数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

数列的综合应用

考点一：通项公式的求解技巧

1.归纳、猜想数列的通项.

2.迭代法求一阶递推式的通项公式.

3.用等差(等比)数列的通项公式求数列的通项公式.

4.已知数列瓜｝前n项和则可=1个小

5.已知an-a<>-i=f(n)(n>2),则可用叠加法求&.

6.已知呵Jf(n)(论2),则可用叠乘法求an.

3nl

Zn=l

7.已知数列｛aj前n项之积，，一般可求3,则a产•二

lUn"

8.已知混合型递推式f(a„,Sn)=0,可利用an=S「Sz(*2)将关系式转化为只含有4或权的递推式，再求心或

先间接求出和再求出an.

9.已知数列｛aj的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如：倒数、通分、约分、裂项、

等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、万方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等

等构造得出新数列｛f(a)｝为等差或等比数列.

例如:形如a*Aan+f(n)或即.尸Aac+q1均可以两边同时除以A'、”后进行求解，也可以通过待定系数法将其转

化为等比数列求解;形如,尸。的递推数列可以两边同时倒数求求通项.

考点二：数列求和的技巧

一、公式法

1、等差数列的前〃项和公式:S=----------=na.+---------

”n212

叫(q=D

2、等比数列的前〃项和公式:67,(1a-aq

=｝n(qwl)

1-q1-q

3,常用儿个数列的求和公式

n|

(1)S“=Z%=l+2+3+—〃(〃+1)

k=\2

22222

(2)Slt=Yk=1+2+3+...+/?=-/7(n+1)(2/z+l)

M6

(3)=13+23+33+...+M3=[-H(H+1)]2

*=i2

二、错位相减法

用于求数列｛凡-2,｝的前n项和,其中｛%｝,｛2｝分别是等差数列和等比数列。

三、裂项相消法

适用于｛,｝其中⑸｝是各项不为o的等差数列。即:,

dnQn41anQn4!ClclnSn11

…11111/11、1

特别：-------=---------;------=—(---------).a”=/---4=Ai~/〃~+71-yrjn

n(n4-1)nn+1n(n+2)2nn+2J〃+1+A/〃

倒序相加法

推导等差数列的前.〃项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它

与原数列相加，就可以得到〃个(卬+凡)。

四、分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等

差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

考点三：数列的综合应用

【例1】已知｛4｝为等差数列，其公差为-2,且%是%与的等比中项，s”为｛4｝的前nJ页和，

贝I」，。的值为A.-110B.-90C.90I）.110

【解析】D

【例2】已知数列｛为｝的前〃项和S〃满足：5〃+鼠=5什,”，且q=l,那么即）=（）

A.1B.9C.10D.55

【解析】A

【例3】数列｛aj的通项公式是输二厂\—,若前n项和为10,则项数为（）

J〃+J〃+1

A、11B、99C、1201）、121

【解析】C

【例4】设数列｛aj满足ai=a,诙产ca+l-c,n@N*,其中a,c为实数，cWO

（1）求数列｛aj的通项公式；（2）设a=Lc=Lbn=n（l-an\n£N*,求数列｛bj的前n项和Sn。

22

【例5】已知数列｛xn｝的首项X]=3,通项Xn=2"p+nq（n£N*,p,q为常数），

且x1，xoX5成等差数列，求：（1）P,q的值；（2）数列（x』前n项和S”的公式。

13

【例6】已知等比数歹必备｝的公比q=3,前3项和S尸」。

3

（I）求数列｛&,｝的通项公式；（II）若函数/（力=4$后（2工+。）（4>0,0<。<〃<1）在工=巳处取

6

得最大值，且最大值为秘，求函数f（x）的解析式。

【例7】等比数列｛%｝的各项均为正数，且2%+3%=1,〃；=9%6・

r、

（1）求数列｛〃4｝的通项公式.（2）设bn=log3+log3a2+......十logs%，求数列，,”的前项和.

【例8】已知公差不为0的等差数列｛《｝的首项（awR）,设数列的前n项和为S“，且,，—,—

qa2a4

成等比数列（I）求数列｛为｝的通项公式及S“（II）记+[++

d$2之S“

—+—+—+,当〃之2时，试比较4.与纥的大小.

4生与%

【课堂练习】

1.公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S”.若%是4与生口勺等比中项，§8=32,则品）笔于

A.18B.24C.60D.90

2.等比数列｛%｝中，％=2,4=%函数=4）（x叼）…（3/），则/（。）=（）

A.26B.29C.2'2D.215

3.7.已知等比数列中，各项都是正数，且《，,火，2a2成等差数列，则出+为>=

2%+%

A.1+&B.1-V2C.3+20D3-2加

4.设等差数列｛4｝的前n项和为S“，若q=-11,%+牝=-6,则当S“取最小值时,n等于

A.6B.7C.8D.9

5.在公差不为0的等差数列｛4｝中，4=10,且。3，4，成等比数列。

(I)求数列｛q｝的通项公式；(II)设a=2""(〃£>1*),求数列｛d｝的前〃项和公式.

6已知｛q｝是等差数列，q=1,公差d。0,S”为其前n项和,若q,%，6成等比数列，则=

7.等比数列｛(｝是递增数列，S”是｛q｝的前〃项和，若知田是方程寸-51+4=0的两个根，则§6=_.

8、设等差数列｛/｝的前〃项和为s“，公比是正数的等比数列｛瓦J的前〃项和为

己知%=1在=3,4+4=17,7；-S3=12,求｛%｝,｛/｝的通项公式。

9、已知公差不为o的等差数列仅“｝的首项为以(以£/?),且成等比数列.

可生〃4

(I)求数列｛4｝的通项公式；(H)对〃cN",试比较」-+」+4+...+，■与上的大小.

a.a；a2a'2ax

10、已知等差数列｛册｝满足：。3=7,%+的=26,｛%｝的前〃项和为S”

(I)求明及S〃；(1[)令2=一~(〃eN’)，求数列也｝的前〃项和为7；。

T

11.已知等比数列｛%｝满足：包-4|=1°，的2。3=125.(I)求数列｛〃“｝的通项公式；(ID是否存在正整数

加，使得‘+'+…+1-21?若存在，求〃，的最小值;若不存在，说明理由.

a\a2am

12.设等差数列｛an｝的前n项和为S“，且S'=4S2,%=2%+1.(1)求数列｛an｝的通项公式；(II)设数列

低｝前n项和为Tn，且7；+&奈=2(2为常数).令%=处(〃wM).求数列｛%｝的前n项和R”.

1.设｛4｝是公差不为0的等差数列，4=2且6，%，4成等比数列，则｛q｝的前〃项和s0=()

,n27fln5〃c3〃n2

A.1---B.1C.1D.n+〃

443324

2.设｛%｝是等比数列，它的前〃项和，前2〃项和与前3〃项和分别为X,y,Z,则下列等式中恒成立的是

2

A、x+z=2YB、y(r-x)=z(z-x)c,Y=XZD、y(r-x)=x(z-x)

3.已知等差数列｛〃/满足：%=7,%+%=26,｛an｝的前〃项和为S”.

(［)求明及S“；(II)令b.=C“"(其中C为常数，旦CwO,求证数列团｝为等比数列。

4.等差数列｛%｝的前〃项和为S“，己知510=0,SI5=25,则的最小值为.

5.在等比数列｛%｝中，an>0(7?€N),且4。3=4,%+1是。2和%的等差中项.

(【)求数列｛。”｝的通项公式;(II)若数列｛2｝满足2=%+|+log24(几=1,2,3...),求数列求“｝的前几

项和S..

6.已知等比数列｛〃“｝中，4=3,q=81(〃£N").

(I)若｛2｝为等差数列，且满足也=生，求数列的』的通项公式；

(II)若数歹U｛bn｝满足bn=log,af,求数列［―!—］的前〃项和7；.

7.设数列｛4｝的前〃项和为S”，且S“=〃2_4〃+4.(I)求数列｛5｝的通项公式；(H)设块，数

列｛%｝的前〃项和为7，求证：1<7；,<1-

8.在等差数列｛4｝中，4一4=8,且内为4和%的等比中项,求数列｛为｝的首项、公差及前〃项和.

9.设等差数列｛4｝的前n项和为S“，,且Sq=4s2,4“=2勺+1.

(I)求数列