解三角形-2027高考数学（含解析）

解三角形

考点01正余弦定理解三角形

1.（2026・北京・高考真题）摇杆机械装置，如图，48为定点，C,。是动点，4。=1,CD=3,BC=^~

乙

/8=4,则cos/45C的取值范围（）

［备用_5_531D•品，剧

A.c..12,80J

2.（2025•全国二卷•高考真题）在&4BC中，BC=2,力。=1+，序，力6=逐，则A=（）

A.45°B.60’C.120°D.135°

3.（2（）24・全国甲卷・高考真题）记443。的内角43,。的对边分别为。也5若3=60°,/=弓以：，则输171

+sinC=（）

A.|B.V2C.冬D.当

4.(2023•北京・高考真题)在AABC中，(a+c)(sirM-sinC)=b(sinA-sinB)，则NC=()

AC(~\2兀D*

人A6B-iT

5.（2023・全国乙卷・高考真题）在△46。中，内角48。的对边分别是o,b,c,若QCOS6T）COSA=C^C

=春，则N3=（）

3兀D.整

AA-J1L0Bc.

4而5

6.（2026•天津•高考真题）在△43。中，BC=4,力。=3,cos力=一/，则sinB=.

7.（2024•上海・高考真题）三角形ABC中，反7=2,A=看1=与，则AB=

jq

8.（2023•上海・高考真题）在4ABe中，已知a=4,b=5,c=6,则sinA=.

9.（2025・天津・高考真题）在&46C中，角力,8。的对边分别为a,b,c.已知asinB=V3bcosA,c-26=

1,a=V7.

（1）求A的值；

⑵求C的值;

⑶求sin(A+2B)的值.

10.(2024.天津.高考真题)在中，角AB。所对的边分别为Q』),c,已知cosR=2，/)=5,0=劣.

16c3

⑴求Q的值；

(2)求sirM的值;

⑶求cos(3-2A)的值.

11.(2024•新课标H卷•高考真题)记的内角4,3,。的对边分别为。，b,c,已知sinH+《cosA=

2.

⑴求4

⑵若Q=2,Y^bsinC=csin28,求△ABC的周长.

...........»

12.(2023・天津・高考真题)在中，角A3,C所对的边分别是Q,b,c.已知°=9,b=2,乙4=120°.

(1)求sin8的值；

(2)求c的值;

⑶求sin(B-C)的值.

13.(2023•新课标［卷•高考真题)己知在△ABC中，A+B=3C2sin(4—C)=sinB.

(1)求sinX：

(2)设=5,求A3边上的高.

14.(2022•全国乙卷・高考真题)记△力8。的内角力，B,。的对边分别为Q,b,c,已知sinCsin(A-B)=

sinBsin(C—A).

(1)若4=28,求。；

(2)证明：2。2=〃+,2

15.(2022•全国乙卷•高考真题)记△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知smCsin(A-B)=

sinBsin(C—A).

⑴证明：2o2=/+〃；

(2)若a=5,cosA=暮，求XABC的周长.

16.(2022.天津.高考真题)在△48C中，角4、8、C所对的边分别为Q,b,c.已知a=逐,6=2c,8sA=

「I

⑴求c的值：

(2)求sin/?的值；

(3)求sin(24一B)的值.

考点02三角形面积公式

17.（2022・浙江・高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法

称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=

卜2a2—（士—必力，其中0,b,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边Q=

V2,6=V3,c=2,则该三角形的面积S=.

18.（2026•全国二卷•高考真题）在&46。中，已知cosB=y,cos2（A+C）+sinAsinC=1.

（1）证明：A4BC为钝角三角形：

（2）若A4BC的面积为《，求AABC的周长.

19.（2025•北京・高考真题）在△月6c中，cos月一一4小皿。一4人

O

⑴求C的值；

⑵再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△43C存在,求用?边上的高.

条件①：。=6；条件②：。由历=当2；条件③：ZVIB。的面积为10您.

q..................

20.（2024•新课标I卷・高考真题）记△ABC的内角48、。的对边分别为Q,卷c,已知sinC=V2cosB,a2

+b2-c2=V2ab

⑴求b

（2）若AABC的面积为3+4，求c.

21.（2024・北京・高考真题）在△力BC中，内角48c的对边分别为a,瓦c,/力为钝角，a=7,sin2B=

^~bcosB.

⑴求乙4;

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.

条件①：b=7；条件②：cos6="；条件③：csinA=yV3.

注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

22.（2023・上海・高考真题）在中，内角A、B、。所对•的边为a、b、c,其中b=2

（1）若4+。=60°,且Q=2c,求边长c的值；

（2）若A—C=30°,a=J^csinA,求Sgg

23.(2023・全国甲卷・高考真题)记&4BC的内角ABC的对边分别为"。已知看产=2.

⑴求be；

⑵若空然二等券一立=1,求△ABC面积.

acosB+bcosAc

24.(2023・全国乙卷•高考真题)在&46。中，已知ABAC=120°,AB=2,AC=1.

⑴求sin乙4BC；

(2)若。为6。上一点，且ABAD=90°,求A4。。的面积.

25.(2023・新课标I卷•高考真题)已知在△43。中，＜+6=3C2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinH；

(2)设AZ?=5,求A3边上的高.

26.(2023・新课标^卷•高考真题)记△/WC的内角4民C的对边分别为Q,b,c,已知△/WC的面积为^^,

。为中点，且40=1.

⑴若/力。。二手，求tanb

(2)若〃+。2=8,求b,c.

27.(2022.新高考全国II卷•高考真题)记△48C的内角4bC的对边分别为。，b,c,分别以Q,b,c为边

长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知SLS2+S3=W，sinB=J.

(1)求△/白。的面积：

(2)若sinAsinC="^，求b.

«5

...........»

28.(2022•北京•高考真题)在AABC中，sin2c=J5sin。.

⑴求NC;

⑵若b=6,且的面积为6禽，求△力Z5C的周长.

29.(2022.浙江.高考真题)在△ABC中，角4B,。所对的边分别为Q,b,c.已知4Q=，5c,cosC=菖.

5

(1)求sinA的值；

(2)若b=11,求△43。的面积.

考点03解三角形的应用（含几何和实际应用）

30.（2024・上海・高考真题）已知点6在点。正北方向，点。在点。的正东方向，6C=CD,存在点A满足

乙BAC=16.5°,ZZMC=37°,则NBC4=（精确到0」度）

31.（2023•全国甲卷•高考真题）在中，ABAC=6O°,71B=2,BC=V6,NA4C的角平分线交BC于

。，则.

32.（2022.全国甲卷.高考真题）已知XABC中，点。在边BC上，AADB=120°,/。=2,CD=2BD.当

笔取得最小值时，60=

AB------

33.（2026•全国一卷•高考真题）已知在4ABe中，力R=3,2/,cosB=4.

（1）求cosA；

（2）设。，E两点满足：。在A4的延长线上,DE〃BC,AE工AC.若DE=述,求CE.

34.（2025・上海•高考真题）在△ABC中，角4、8、。所对的边分别为a、6、c,且c=5.

⑴若甘sinA?,0=5,求a；

sinA

⑵若ab=20,求△48。的面积的最大值.

............即

35.（2023・新课标^卷•高考真题）记△/WC的内角4民C的对边分别为Q,b,c,已知△/WC的面积为^^,

。为中点，且40=1.

⑴若/力。。二手，求tanb

(2)若〃+。2=8,求b,c.

4

36.（2022・新高考全国I卷•高考真题）记△43。的内角力，。的对边分别为a,b,c,已知1产

1+sinA

__sin2B_

l+cos2B,

⑴若。=普，求氏

O

（2）求^i的最小值.

c2

37.(2022・上海・高考真题)在如图所示的五边形中，力。=水7=6,力3=20,。为4?中点，由线。VQ上任

一点到。距离相等，角/-DAB=/ABC=120°,尸，Q关于OM对称；

⑴若点P与点。重合，求/POB的大小;

(2)求五边形MQABP面积S的最大值，

.............国

解三角形

考点01正余弦定理解三角形

1.（2026•北京・高考真题）摇杆机械装置，如图，48为定点，C,。是动点，4。=1,CD=3,BC=^~,

/6=4,则cos/45C的取值范围（）

_5_531

C..12,80J

【答案】B

【详解】因为/D=1,CD=3,贬3-1&4。&1+3,即得2</。«4,

25_A(y89_

所以△44中‘8SN—

25学.42

_73

所以==―/—&cosZ.ABC==

oU2U2020-80,

_5_73]

所以cosNABC的范围为-16*80J

2.（2025•全国二卷•高考真题）在A43C中，石。=2,47=1+6,43=4,则4=（）

A.45cB.60、C.120cD.135c

【答案】4

力岳+472-602(«)2+(1+通)2—22=返

【详解】由题意得cosA=

2AB•472xV6x(l+V3)2，

又0°V4V180°,所以4=45°.

故选：A

3.（2024•全国甲卷・高考真题）记△4DC的内角ABC的对边分别为Q,be若3=60°,〃=总℃,则sin4

+sinC=（）

A.5B.V2C.壬D..

【答案】C

【详解】因为B=60；〃=QC,则由正弦定理得sinAsinC=^sin2B=^-.

Jo

由余弦定理可得：〃=。2+-QC=/c,

即:Q，+c2=芋砒，根据正弦定理得sih-A+sin2C=¥sin/sinC=畀,

4412

所以(sinA+sinC)2=sinM+sin2C+2sinAsinC=；,

4

因为AC为三角形内角，则sinA+sinC>0,则sinX+sinC=*.

故选：C.

4.(2023・北京•高考真题)在4ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则NC=()

27r

AAAD*

-6■y3

【答案】B

【详解】因为(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA—sinB),

所以由正弦定理得(a+c)(a—c)=b(a—b)，即d2-c2=ab-62,

a2+52-c2ab1

贝］Q2+/—c2=ab,故cosC===

2ab2ab2

又OVCV兀，所以C=不

o

故选：B.

5.（2023・全国乙卷・高考真题）在A4BC中，内角人民。的对边分别是a,b,c,若QCOSB-bcos工=c，且。

十则々=（）

37rD.塔

A卫c.

-10Io5

【答案】C

【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosyl=sinC,

即sinAcosB—sinBcosA=sin(?l+B)=sinAcosB+sinBcosX,

整理可得sinBcosA=0,由于3W(0,兀)，故sinZ?>0,

据此可得cosTl=0,A=,

乙?)1V/

故选：c

6.(2026・天津・高考真题)在4ABe中，6C=4,AC=3,cosA=-j,则sinB=

【答案】赵餐

1616

【详解】在中，cosA=—1,所以sin〃=—cos?力=VIK

44

3X^F3VI5

由正弦定理可得smB=-绘警

416

7.（2024・上海・高考真题）三角形山3。中，BC=2,A=孝6=：,则AS=

+代

【答案】3®

...........»

【详解】三角形43c中，•.•4+8+。=兀,力=与出=与，.・.C=普,

OJCJL/

.「・/冗］乃\.7i7T.7T.7U

smC=sin—+—)=sin—ccs—+cos—sin—=

v4674646~T~

由正弦定理圣铐7，BC=2,4=S

smAsinC3

2x

得A6=3csi'C32+人

s\nA一3

2

3北+通

故答案为:

~3~

8.(2023・上海・高考真题)在AABC中，已知a=4,b=5,c=6,则sinA=

【答案中

【详解】8sA="/尤=空嘿二坦=今3

26c6060了,

A为△4BC的内角，

:.sinA=Vl—cosM=J—得=淬^.

故答案为斗.

【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.

9.(2025・天津•高考真题)在△ABC中，角48。的对边分别为Q,b,c.已知asinB=V3bcosA,c-2b=

1>ci-A/7•

(1)求4的值；

⑵求。的值:

(3)求sin(A+2B)的值.

【答案】⑴春(2)3⑶竽

【详解】(1)已知asinB=，^bcos4,由正弦定理一,

sinAsintJ

得asinJ3=bsin4=\/5bcos4显然cosAWO,

得tan?l=瓜，由0V4V兀，

故4=看;

(2)由⑴知cosA=［■.且C=26+LQ=J7.

由余弦定理d2=b~+c~-2bccosA,

则7=624-(26+1)2-2X^-6(26+1)=362+35+1,

解得b=1(6=-2舍去)，

故,c=3;

(3)由正弦定理,0=-25■，且b=1,。=Y7,sin力

sinAsinB2

得疝［6=姆退且Q>6,则B为锐角，

a14

故cos/?=工V7,故sin2Z?=2sin7?cosZ?=。严，

1414

_Lcos2Z?=1—2sin2B=1-2x()=舁；

故sin(/l+2Z?)=sin4cos2Z?+cos>4sin2Z?=xg+Jx•

乙/ATI

10.（2024.天津.高考真题）在△板；中，角ABC所对的边分别为Q』“，已知3b=得"=5*=全

⑴求Q的值；

（2）求sin4的值;

(3)求cos(3-2A)的值.

【答案】（1）4（2）乎（3）普

【详解】（1）设Q=2力C=3±,1>（）,则根据余弦定理得》2=02+/—2。。855

即25=4廿+9产-2X21x31x2,解得£=2（负舍）；

16

则a=4,c=6.

（2）法一：国为3为三角形内角，所以sinS=SL-cos23=J1-（磊）=空

V\1。/16

再根据正弦定理得，即&>=条，解得sirn4=4，

sinAsmBsinA4

1G

222222

在一心人》汨A-b+c-a5+6—43

，去一：由余弦正理仔cosA—28;2X5X6=7'

因为AW（0,兀），则sinA=J1-信）=

(3)法一：因为cos8=4>0,且召£(0,冗)，所以!?£(O,yj,

由(2)法一知sinZ?=&g,

16

因为aVb,则4VB,所以cosA=/1—(4)2=等，

则sin2A=2sinAcosA=2x4x?=,cos2X=2cos2A-1=2x(^-1=^-

44814/8

cos(B-2力)=cosBcos2A+sinBsin2A=2x]+耳1x整1=兽.

16o16o64

法二：sin2A=2sinAcosA=2xx与='"J,

448

则cos2>l=28s2A-1=2x(3Ji=L

v4f8

2

因为为三角形内角，所以sinB=V1—cosB=A/l—(-^-T=§0,

所以cos(右一24)=cos石cos2A+sinBsin2X=x[+5gx3?=若

16o16o64

11.（2024・新课标n卷•高考真题）记△ABC的内角4B,。的对边分别为a,卷c,已知sin/1+V3cosX=

2.

⑴求4

⑵若a=2,，^bsinC=csin28,求的周长.

【答案】（1）A=?（2）2+76+372

6

【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）

由sinA+V3cosA=2可得-ysinA+-^-cosA=1,即sin（A+看）=1,

由于4€（0㈤=>」+3€（?粤），故/解得力=强

JJJJZV

方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）

由tsiiiA十V3cu«A-2,又十cosM-1,消去«iiiA得到：

4cos2X—4，5cosA+3=0=（2cosA—V3尸=0,解得cosA=子卢,

又力€（0,兀），故4=年

6

方法三：利用极值点求解

设/(④)=sina;+V3cosx(0<I<TU),则f(z)=2sin(x+-y)(0<x<x)f

显然式=专时，/(球皿=2,注意到/(A)=sinA+A/3COSA=2=2sin(4+-y),

f(x)max=/(力)，在开区间(0,兀)上取到最大值，于是n=4必;芝是极值点，

即/'(/)=0=cosA—V3sin/1,tanX=,

J

又A€（0,兀），故/=强

6

方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）

设日=（l,V3）,b=（sinA,cosA）,由题意，a-6=sinX+V5cos/=2,

根据向量的数量积公式，a'b=同间cos（4,b）=2cos,

则2co/E=2o8S4E=1.此时41=0,即4,亦同向共线,

根据向量共线条件，1,cos4=，^・sinAu>tanX=

3

又AE（0,兀），故4=等

6

方法五：利用万能公式求解

设t=tan^-，根据万能公式，sin/1+/cos力=2=2t+皿。*）

21+t21+t2

整理可得，t2—2（2—才+（2—，5）2=0=（1一（2—血））2,

解得tan*=t=2—V3,根据二倍角公式，tanA—2£瓜

1-t23・

又力€(0,兀)，故人二等

6

(2)由题设条件和正弦定理

V26sin(7=csin2B<^V'2sinBsinC=2sinCsinBcosB,

又B,CW(0,兀)，则sinBsinC#0,进而cosB=乎，得到B=£,

于是。=兀一力一石=-yr-,

sinC,=sin(7r—A—B)=sin(/+B)—sin-4cosB+sinBcos/~

4

由正弦定理可得，a==C,即2=—―=—与一

smAsmBsinC©n与sin与sin察

041Z

解得b=2-,c=4+上，

故△/BC的周长为2++3/5

12.（2023・天津・高考真题）在ZVIBC中，角48。所对的边分别是a,b,c.已知a=V39,6=2,NA=120°.

⑴求sinB的值;

⑵求c的值;

（3）求sin（B-C）的值.

【答案】（1）噜（2）5（3）一要

JLJZO

【详解】（1）由正弦定理可得方，即上驾3=/五，解得：sin6=噜；

smAsmBsml20sinB13

（2）由余弦定理可得，〃=〃+02-2儿85月，即39=4+C2-2X2XCX（一4），

解得：c=5或c=-7（舍去）.

（3）由正弦定理可得，-7%=Bk，即二噜e二—k，解得：sinC=《票，而71=120°,

sinAsinCsin120sinC26

所以B。都为锐角，因此cosC==琛1,cosB=J1一卷=笔1,

sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=ifx卓—窄x空一耍

1326132626

13.（2023•新课标I卷•高考真题）已知在△46。中，力+8=3C2sin（力一C）=sin8.

(1)求sin4

(2)设八3=5,求43边上的高.

【答案】⑴3普(2)6

【详解】⑴•."+6=3C,

.•.兀-。=3。,即。=£,

又2sin(A—C)=sinB=sin(<+C),

/.2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

sinXcosC=3cosAsinC,

:.sin4=3cosA,

即tanA=3,所以OV/V卷,

.3=*=噜.

VIoio

⑵由(1)知，854=焉=嚏，

V1U

由sinB=sin(A+C)=sinXcosC,4-cosXsinC=,

乙XuXu'u

5x24

由正弦定理，可得b=-^-=2Vl0,

sinCsinB返

2

.........................................................................a

...~^AB-h=-^AB-AC-sin/,

/.h=b'sin4=2A/10X3^^=6.

14.(2022・全国乙卷・高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(4-3)=

sinBsin(C—A).

(1)若A=2B,求C；

⑵证明：2Q2=〃+C2

【答案】(1)等；(2)证明见解析.

O

【详解】(1)由A=2B,s\nCs\n(A—B)=sinBsin(C—>1)可得，sinCsinB=sinBsin(C—A)，而0V6

〈泉所以国11/£(0,1),即有sinC=sin(C-4)>0,而0VCV兀V兀，显然A,所

以，。+。-4=兀，而工=26,4+右+。=兀，所以。=萼.

O

(2)由sinCsin(A—B)=sinBsin(G—X)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcos?l-cosCsinA)，再由正弦定理可得，

accosBbecosA=becosAabcos。，然后根据余弦定理可知，

1⑷+°2_的一/匕2+C2-aS)=±(62+c2_*-(.2+炉一/),化简得:

2/=匕2+。2,故原等式成立.

15.（2022・全国乙卷・高考真题）记4月0。的内角43,。的对边分别为0也0,己知图1］。3皿（4-3）=

sinBsin(C—A).

(1)证明：2Q2=〃+C2；

(2)若Q=5,cosX=今，求AABC的周长.

【答案】（1）见解析（2）14

【详解】（1）证明:因为sinCsin（A—B）=sinBsin（C-X）,

所以sinCsinAcosB—sinCsinBeosA=sinBsinCcosX—sinBsinAcosC,

所以无.尤字二《b2+c2—a2Q?+b2—02

—2bc•

2ac26c2ab

即此哈/_(6Hc2-a2)=/+力—C2

乙r

所以2a2=b2+c2:

(2)解：因为a=5,cosA=等，

ol

由(1)得b24-c2=50,

由余弦定理可得d2=b2+c2-2bccosA,

则50-整儿=25,

JJL

所以bc=日，

故(6+c)2=b2+c2+26c=50-t-31=81,

所以b+c=9,

所以dABC的周长为a+b+c=14.

16.（2022•天津•高考真题）在△ARC中，角A、夙。所对的边分别为Q,b,c.已知Q=d=2c,cosA=

1

一了.

（l）求c的值;

⑵求sinB的值;

⑶求sin(24—8)的值.

【答案】⑴c=l

(2)sin8=

4

(3)sin(2A—6)=3

o

【详解】(1)因为a〉=〃+/—2bccos?l,即6=〃+/+券儿，而b=2c,代入得6=4c2+c2+c2，解得：c

=1.

⑵由(1)可求出6=2,而0VA〈二，所以sinA=V1—cos2A=卫£,又，所以sinB=

4s\nAsmB

2x呼

6sin/l

aVG4

⑶因为c"=T，所以广人气故OVB.,又sin力==*

所以sin2A=

2sinAcosA=2x(一；)x=一碧^cos2A=2cos24-1=2x3-1=一三,而sinB=^~,

v47481684

所以cosB=Vl—sirrB=,

4

A/15V6.7VTo_vlo

故sin(2A—B)=sin2/lcosB—cos2XsinB=Xx+Xx

8^T--—•

考点02三角形面积公式

17.（2022・浙江・高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法

称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=

小\卜2。2-（土士亭匕力，其中a,Mc是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边Q=

«讶,6=/5,。=2,则该三角形的面积5=.

【答案】率.

4

［详解］因为S=J十"2一（卫2+,一口力，所以s=,｝［/1乂2一（4+73力=4或.

故答案为：率.

4

18.（2026•全国二卷•高考真题）在A40C中，已知cosZ?=4,cos2（?l+C）4-sinXsinC=1.

4

（1）证明：ZVIE。为钝角三角形；f

（2）若△43。的面积为亨，求△43C的周长.：

【答案】（1）见解析:

（2）3+V2...........»；

【详解】（1）证明：由4+6+。=兀，则cos（X+C）=-cosB=―,

又cos2（?l+。）+sinAsinC,=1,得当+sinXsinC=1,则sinAsinC=工»

1616

由两角和的余弦公式，cos（4+C）=cosAcosC-sin?lsiiiC=—1-,

结合sinAsinC=二可知cos，cosC=一夫<0,

1616

则cosAcos。异号，必然一个为负，一个为正.

又ACW（01），即AC中必有一个是钝角：

（2）方法一：由正弦定理和三角杉的面积公式，

S&ABC=-ya^sinC=-^-（2fein4）（2RsinB）sinC=2R2sinAsinBsinC,

（H是外接圆半径）

又sinAsinC=弓，sinB=J1-4）=乎",则-2R--，解得H,

又sin8=4，则b=2Z?sinB=V2,

4

由余弦定理b2=a"十c，?—2accosZ?,即a"十c"—yac=2,

乙

又-^-acsinB=^-ac=-，则ac=2,

于是a?+/—_1_QC=2,即a2+c2=5,

（a+c）2=出+2ac+c?=9,解潺a+c=3,

故△43C周长为（a+c）+b=3+也.

方法二：由cos2（.4+C）+sin>lsinC=1,则cos2B+sinAsinC*=1,

即sinAsinC=1-cos2B=sin2B,

由正弦定理可得，QC=〃，

由三角形面积公式，S^ABC=«csinB=-i-acx—=邛^,

得到ac=2,则b其余同上.

19.（2025・北京・高考真题）在A48C中，cosX=—J,asinC=4、欠.

⑴求C的值；

⑵再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△45C存在，求8c边上的高.

条件①：a=6；条件②：asinB=型0；条件③：△月石。的面积为10V2.

【答案】⑴6⑵选①，△ARC不存在；选②，高为义詈；选③，高为义兽.

JJ

【详解】（1）因为cosA=­6（0,兀），所以sin/1=Vl-cos2A=,

oo

由正弦定理有asinC=csin>l=c—4V2，解得c=6;

o

（2）如图所示，若△ABC存在，则设其BC边上的高为/。，

c

D

Z-------------'B

若选①，a=6,因为c=6,所以。=4,因为cosA=­JV0,这表明此时三角形ABC有两个钝角，

O

而这是不可能的，所以此时△ABC不存在，故3C边上的高也不存在；

若选②，aaiiiB—"1)2,由asiiiC-4V2有乎叱——5——暮，由正弦定理得上—所以。一5,

所以由余弦定理得a=V624-c2-26ccos/l=^254-36-2x5x6x(—1-)=9,

此时三角形是存在的，且唯一确定，

所以S△的=9csin4=JSC•力。，即Jx5x6x=]x940,

所以BC边上的高AD=2答；

若选③，AABC的面积是1072,则S^ADC=^-bcsinA=[bx6x2乌=1072,

解得b=5,由余弦定理可得a=Vb2+c2-2bccosA=《25+36-256•(—)=9可以唯一确定，

道一步由余弦定理可得cosBcos。也可以唯一确定，即8。可以唯一确定，

这表明此时三角形ABC是存在的，且Z?C边上的高满足：S^BC.=^a-AD=^-AD=10、欠,即