复合函数求导

复合函数求导Tag内容描述：<p>1、1.2.2复合函数的导数 复习： 导数的运算法则 cf(x)= Cf(x)(c为常数) 复习： 1). 求函数y=(3x-2)2的导数. 2).如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 想一想 ? 探 究： 二、新课复合函数的导数： 1.复合函数的概念: 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示 成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x) 的复合函数. 记作y=f(g(x) 函 数 内层函数 外层函数 复合函数 定义域值 域 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x) ) xA UD UDyB xAyB 问题1:指出下列函数的复合关系 ： 解 : 2。</p><p>2、复合函数的导数 一、复习与引入： 1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢? 为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数. 二、新课复合函数的导数： 1.复合函数的概念: 对于函数y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f (x) 是自。</p><p>3、简单复合函数的 求导法则 * 知识回顾 Title 函数导函数 1、导数公式表 * 2.导数的四则运算法则： 设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则 推论：c f(x) = c f(x) * 课前练习： * 1.复合函数的概念: 二、讲授新课： * 指出下列函数是怎样复合而成： 练习1 * * 其实， 是一个复合函数， 问题： 分析三个函数解析式以及导数 之间的关系: 定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x) 也可导. 且或 复合函数的求导法则 即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 ) 注意： 。</p><p>4、复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 则复合函数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元。</p><p>5、第二章第二章 变化率与导数变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则简单复合函数的求导法则 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法 则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学 过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限 于形如f(axb)的导数). 明目标、知重点 填要点、记疑点 1. 复合函数的概念 2. 复合函数的求导法则 明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给 定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值， 这样y可以表示成 ，我们称这个函数。</p><p>6、第4节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 多元复合函数的求导法则 第九章 高等数学 * * 2 2 目录 上页 下页 返回 结束 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量t , 则相应中间变量 且有链式法则 有增量u ,v , 高等数学 * * 3 3 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式 ) (t0 时,根式前加“” 号) 高等数学 * * 4 4 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数。</p><p>7、第三节 复合函数的导数 一、复合函数的导数 二、综合例题求导举例 三、小结 1 复习: 1、常数和基本初等函数的导数公式 2 3 2、函数的和差积商的导数 定理 4 3、推论 5 4、反函数的导数 定理 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 6 一、复合函数的导数 定理 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则 ) 7 证 8 推广 例1 解 9 例2 解 例3 解 10 例4 解 例5 解 11 例6 解 例7 解 12 例8 解 证 例9 13 例10 解 14 例11 证 15 例12 解 16 例13 解 17 练习 解 18 三、小结 复合函数的求导法则 。</p><p>8、利用导数判断函数的单调性 y x0 a b c 严格地说,对于给定区间上的函数f(x), 如果对于属 于这个区间的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1f(x2), 那么f(x)在这个区间上是减函数. 直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x)在 区间(a,b)上是增函数; 从b到c曲线是下降的, 说函数f(x)在区间(b,c)上 是减函数. y x0 a b c 观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大 小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你 发现了什么规律? y x0 a b c 考察函数的单调性与导数的关系： 2 y x0 . . . . . . . 观察函数y=x24x3的图象： 总结: 该函数在。</p><p>9、1.2.2复合函数的导数 复习： cf(x)= Cf(x)(c为常数) 复习： 1). 求函数y=(3x-2)2的导数. 2).如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 把平方式展开,利用导数的四则运 算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 想一想 ? 探 究： 二、新课复合函数的导数： 1.复合函数的概念: 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可 以示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数. 记作y=f(g(x) 函 数 内层函数 外层函数 复合函数 定义域值 域 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x) ) xA UD UDyB xAyB 问题1:指出下列函数的复合关系： 2.求复合函数的导数 如:。</p><p>10、复复 合合 函函 数数 的的 求求 导导 法法 则则 一、复合函数的求导法则 1、引例 (1)求 的导数 解1 解2 因为 所以 解1是错误的。 因为 是基本初等函数，而 是复 合函数。 (2)求y=lnsinx的导数 ? 2、法则5 设 ，且 在点 处可导， 在相应点 处可导。则函数在点 处也可导， 且 或 记作 证： 设自变量 在点 处取得改变量 ，中间变量 则取得相应改变量 ，从而函数 取得改变量 。当 时， 有 因为 在 处可导，从而在 处必连续， 所以当 时， 。因 此 于是得 即 当 时，可证上式亦成立。 求 的导数 因为 于是 解：设则 二、举例 (A) 例1 求函数 的。</p><p>11、复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 则复合函数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元。</p><p>12、目录 学习目的与要求 熟练掌握利用链式法则求复合函数的求导数 2.3 复合函数的求导法则 目录 复习：基本初等函数的导数公式 目录 导数的四则运算法则 目录 一、复合函数的导数引例 目录 思考 因为 是由 复合而成的复合函数， 根据引例的求解结果，可得 有何启发？ 目录 二、复合函数求导定理 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中 间变量求导,乘以中间变量对自变量求 导.链式法则。 该定理可推广到任意有限次复合的情形. 目录 例 解 (1)分解复合函数 (2)对分解函数求导 (3)用复合函数求导法 目录 例设求 解 ： 关键: 把复合 函数分解为简。</p><p>13、复合函数的导数 一、复习与引入： 1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢? 为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数. 二、新课复合函数的导数： 1.复合函数的概念: 对于函数y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f (x) 是自。</p><p>14、复合函数求偏导 一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性 一、复合函数的链式法则 设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 ，如果能构成z是x ,y的 二元复合函数 如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？ 定理8.5 设函数 在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 在点(x,y)处的偏导数 存在，且有下面的链式法则： 复合函数的结构图是 公式(1)给出z对x的偏导数是 公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 式(*)的这两条规律，。</p><p>15、链式法则 第四节 复合函数的求导法则 证 情形一:中间变量为一元函数 一、多元复合函数求导的链式法则 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 单路全导, 叉路偏导口诀 : 情形二: 中间变量为多元函数 链式法则如图示 可见：在树形图中，函数有几个自变量， 就有几个导数公式，有几个中间变量， 就有几项之和，每项的构成都是函数对 中间变量的导数再乘以中间变量对自变 量的导数。 关键:在于函数的复合结构，主要搞清楚 “谁对谁”求导，哪些是中间变量，哪些 是自变量，明确每次求导是对哪一。</p><p>16、第四节 复合函数求导法则 一元复合函数求导链式法则： 多元复合函数求导链式法则： 情形1： 一、链式法则 相应链式图： 情形2： 相应链式图： 情形3： 在情形2中，若 ，则得 相应链式图： 函数对某自变量的偏导数的结构： （1）项数=中间变量的个数； （2）每一项=函数对中间变量的偏导数与该 中间变量对指定自变量偏导数的乘积。 例1、求下列复合函数的一阶（偏）导数。 例2、求下列复合函数的一阶（偏）导数。 二、抽象函数求（偏）导 记法： 两者的区别 区别 类似 例3、求下列复合函数的一阶偏导数。 例4、求下列复合函数指定的偏导数。</p><p>17、1.2.2基本初等函数的 导数公式及导数的运 算法则 基本初等函数导数公式 三、函数的和、差、积、商的求导法则 注意! 特别地 : 导数运算法则 例题讲解例题讲解 练习:求下列函数的导数: 思考：如何求函数 的导数呢？ 一.复合函数的定义： 定义：对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通 过变量u,y可以表示成x的函数,那么称函数为 函数y=f(u)和u=g(x)复合函数,记y=f(g(x). 练习:说出下列函数是由哪些函数复合而 成的? 二.复合函数的求导法则: 复合函数y=f(g(x)的导数和函数 y=f(u),u=g(x),的导数间的关系为: 即:y对x的导数等于y对u的导数与u对 x的。</p><p>18、3.4复合函数的导数 一、复习与引入： 1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢? 为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数. 二、新课复合函数的导数 1.复合函数的概念: 对于函数y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f (x) 是。</p><p>19、第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、一个方程所确定的隐函数 及其导数 三、方程组所确定的隐函数组 及其导数 复合函数与隐函数的求导方法 一、复合函数求导 复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 则复合函数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 复合函数的微。</p><p>20、复习:1.基本初等函数的导数公式 2.导数运算法则 (3) y=(2x2+3)(3x-2)，求y (4) y=(1-sinx)(1+sinx),求y (7) 求函数 的导数 思考 如何求函数y=（3x+2）的导数呢？ 若设u=3x+2， 则y=ln u. 如函数y(2x3)2，是由yu2和u2x3 复合而成的 1.复合函数现象 象这样的函数就是复合函数. 2.复合函数的定义 对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果 通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个 函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数， 练习：将复合函数分解成最简单函数 点拨：找复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初 等函数，最里层应为关于x的基。</p>