根轨迹法--孙韬.ppt

1、第 4 章,根轨迹法,自动控制原理,孙 韬,2010.10,主要内容,根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 根轨迹绘制举例 控制系统的根轨迹分析 广义根轨迹,根轨迹的基本概念,经典控制理论主要分析方法之一 图解分析方法 常规根轨迹 根轨迹方程 高阶系统解析方法？ 相角条件绘制根轨迹 幅值条件确定根轨迹增益,根轨迹的基本概念,问题的提出,3.希望按性能要求将闭环极点置于合适的位置。,闭环极点（即闭环特征方程根）,闭环控制系统稳定 性、瞬态响应特性,2.系统的某些参数（如开环增益）变化时,反复求解,不方便。,1.求解高阶系统（解高阶方程）本身不容易。,能否不通过求解微分方程，直接根据反馈系统的开、闭

2、环传递函数间的关系，由开环传递函数寻求闭环特征根（闭环极点）？,根轨迹法求解系统特征根的图解方法,问题的提出,1948年Evans提出了根轨迹的方法，其目的仍然是解决对控制过程的分析与计算。那么，什么是根轨迹法呢？,根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。,根轨迹法就是利用闭环特征根的轨迹对系统性能进行分析的方法，它是一种图解方法。,广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。,狭义根轨迹（常规根轨迹）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到。,根轨迹的基本概念,根轨迹举例说明：,K=0时， s1=0,s2=-

3、2（开环极点）,0K0.5 时，两个负实根 ；若s1=0.25, s2=?,K=0.5时，s1=s2=1,K值增加，相对靠近移动,一对共轭复根,根轨迹的基本概念,根轨迹举例说明：,注 意,K变化，一组根变；,K停止，一组根停；,一组根对应同一个K；,系统开环增益确定 闭环极点在s平面上的位置也确定。,根轨迹的基本概念,根轨迹举例说明：,K0.5,K0.5,1）当K值确定之后，闭环极点的位置确定，该系统的阶跃响应指标便可求出。,2）闭环极点不可能出现在s平面右半部，系统始终稳定。,3）该系统有一个积分环节（1个零极点）属于型系统，所以，可直接应用误差系数的结论。,根轨迹的基本概念,-zi前向通道

4、零点,闭环零、极点与开环零、极点间的关系：,前向通道根轨迹增益,反馈通道根轨迹增益,前向通道增益,-zj反馈通道零点,-pj前向通道极点,-pj反馈通道极点,根轨迹的基本概念,闭环零、极点与开环零、极点间的关系：,开环系统根轨迹增益,m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),根轨迹的基本概念,闭环零、极点与开环零、极点间的关系：,n个极点(n= q + h),根轨迹的基本概念,闭环零、极点与开环零、极点间的关系：,3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。,1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；,2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益

5、均有关；,根轨迹的基本概念,根轨迹方程：,根轨迹的基本概念,根轨迹方程：,幅值条件,1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关； 2）必要条件。,相角条件 (k=0,1,2, ）,1）相角条件只与开环零,极点有关； 2）充要条件。,* 用相角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K1的值。,根轨迹的基本概念,用试探法求根轨迹：,单位反馈系统的开环传递函数,一个开环极点 -p1=0,负实轴上点 s1,s2=-1-j,负实轴上都是根轨迹上的点！,负实轴外的点都不是根轨迹上的点！,s2,s1,K1,135O,180O,根轨迹的基本概念,用试探法求根轨迹：,幅值条件,K1

6、2,幅值条件成立！,不是根轨迹上的一点,根轨迹上的一点,必要条件： S平面上的某一点s是根轨迹上的点，则幅值条件成立； S平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。,根轨迹的基本概念,因为 在0范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是相角条件。 利用幅值条件计算 值比较方便，它可以作为计算 值的依据。,根轨迹的基本概念,（1）画出 =0 和 = 时的特征根 （2）根据绘制法则大致画出0 时的根轨迹草图 （3）利用相角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制,根轨迹的绘制法则,绘制根轨迹的一般步骤：,根轨迹的绘制法则,根轨迹的起点和终点 根轨迹分支数 根轨迹

7、的连续性和对称性 实轴上的根轨迹 根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点和会合点 根轨迹的出射角和入射角 根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程根之和与根之积,2）“极点” “o零点”,3）加粗线+箭头=根轨迹,1）实轴、虚轴相同的刻度,4）关键点进行标注,绘制约定：,1.根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,幅值条件,s值必须趋近于某个开环极点,根轨迹起始于开环极点,s值必须趋近于某个开环零点,根轨迹终止于开环零点,2.根轨迹分支数,n阶系统的根轨迹有n条分支,2)实际物理系统,开环极点一般多于开环零点,即 n m. m条终止于开环零点（有限值零点); (nm)条根轨迹分支终止于? (

8、nm)个无限远零点。,1)系统特征方程的阶次为n次 特征方程有n个根,K1变化(从0到 ),n个根随着变化有n条根轨迹。,3.根轨迹的连续性和对称性,根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。,1)闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是K1的连续函数；,2)闭环特征方程的根为实根或共轭复数根。,4.实轴上的根轨迹(1),如果实轴上某一区段的右边的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹.,开环零点：-z1,开环极点：-p1、-p2、-p3、-p4、-p5,每对共轭复数极点所提供的相角之和为360；,s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的相角为0。,s1右边所有位于实

9、轴上的每一个极点或零点所提供的相角为180；,-,s1,s2,4.实轴上的根轨迹(2),已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。,5.根轨迹的渐近线(1),当系统nm时，有（nm）条根轨迹分支沿着渐近线终止于无限远零点。渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。,渐近线与实轴的夹角,渐近线与实轴交点的坐标值,5.根轨迹的渐近线(2),证明,因为渐近线也是s的根轨迹，而根轨迹对称于实轴，所以 ，渐近线也对称于实轴。,做长除法并取高次项，得,5.根轨迹的渐近线(3),5.根轨迹的渐近线(4),5.根轨迹的渐近线(5),5.根轨迹的渐近线(6),说明,1）当k值取不同值时，a 有(nm)个值，而a

10、不变；,2）根轨迹在s时的渐近线为(nm)条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。,5.根轨迹的渐近线(7),例1：已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。,渐近线与实轴正方向的夹角：,渐近线与实轴交点：,5.根轨迹的渐近线(8),例：已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。,?,6.根轨迹的分离点与会合点(1),位于两相邻开环极点或零点之间的根轨迹段上至少存在一个分离点或会合点(闭环重极点);位于相邻开环极点和零点之间的根轨迹上可能出现分离点。分离点可能在实轴上，也可能在复平面上。,说明：若在实轴上两个相邻的开环极点或两个相邻的开环零点之间的区域为根轨迹区间，则在这区间内至少有一

11、个分离点或会合点。分离点方程的解并不都是分离点的坐标，若为实分离点，则应位于实轴上的根轨迹区间内，若为复分离点，则应满足相角条件。,6.根轨迹的分离点与会合点(2),根轨迹的分离点是下列方程的解：,6.根轨迹的分离点与会合点(3),举例1：已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。,规则4实轴上0到1和2到3两个区域段为根轨迹,规则5根轨迹有两条渐近线（nm2), 令k=0,规则6在实轴上有根轨迹分离点，且在区段2到3之间,规则1、2、3,根轨迹有三条分支。,6.根轨迹的分离点与会合点(4),举例2：已知某一系统的开环传递函数，试概略画出其根轨迹。,规则1、2、3、4 根轨迹对称于实轴

12、， 有四条根轨迹分支，分别起始于极点0,4和2j4，终止于无限远零点。 实轴上04区段为根轨迹.,相角条件 -p3、-p4的连接线为根轨迹,6.根轨迹的分离点与会合点(5),举例2：已知某一系统的开环传递函数，试概略画出其根轨迹。,-2,根据规则5 根轨迹有四条渐近线,根据规则6求根轨迹的分离点,例 已知开环传递函数为 式中， ，求分离点和会合点。,解 由已知：,代入分离点和会合点方程，有,6.根轨迹的分离点与会合点(6),由此得分离点和会合点分别为,6.根轨迹的分离点与会合点(7),7.根轨迹的出射角和入射角(1),出射角：根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角 入射角：而进入开环

13、复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角,7.根轨迹的出射角和入射角(2),出射角：,入射角：,简记“加零去余极”,简记“加极去余零”,7.根轨迹的出射角和入射角(3),证明：,在根轨迹上，靠近起点-p1处取一点s1，其相角方程为：,8.根轨迹与虚轴的交点(1),根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根, 系统处于稳定边界。交点的求法：,1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K1,由K1值求出相应的值,2）代数法：在闭环特征方程式中令s=j,可解出交点处的和K1值,联立求解，根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K1值。,8.根轨迹与虚轴的交点(2),例：系统的开环传递函数如 下，求根轨迹与虚轴的交点,闭环特征方程,系统稳定的临界K1值： K1=6,阵列中s2行元素构成辅助方程,解法1,8.根轨迹与虚轴的交点(3),解法2,代s=j入系统闭环特征方程,解得,例：系统的开环传递函数如 下，求根轨迹与虚轴的交点,9.闭环特征方程根之和与根之积(1),(n-m)2时,根之和与根轨迹增益K1无关,是个常数.且有：,这意味着：在开环极点确定的情