由题得：{z|z=x+)，,xeAye8}={4023},所以是4个元素

【变式2】已知集合,4={1.2.3},5={(xy)X€4)€J6-4},则5中所含元素的个数为

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】试题分析：集合》中所满足条件的元素(1JNL2K2,1),共3个，故选B.

【变式3】已知集合河=36%|1=8-叫，mwN,则集合例中的兀素的个数为()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】由题知以8—〃后0,即/匹8,〃?eN,故m=0,1,2,3,4,5,6,7,8,进而得答案.

【解析】因为“={xeN|x=8—〃?},mwN,

所以8-"?20,即〃?K8,〃zeN

所以〃?=0,1,2,3,45,6,7,8,

故"={%£"次=8-〃7}={0,1,2,4,5,6,7,8},即集合朋中的元素的个数为9个.

故选：C

题型03判断元素与集合的关系

1.直接法

【典例1】以下表示元素与集合的关系中正确的是()

A.OGB.3.14Q

22

C.(-U)e{y\y=x}D.(-l,l)G{(xyy)\y=x}

【分析】各选项中的元素都为具体的数或数对，与集合的关系一目了然，可直接判断.

【解析】。表示空集，没有任何兀素，故0不是。的元素，A错误;3.14是有理数,B错误;是有序实数

对，而此集合中的元素应为单个的数，不符合此集合中元素的特征，C错误；1=(-1产,符合此集合中元素

的特征，D正确.

【答案】D

如果集合中的元素是直接给出或容易求得，则利用直接法判断元素在已知集合中是否出现即可.

【变式1】下列说法正确的是()

A.2025乃wRB.V2eZC.|eQD.OeN*

【答案】C

【分析】根据R,Z,Q,N♦的意义进行判断.

［解析】根据R,Z,Q.N.的意义,2025兀wR,及任Z,；EQ,0任N”,

故选：C.

【变式2】已知集合A二{1,2},8=,2一),2|乂”小则下列判断错误的是()

A.IGBB.OGBC.3GBD.-3GB

【答案】A

【分析】根据题意，求出集合3,利用元素与集合的关系判断.

【解析】依题意可得8={-3,0,3},所以一3£及0£83£伐1£9

故选:A.

2.推理法

【典例2】已知集合4={4r=34-l,A£Z},B={4r=3k+l,〃cZ},C={Mx=3A,keZ},且

a&A,b^B,cGC,则()

A.2a名8B.2bAC.a+b^CD.Z?+ceA

【答案】C

【分析】A选项，可设。=3%-1,keZ,所以2a=3(24-1)+1,2攵-1eZ,即A错误；B选项，可

设力=3占+1,占wZ,所以劝=3(24+1)-1,24+leZ,2bwA,B错误；C选项，

a+b=3k—l+34+l=3(&+K),C正确；D选项，设c=3右的eZ,得到Z?+c=3(4+&)+1,D错误.

【解析A选项，因为beRceC,可设。=34一LkwZ,

b=3吊+1,%】eZ,c=3网,左2eZ,

所以2a=2(3攵-1)=64一2=62-3+1=3(2攵-1)+1,2々一leZ,即2aw8,故A错误；

B选项，因为2/2=2(34+l)=6K+2=64+3—l=3(2*1+l)-l,2K+leZ,

所以加£八，故B错误；

C选项，因为a+Z?=3攵-1+34+l=3(Z+K),其中A+&]WZ,所以〃+8eC,故C正确；

D选项，因为。+c=34+l+3&=3色+&)+1,其中K+&wZ,所以。+ce8,故D错误.

故选：C

(1)时于一些没有直接表示的集合，只要判断该元索是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首

先明确己知集合中的元素具有什么特征.

(2)利用推理法判断一个灼象是不是某个集合的元素，首先要明确已知集合的元素具有什么属性，即该

集合的元素要符合哪种表达式或满足哪种条件，然后判断此对•象是否也具有这种属性，从而确定该元素与已

知集合的关系.

【变式1】集合P={Mx=2&MwZ},Q={4r=2k+l,k£Z},R={Hx=4〃+l,〃€Z},且〃研/Q,则有

A.a+b?PB.a+b?QC.a+beRD.a+b不属于P,Q,R中的任意一个

【答案】B

【解析由题知。表示偶数集，。表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当。胁力。时，则a

为偶数，力为奇数，则a+。一定为奇数.

【变式2】已知集合人={2〃?+百〃|加€2,〃€用，则（）

A.小更AB.-2+5>A/AC.4eAD.-l+2V3eA

【答案】C

【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.

【解析】因为A={2,〃+V^伽eZ,〃wN},

设有=2〃?+百〃厕：有理数部分：0=2,〃=〃?=0,无理数部分：G=G〃n〃=l,

〃z=OwZ,〃=lwN,符合条件，所以石eA,故A错误：

设-2+56=2〃?+>/5〃,则有理数部分：-2=2/〃=>〃2=-1,无理数部分:5>/5=G〃n〃=5,

〃?=-lwZ,〃=5£N，符合条件，故一2+5V5WA,故B错误；

设4=2m+则：有理数部分:4=2"?=>"?=2,无理数部分：0=6八=八=0eN,故4wA,故C正

确；

设-l+26=2〃?+G〃,则有理数部分：T=2〃?n〃?=-Q5（非整数，矛盾），故-1+26eA,故D错误.

故选：C.

【变式3】己知非空数集M具有如下性质：①若儿）'EM,则土eM；②若从），eM,贝口十八M.下列说

>'

法中正确的有（）.

A.-leM.B.2025GM.

C.若x,yeM,则AyeM.D.若x,yeM,则x-ywM.

【答案】BC

【分析】用特殊值代入判断A,D,C,列举法根据性质性质①②，判断B.

【解析】对于A,若TwM，令x=y=-l,则三=l