多元函数微分法及其应用

多元函数微分法及其应用Tag内容描述：<p>1、第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数， ，则在上， 。(2)函数在点处可微的 条件是在点处的偏导数存在。(3)函数在点可微是在点处连续的 条件。2求下列函数的定义域(1)；(2)3求下列各极限(1)； (2)； (3) 4设，求及。5求下列函数的偏导数(1)；(2)；(3)。6设，求全导数。7设，求。8曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？9求方程所确定的函数的偏导数。10设，求所有二阶偏导数。11设是由方程确定的隐函数，求，。12设，求。13设是由方程确定的隐函数，求，。14设，求全微分。15求函数在点的全微分。</p><p>2、第九章多元函数微分法及其应用,第九章多元函数微分法及其应用,一元函数,映射：,二元函数，,映射：,一元函数的邻域,一、平面点集,(1)内点、外点、边界点,设有点集E及一点P:,若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E,则称P为E的内点；,则称P为E的外点;,则称P为E的边界点.,的外点。</p><p>3、第八章多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念教学目标：掌握多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.课时安排：2课时重点：多元函数的极限、多元函数的连续性难点：多元函数的连续性教学法：讲授法一 平面点集 n维空间 平面点集 ，坐标系平面； Def：坐标平面上具有某种性质的点的集合。记为 如 ：圆内： 邻域：设为xoy平面上一点，。与的距离小于的点的全体称为点的邻域， 记为： 注：几何上：圆内部的点全体；。 内点，外点，边界点内点：若点P的某个邻域，则称P为E的内。</p><p>4、第九章多元函数微分法及其应用,第九章多元函数微分法及其应用,一元函数,映射：,二元函数，,映射：,一元函数的邻域,一、平面点集,(1)内点、外点、边界点,设有点集E及一点P:,若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E,则称P为E的内点；,则称P为E的外点;,则称P为E的边界点.,的外点。</p><p>5、高等数学教案 第八章 多元函数微分法及其应用第八章 多元函数微分法及其应用教学目的：1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。6、 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它。</p><p>6、第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数， ，则在上， 。(2)函数在点处可微的 条件是在点处的偏导数存在。(3)函数在点可微是在点处连续的 条件。2求下列函数的定义域(1)；(2)3求下列各极限(1)； (2)； (3) 4设，求及。5求下列函数的偏导数(1)；(2)；(3)。6设，求全导数。7设，求。8曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？9求方程所确定的函数的偏导数。10设，求所有二阶偏导数。11设是由方程确定的隐函数，求，。12设，求。13设是由方程确定的隐函数，求，。14设，求全微分。15求函数在点的全微分。</p><p>7、第八章 多元函数微分法及其应用,习 题 课,练习,一、填空题,.,.,二、求一阶偏导数,三、,四、,二、求一阶偏导数,练习 解答或提示,三、,练习 解答或提示,四、,练习 解答或提示,五、,六、,七、,八、,五、,练习 解答或提示,六、,练习 解答或提示,七、,练习 解答或提示,八、,练习 解答或提示。</p><p>8、1,推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,2,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,3,一、 区域,1. 邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),4,说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,在空间中,(球邻域),5,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,6,2. 区域,(1) 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) 。</p><p>9、1,平面点集 和区域,多元函数 的极限,多元函数 连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数 的性质,多元函数概念,第9章 多元函数微分法及其应用,2,高阶偏导数,隐函数 求导法则,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,多元函数的极值,全微分 概念,偏导数 概念,3,1、区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域.,（2）区域,即,4,（3）聚点,设 E 是平面上的一个点集, P 是平面上的一个点, 如果点 P 的任何一个去心的邻域内总有无限多个点属于点集 E, 则称 P 为 E 的聚点.,2、多元函数概念,5,3、多元函数的极限,6,说明：,（1）定义中 的方式是任意的。</p><p>10、1 -,第四节 多元函数微分法在几何上的应用,一 空间曲线的切线与法平面 二 曲面的切平面与法线,- 2 -,一 空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,- 3 -,1. 曲线方程为参数方程的情况,如果(1)式中的三个函数均有连续导数.,且,则称此曲线为光滑曲线。,- 4 -,切线方程,切线的方向向量:,称为曲线的切向量 .,也是法平面的法向量,因此得法平面方程,- 5 -,说明: 若引进向量函数, 则 ,处的导向量,就是该点的切向量.,- 6 -,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线。</p><p>11、第九章 多元函数的微分法 及其应用,第一节 多元函数的基本概念,一、平面点集 n维空间 二、多元函数概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性,一、平面点集 n 维空间,1、平面点集,坐标平面上具有某种性质p的点的集合 称为平面点集，记作,坐标平面：,建立了直角坐标系的平面,点,以点P表示(x , y)，|OP|表示 点P到原点O的距离，那么,=,平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是,邻域：,去心邻域,平面点集,设,为坐标平面,上的一点，,那么，,点,与,集,之间有怎样的,关系？,只有下面三种关系。,(1)内点:如果存在点P的某个邻域 ，。</p><p>12、第九章 多元函数微分法及其应用8. 1 多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1平面点集二元的序实数组(x, y)的全体, 即R2=RR=(x, y)|x, yR就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集, 记作E=(x, y)| (x, y)具有性质P. 例如, 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C=(x, y)| x2+y2<r2. 如果我们以点P表示(x, y), 以|OP|表示点P到原点O的距离, 那么集合C可表成C=P| |OP|<r. 邻域: 设P0(x0, y0)是xOy平面上的一个点, d是某一正数. 与点P0(x0, y0)距离小于d的点P (x, y)的全体, 称为点P0的d邻域, 记为U (P0,。</p><p>13、第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且 则 A A. B. C. -1 D. 12.函数 D A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值3。</p><p>14、推广推广推广推广 第八章第八章第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 注意注意注意注意 善于类比善于类比善于类比善。</p><p>15、第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1 平面点集 n维空间 多元函数的概念 这些你如果不知道就看看 我下面的资料是从P7开始的 2 在数轴上 一维空间 当时 只有两种趋近方式 一是从左边趋近于 即。</p><p>16、1 第七节 方向导数与梯度 习题 8 7 1 求下列函数在指定点 0 M处沿指定方向l的方向导数 1 cos zxy 0 0 2 M 3 4 l 2 uxyz 0 1 1 1 M 1 1 1 l 解 1 由方向 3 4 l可求出与l 同向的单位向量为 34 55 l e 因为函数可微分。</p><p>17、1 第二节 多元函数的偏导数 习题 8 2 1 求下列函数的偏导数 1 22 zax yaxy 2 222 tan zxy 3 xy z yx 4 2 arctan x z y 5 22 ln zxxy 6 ee yx zxy 7 ln 2 yz ux 8 1 yzxy 解 1 22 22 x zayxayaxyay 22 22 y zaxaxyax。</p><p>18、1 第四节 多元复合函数的求导法则 习题 8 4 1 求下列函数的全导数 1 v z u lnux exv 2 arcsin zxy 3xt 3 yt 3 uxyyz exy sinzx 4 2 e x uyz 2xt sinyt 2coszt 解 1 ddd ddd zzuzv xuxvx 2 11 ex v xuu 2 e11e1 e 1。</p>