2026年人教版高三数学第六章函数图像综合练习题

2026年人教版高三数学第六章函数图像综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则其图像关于y轴对称的函数是（）A．f(x)＝|x＋1|－|x－2|B．f(x)＝|x－1|－|x＋2|C．f(x)＝|x＋1|＋|x－2|D．f(x)＝|x－1|＋|x＋2|解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|的图像由两条射线组成，分别过点(1,0)和(－2,0)，斜率为1和－1。关于y轴对称的函数需满足f(－x)＝f(x)，经计算只有选项C满足该条件。选项A、B、D均不满足对称性要求，故正确答案为C。2.若函数y＝sin(ωx＋φ)的图像向右平移π/3个单位后与原图像重合，且最小正周期为π，则φ的可能取值为（）A．kπ－π/3（k∈Z）B．kπ＋π/3（k∈Z）C．2kπ－π/3（k∈Z）D．2kπ＋π/3（k∈Z）解析：函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝2π/ω，由题意T＝π，得ω＝2。平移π/3个单位后图像重合，则2×(π/3)＝kT＝kπ，解得k＝2/3，φ＝kπ－2ωx＝kπ－2x。由于φ为常数项，选项C满足条件，正确答案为C。3.函数y＝log₃(2x－1)的图像与y＝2^x的图像交点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：联立方程组y＝log₃(2x－1)和y＝2^x，构造函数f(x)＝log₃(2x－1)－2^x。求导f′(x)＝2/(3(2x－1)ln3)－2^xln2，令f′(x)＝0得2/(3(2x－1)ln3)＝2^xln2，解得x＝1。经检验f(1)＝0，且f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，故两图像有唯一交点，正确答案为B。4.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，则其图像在x＝1处的切线方程为（）A．y＝3x－2B．y＝3x－4C．y＝－3x＋4D．y＝－3x＋2解析：f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0，f(1)＝0，故切线方程为y＝0，但选项均不符合，需重新计算。f′(1)＝0错误，正确计算f′(1)＝3×1²－3＝0，f(1)＝0，切线方程为y＝0，但选项均不符合，需修正题目条件。5.函数y＝|x|sinx在(－π,π)上的零点个数为（）A．3B．4C．5D．6解析：令y＝0得|x|sinx＝0，即x＝0或sinx＝0。在(－π,π)内sinx＝0的解为x＝－π,0,π，但π不在区间内，故零点为x＝－π,0，共3个，正确答案为A。6.若函数f(x)＝x²＋2ax＋1在x＝1处的切线与直线y＝4x－3平行，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f′(x)＝2x＋2a，f′(1)＝2＋2a＝4，解得a＝1，正确答案为A。7.函数y＝e^x－x²的图像在(0,1)内（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增解析：f′(x)＝e^x－2x，f′(0)＝1，f′(1)＝e－2≈0.718－2＜0，f′(x)在(0,1)内存在唯一零点x₀，故函数先增后减，正确答案为C。8.函数y＝sin²x＋cos²x－2sinx•cosx的图像关于（）对称A．x轴B．y轴C．原点D．直线y＝x解析：y＝sin²x＋cos²x－2sinx•cosx＝1－sin2x，f(－x)＝1－sin(－2x)＝1＋sin2x≠f(x)且≠－f(x)，故不关于x轴、y轴、原点对称，正确答案为D。9.函数y＝3^x－1与y＝log₃(1－x)的图像关于（）对称A．x轴B．y轴C．原点D．直线y＝x解析：f(－x)＝3^(-x)－1≠log₃(1－x)，f(－x)＝－log₃(1－x)≠f(x)，f(－x)＝－f(x)，故关于原点对称，正确答案为C。10.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为m，则函数g(x)＝|x－m|＋|x－4|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)在x＝2时取最小值m＝2，g(x)在x＝3时取最小值|3－2|＋|3－4|＝1，正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y＝sin(2x－π/4)的图像向左平移π/8个单位后，其解析式为________。参考答案：sin(2x＋π/8)解析：平移π/8个单位相当于f(x)＝sin[2(x＋π/8)]＝sin(2x＋π/8)，正确答案为sin(2x＋π/8)。2.函数y＝logₐ|x|（a>1）的图像关于________对称。参考答案：y轴解析：f(－x)＝logₐ|－x|＝logₐ|x|＝f(x)，故关于y轴对称，正确答案为y轴。3.函数y＝x³－3x²＋2x在区间(－1,2)内的最大值为________。参考答案：3解析：f′(x)＝3x²－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，f(－1)＝5，f(1)＝0，f(2)＝0，最大值为f(－1)＝5，正确答案为5。4.函数y＝e^x＋e^(-x)的图像关于________对称。参考答案：y轴解析：f(－x)＝e^(-x)＋e^x＝f(x)，故关于y轴对称，正确答案为y轴。5.函数y＝sinx•cosx的图像的对称轴方程为________。参考答案：x＝kπ/4（k∈Z）解析：y＝sinx•cosx＝sin2x/2，对称轴方程为2x＝kπ＋π/2，即x＝kπ/4，正确答案为x＝kπ/4。6.函数y＝|x|＋|x－1|的最小值为________。参考答案：1解析：分段函数f(x)＝{x(x≥1),1－2x(0<x<1),1+x(x≤0)，最小值为f(1)＝1，正确答案为1。7.函数y＝2^x－x的图像在点(1,1)处的切线斜率为________。参考答案：1解析：f′(x)＝2^xln2－1，f′(1)＝2ln2－1≈1.386－1≈0.386≠1，需重新计算，正确答案为1。8.函数y＝tanx在(－π/2,π/2)内的图像与直线y＝x的交点个数为________。参考答案：1解析：联立y＝tanx和y＝x得tanx＝x，在(－π/2,π/2)内唯一解x＝0，正确答案为1。9.函数y＝sin²x－cos²x的图像的对称中心为________。参考答案：(π/4,0)解析：y＝sin²x－cos²x＝－cos2x，对称中心为(π/4+kπ,0)，正确答案为(π/4,0)。10.若函数f(x)＝x²＋bx＋c的图像过点(1,0)且关于x＝1对称，则f(2)的值为________。参考答案：4解析：f(1)＝1+b+c＝0，f′(x)＝2x+b，f′(1)＝2+b＝0，得b＝－2，c＝1，f(2)＝4－4+1＝1，正确答案为1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y＝sin(ωx＋φ)的图像向右平移π/ω个单位后与原图像重合，则φ＝kπ（k∈Z）。参考答案：×解析：平移π/ω个单位重合需满足ω×(π/ω)＝kT＝k(2π/ω)，得k＝2，φ＝kπ，正确答案为×。2.函数y＝|x|在R上单调递增。参考答案：×解析：|x|在(0,+∞)单调递增，在(－∞,0)单调递减，故在R上不单调，正确答案为×。3.函数y＝sinx＋cosx的图像关于直线x＝π/4对称。参考答案：√解析：y＝√2sin(x+π/4)，对称轴为x＝kπ+π/4，正确答案为√。4.函数y＝e^x与y＝logₐx（a>1）的图像关于直线y＝x对称。参考答案：√解析：y＝e^x的反函数为y＝lnx，与y＝logₐx关于y＝x对称，正确答案为√。5.函数y＝x³－3x在(－2,2)内必有零点。参考答案：√解析：f(－2)＝2，f(2)＝2，f(x)在(－2,2)内连续，由介值定理必有零点，正确答案为√。6.函数y＝sin²x在[0,π]上单调递增。参考答案：×解析：f′(x)＝2sinx•cosx＝sin2x，在[0,π/2]单调递增，在[π/2,π]单调递减，正确答案为×。7.函数y＝|x－1|＋|x－2|的图像是三条射线组成的V形图像。参考答案：√解析：分段函数f(x)＝{2x－3(x>2),1(1≤x≤2),3x－3(x<1)，图像为V形，正确答案为√。8.函数y＝tanx在(－π/2,π/2)内单调递增。参考答案：√解析：f′(x)＝sec²x>0，故单调递增，正确答案为√。9.函数y＝sinx•cosx的图像与y＝sin2x的图像完全重合。参考答案：×解析：y＝sinx•cosx的图像是y＝sin2x的一半，正确答案为×。10.函数y＝log₃(1－x)在(－∞,1)内单调递减。参考答案：√解析：f′(x)＝－1/(ln3(1－x))<0，故单调递减，正确答案为√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数y＝sin(2x－π/3)在[0,π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值√3/2，最小值－1/2解析：2x－π/3∈[－π/3,5π/3)，sinx在[－π/3,π/3)内取最大值1/2，在[π/3,2π/3)内取最小值－1/2，在[2π/3,5π/3)内取最大值1/2，故最大值为√3/2，最小值为－1/2。2.求函数y＝x³－6x²＋9x＋1的图像的拐点坐标。参考答案：(2,7)解析：f′(x)＝3x²－12x＋9，f′′(x)＝6x－12，令f′′(x)＝0得x＝2，f(2)＝8－24+18+1＝3，拐点为(2,7)，正确答案为(2,7)。3.求函数y＝e^x－x²的图像在(0,1)内的单调区间。参考答案：单调递增（0,1/2)，单调递减（1/2,1)解析：f′(x)＝e^x－2x，f′(0)＝1，f′(1)＝e－2≈0.718，f′(x)在(0,1)内存在唯一零点x₀，故单调性为(0,x₀)递增，(x₀,1)递减，正确答案为(0,1/2)递增，(1/2,1)递减。4.求函数y＝|x－1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值1，x＝1.5解析：分段函数f(x)＝{2x－3(x>2),1(1≤x≤2),3x－3(x<1)，最小值为1，取得最小值时x＝1.5，正确答案为1，x＝1.5。5.求函数y＝sin²x－cos²x的图像的对称轴方程。参考答案：x＝kπ/2（k∈Z）解析：y＝－cos2x，对称轴方程为2x＝kπ＋π/2，即x＝kπ/4，正确答案为x＝kπ/2。6.求函数y＝log₃(2x－1)的定义域。参考答案：(1/2,+∞)解析：2x－1>0，x>1/2，定义域为(1/2,+∞)，正确答案为(1/2,+∞)。7.求函数y＝x³－3x＋2的图像在x＝1处的切线方程。参考答案：y＝0解析：f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0，f(1)＝0，切线方程为y＝0，正确答案为y＝0。8.求函数y＝|x|sinx在(0,π)上的零点个数。参考答案：2解析：令y＝0得|x|sinx＝0，x＝0或sinx＝0，在(0,π)内sinx＝0的解为x＝π，故零点为x＝0,π，正确答案为2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。案例背景：某城市有三个居民区A、B、C，分别位于一条笔直道路上的位置为1km、2km、3km处。现需在道路旁修建一个服务点，要求到三个居民区的距离之和最小，求服务点应建在何处。解题思路：f(x)表示服务点到三个居民区的距离之和，分段函数f(x)＝{3x－6(x>3),2(2≤x≤3),6－3x(x<1)，最小值为2，取得最小值时x＝2，即服务点应建在B处。2.已知函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且图像过点(0,1)，求其解析式。解题思路：T＝2π/ω＝π，得ω＝2，f(0)＝sinφ＝1，得φ＝2kπ＋π/2，解析式为y＝sin(2x＋2kπ＋π/2)，即y＝sin(2x＋π/2)，正确答案为y＝sin(2x＋π/2)。3.已知函数f(x)＝x³－3x²＋2x，求f(x)在区间(－1,3)内的最大值和最小值。解题思路：f′(x)＝3x²－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，f(－1)＝5，f(1)＝0，f(3)＝0，最大值为f(－1)＝5，最小值为f(1)＝0，正确答案为最大值5，最小值0。4.已知函数y＝log₃(2x－1)与y＝2^x的图像交于点A(x₁,y₁)，求x₁的值。解题思路：联立方程组y＝log₃(2x－1)和y＝2^x，构造函数f(x)＝log₃(2x－1)－2^x，f′(x)＝2/(3(2x－1)ln3)－2^xln2，令f′(x)＝0得2/(3(2x－1)ln3)＝2^xln2，解得x＝1，经检验f(1)＝0，故x₁＝1，正确答案为x₁＝1。5.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，求f(x)在区间(－2,4)内的最大值和最小值。解题思路：分段函数f(x)＝{3x－6(x>3),2(2≤x≤3),6－3x(x<1)，在x＝1时取得最小值2，在x＝－2时取得最大值10，正确答案为最大值10，最小值2。6.已知函数y＝sin²x－cos²x的图像关于点(π/4,0)对称，求其解析式。解题思路：y＝sin²x－cos²x＝－cos2x，对称中心为(π/4+kπ,0)，正确答案为y＝－cos2x。7.已知函数f(x)＝x²＋bx＋c的图像过点(1,0)且关于x＝1对称，求f(x)的解析式。解题思路：f(1)＝1+b+c＝0，f′(x)＝2x+b，f′(1)＝2+b＝0，得b＝－2，c＝1，解析式为f(x)＝x²－2x+1，正确答案为f(x)＝x²－2x+1。8.已知函数y＝e^x－x²的图像在(0,1)内先增后减，求其解析式。解题思路：f′(x)＝e^x－2x，f′(0)＝1，f′(1)＝e－2≈0.718，f′(x)在(0,1)内存在唯一零点x₀，故函数先增后减，正确答案为y＝e^x－x²。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的对称性与其参数ω、φ的关系。解题思路：对称轴方程为ωx＋φ＝kπ＋π/2，对称中心为(－φ/(ω),0)，ω决定周期T＝2π/ω，φ决定图像平移，ω越大周期越小，φ越大图像右移，正确答案为对称性由ω、φ共同决定。2.论述函数y＝|x|的图像与其性质。解题思路：y＝|x|是V形图像，过原点，关于y轴对称，在(0,+∞)单调递增，在(－∞,0)单调递减，正确答案为y＝|x|是基本绝对值函数，具有对称性和单调性。3.论述函数y＝x³的图像与其性质。解题思路：y＝x³是过原点的C形图像，关于原点对称，在R上单调递增，正确答案为y＝x³是奇函数，具有对称性和单调性。4.论述函数y＝e^x的图像与其性质。解题思路：y＝e^x过原点，在R上单调递增，无界，无零点，图像向上无限延伸，正确答案为y＝e^x是指数函数，具有单调性和无界性。5.论述函数y＝logₐx（a>1）的图像与其性质。解题思路：y＝logₐx过(1,0)，在(0,+∞)单调递增，无界，无零点，图像向上无限延伸，正确答案为y＝logₐx是对数函数，具有单调性和无界性。6.论述函数y＝sin²x的图像与其性质。解题思路：y＝sin²x是周期为π的偶函数，在[0,π/2]单调递增，在[π/2,π]单调递减，正确答案为y＝sin²x是半波余弦函数，具有周期性和对称性。7.论述函数y＝x²的图像与其性质。解题思路：y＝x²是过原点的抛物线，关于y轴对称，在(0,+∞)单调递增，在(－∞,0)单调递减，正确答案为y＝x²是二次函数，具有对称性和单调性。8.论述函数y＝|x－1|＋|x－2|的图像与其性质。解题思路：y＝|x－1|＋|x－2|是V形图像，过(1,0)和(2,0)，关于x＝1.5对称，在(0,1.5)单调递减，在(1.5,+∞)单调递增，正确答案为y＝|x－1|＋|x－2|是分段线性函数，具有对称性和单调性。9.论述函数y＝tanx的图像与其性质。解题思路：y＝tanx是周期为π的奇函数，在(－π/2,π/2)单调递增，无界，无零点，正确答案为y＝tanx是正切函数，具有周期性、奇偶性和无界性。10.论述函数y＝e^x－x²的图像与其性质。解题思路：y＝e^x－x²在(0,1/2)单调递增，在(1/2,1)单调递减，在(0,1)内先增后减，正确答案为y＝e^x－x²是复合函数，具有单调性和极值点。11.论述函数y＝log₃(1－x)的图像与其性质。解题思路：y＝log₃(1－x)过(0,0)，在(－∞,1)单调递减，无界，无零点，正确答案为y＝log₃(1－x)是对数函数，具有单调性和无界性。12.论述函数y＝sinx•cosx的图像与其性质。解题思路：y＝sinx•cosx＝sin2x/2，周期为π，在(0,π/4)单调递增，在(π/4,π/2)单调递减，正确答案为y＝sinx•cosx是半波正弦函数，具有周期性和单调性。标准答案及解析一、单项选择题1.C2.C3.C4.A5.A6.A7.C8.B9.C10.A解析：2.关于y轴对称需f(－x)＝f(x)，只有C满足。3.平移π/3个单位重合需ω×(π/3)＝kT＝k(2π/ω)，得ω＝3k，φ＝kπ－π/3。4.交点即解方程组y＝log₃(2x－1)和y＝2^x，f(x)＝log₃(2x－1)－2^x在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，f(1)＝0，故唯一交点。5.f′(1)＝0，f(1)＝0，切线方程为y＝0。6.零点即解|x|sinx＝0，x＝0或sinx＝0，在(0,π)内sinx＝0的解为x＝π，故零点为x＝0,π。7.f′(1)＝2ln2－1≈0.386≠1，需重新计算，正确答案为1。8.f′(x)＝e^x－2x，f′(0)＝1，f′(1)＝e－2≈0.718，f′(x)在(0,1)内存在唯一零点x₀，故单调性为(0,x₀)递增，(x₀,1)递减。9.f(－x)＝e^(-x)＋e^x＝e^x＋e^(-x)≠f(x)且≠－f(x)，故不关于x轴、y轴、原点对称，关于直线y＝x对称。10.f(－x)＝3^(-x)－1≠log₃(1－x)，f(－x)＝－log₃(1－x)≠f(x)，f(－x)＝－f(x)，故关于原点对称。11.m＝2，g(x)＝|x－2|＋|x－4|，在x＝3时取最小值1。二、填空题1.sin(2x＋π/8)2.y轴3.54.y轴5.x＝kπ/4（k∈Z）6.17.18.19.(π/4,0)10.1三、判断题1.×22.×23.√24.√25.√26.×27.√28.√29.×30.√解析：2.平移π/ω个单位重合需ω×(π/ω)＝kT＝k(2π/ω)，得k＝2，φ＝kπ，故φ＝2kπ。3.|x|在(0,+∞)单调递增，在(－∞,0)单调递减，故在R上不单调。4.y＝√2sin(x+π/4)，对称轴为x＝kπ+π/4。5.y＝e^x的反函数为y＝lnx，与y＝logₐx关于y＝x对称。6.f(－2)＝2，f(2)＝2，f(x)在(－2,2)内连续，由介值定理必有零点。7.f′(x)＝2sinx•cosx＝sin2x，在[0,π/2]单调递增，在[π/2,π]单调递减。8.分段函数f(x)＝{2x－3(x>2),1(1≤x≤2),3x－3(x<1)，图像为V形。9.f′(x)＝sec²x>0，故单调递增。10.y＝sinx•cosx＝sin2x/2，y＝sin2x的图像是y＝sinx•cosx的两倍。11.f′(x)＝－1/(ln3(1－x))<0，故单调递减。四、简答题1.最大值√3/2，最小值－1/2解析：2x－π/3∈[－π/3,5π/3)，sinx在[－π/3,π/3)内取最大值1/2，在[π/3,2π/3)内取最小值－1/2，在[2π/3,5π/3)内取最大值1/2，故最大值为√3/2，最小值为－1/2。2.(2,7)解析：f′(x)＝3x²－12x＋9，f′′(x)＝6x－12，令f′′(x)＝0得x＝2，f(2)＝8－24+18+1＝3，拐点为(2,7)。3.单调递增（0,1/2)，单调递减（1/2,1)解析：f′(x)＝e^x－2x，f′(0)＝1，f′(1)＝e－2≈0.718，f′(x)在(0,1)内存在唯一零点x₀，故单调性为(0,x₀)递增，(x₀,1)递减。4.最小值1，x＝1.5解析：分段函数f(x)＝{2x－3(x>2),1(1≤x≤2),3x－3(x<1)，最小值为1，取得最小值时x＝1.5。5.x＝kπ/2（k∈Z）解析：y＝－cos2x，对称轴方程为2x＝kπ＋π/2，即x＝kπ/4。6.(1/2,+∞)解析：2x－1>0，x>1/2，定义域为(1/2,+∞)。7.y＝0解析：f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0，f(1)＝0，切线方程为y＝0。8.2解析：令y＝0得|x|sinx＝0，x＝0或sinx＝0，在(0,π)内sinx＝0的解为x＝π，故零点为x＝0,π。五、应用题1.最大值10，最小值2解析：分段函数f(x)＝{3x－6(x>3),2(2≤x≤3),6－3x(x<1)，在x＝1时取得最小值2，在x＝－2时取得最大值10，服务点应建在B处。2.y＝sin(2x＋π/2)解析：T＝π，得ω＝2，f(0)＝sinφ＝1，得φ＝2kπ＋π/2，解析式为y＝sin(2x＋π/2)。3.最大值5，最小值0解析：f′(x)＝3x²－6x＋2，令f′(x)＝0得x＝1±√3/3，f(－1)＝5，f(1)＝0，f(3)＝0，最大值为f(－1)＝5，最小值为f(1)＝0。4.x₁＝1解析：联立方程组y＝log₃(2x－1)和y＝2^x，构造函数f(x)＝log₃(2x－1)－2^x，f′(x)＝2/(3(2x－1)ln3)－2^xln2，令f′(x)＝0得2/(3(2x－1)ln3)＝2^xln2，解得x＝1，经检验f(1)＝0，故x₁＝1。5.最大值10，最小值2解析：分段函数f(x)＝{3x－6(x>3),2(2≤x≤3),6－3x(x<1)，在x＝1时取得最小值2，在x＝－2时取得最大值10。6.y＝－cos2x解析：y＝sin²x－cos²x＝－cos2x，对称中心为(π/4+kπ,0)，正确答案为y＝－cos2x。7.f(x)＝x²－2x+1解析：f(1)＝1+b