两个重要极限

两个重要极限Tag内容描述：<p>1、第六节 两个重要极限 （一）极限存在准则 （二）两个重要极限 （三）小结 思考题 （一）极限存在准则 定理2.11 夹逼准则 例1 解 由夹逼定理得 v下面给出一个判定数列极限存在的准则。 v设有数列yn=f(n)，如果对任意正整数n，恒有 f(n)f(n+1), 则f(n)为单调减少数列。 v如果存在两个常数m和M(mM)，使对任意整数n ，恒有mf(n) M，则f(n)为有界数列。 v定理2.12（准则）如果数列yn=f(n)是单调有 界的，则 f(n)一定存在. v例如：yn=1-1/n，显然，yn是单调增加的， 且yn1，所有由定理2.12知，yn1（n). (二)两个重要极限 (1) 例2 解 1coslim 0 。</p><p>2、对两个重要极限的重要性的认识摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用1. 绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，。</p><p>3、1.8 极限存在准则、两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 一、极限存在准则 1.夹逼准则 如果 那末存在, 且等于A. 有 注 对数列以及其它极限过程也有类似的夹逼准则. 1 . 夹逼准则 证: 由条件 (2) , 当时, 当 时, 令 则当时, 有 故 利用夹逼准则是求极限的一个重要手段, 将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x) 和h(x)即可. 例1 解 由夹逼定理得 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 单调有界有极限有界 例2 证 (舍去) 二、两个重要极限 (1) 即 因为当。</p><p>4、二、 两个重要极限 一、数列极限（函数极限）的夹逼准则、 单调有界收敛准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 第一章 一、数列极限存在的夹逼准则 准则I ：若数列 xn , yn 和 zn 满足下列条件: 则数列 xn 的极限存在且 证： 故 相应的函数极限存在的夹逼准则 准则I且 利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存 在的夹逼准则证明. 圆扇形AOB的面积 二、 第一个重要极限 证: 当 即 时， 显然有 AOB 的面积AOD的面积 B 单位圆 例1. 解: 例2. 解: 则因此 原式 例 3. 解: 原式 = 例4. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证。</p><p>5、2.5 极限存在性定理和两个重要极限 一、极限存在性定理 二、两个重要极限 一.极限存在准则 定理2.5.1 (夹逼准则） 如果数列 满足下列条件: 则数列 xn 的极限存在, 且 上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况. 准则I设函数 满足 则有存在，且等于A. 即： 定理2.5.2.(单调有界原理)单调有界数列必收敛. 单调递增有上界数列必收敛. 单调递减有下界数列必收敛. 例： e 二、两个重要的极限 证明 1. 注1型(含三角函数) 注2 在形式上完全一致，且 注3 如 ： Note: 例 2. 例： 5） 求 自然律之美 作业： P38：1(1)(5)(6) 2(1)(3)(5)；。</p><p>6、1.4 两个重要的极限 1.4.1 我们先考察当 时，函数 的变化趋势： 0.958851 0.998334 0.999983 0.999999 由上表可以看出，当 时， 可以证明 推广 ： 例1.12 解 例1.13 解 例1.14 解 例1.15 求 解：原式= 思考： 例1.15 求 解 时， ，因此 当 例 解 1.4.2 我们先列表考察当 时，函数 的变化趋势. 1 10100100010000100000 2 2.59 2.7052.717 2.7182.71827 -10-100-1000-10000-100000 . 2.882.7322.7202.71832.71828 从上表可以看出，当 时，函数 的值无限接近于一个常数，可以证明， 这里证明从略 这个数是个无理数，它的值是 推广：若 例1.16。</p><p>7、两个重要极限 1 2 练习 3、小结 两个重要极限 说明 （1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋 势下是“ ” 型。 （2）公式中的“ ”可以是趋向于零的代数式。 （3）注意三角函数有关公式的应用。 （1）函数在自变量指定的变化趋势下是“ ” 型。 （2）应用公式解题时，注意将底数写成1与一个无穷小量 的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数。 （3）注意求极限过程中运用指数的运算法则。。</p><p>8、2.2.5 两个重要极限 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 AOB 的面积AOD的面积 故有 注 当时 注 例1. 求 解: 例2. 求 解: 令则因此 原式 例3 注：在上例中，应用公式时，我们使用了代 换 ， 在运算熟练后可不必代换，直接计算： 说明: 计算中注意利用 注 例4 称为重要极限称为重要极限1 1的的等价形式等价形式. . 例5. 求 解: 原式 = 2. 证: 当时, 设则 当则从而有 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 例6. 求 解: 令则 说明 ：若利用则 原式 例7. 求 解: 原式 = 例8 解 例9 解 例例1010 解 根据重要极限根据重要极限(2)(2)，由归结。</p><p>9、第六、七节 两个重要极限 与无穷小量的比较 内容提要 1. 两个重要极限； 2. 无穷小量的比较。 教学要求 1. 熟练掌握用两个重要极限求极限； 2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一 些常见的等价无穷小。 一、两个重要极限 ( x 取弧度单位 ) 如图所示 , 作单位圆 则圆心角AOB=x ， 显然有 AODAOB SSS DD AOB扇形 即xxxtansin 分别除以 xsin 对于情形, 有 证: x 再取倒数 , 得1 sin cos x x x (1) 由于用 x- 代替x时 xcos 和 x xsin 都不变号 不等 式(1)仍成立 , 恒 有不等式 1 sin cos x x x 成立。 3由于1coslim 0 = x x , 且 。</p><p>10、第五节 夹逼准则与两个重要极限 一、夹逼准则 二、两个重要极限 利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的 极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如 极限值各是多少？如何求解？ 一、夹逼准则 (1) yn xn zn, (n =1,2,3)； 准则I 如果数列xn, yn, zn满足 则数列xn的极限存在, 且 例1 求 解 因为 又 由夹逼准则得 对于函数, 也有类似的夹逼准则： (或| x| M)时, 有准则I 如果当 则有 f(x) A (xx0或x) （1） g(x) f(x) h(x) (2) g (x) A, h(x) A (xx0或x), 准则I和准则I称为夹逼准则。 二、两个重要极限 证故只讨论x0+的情形. 。</p><p>11、第五节 极限存在准则与两个重要极限 本节先介绍两个极限存在准则，然后在此 基础上推出两个重要极限。 一、极限存在准则一、极限存在准则 定理定理 二.重要极限 由极限存在准则1可推得重要极限 运用夹逼定理. x O 1 D B A x y 从图中可看出: 证 一般地一般地 求 解 例1 求 解 例2 x a 时, (x) = 3(x a) 0 , 求 故 解 例3 解 例4 求 另解: 求 故 解 例5 (2) 求 (1) 请自己动手做一下 例6 (1)解 (2)解 例7 解 例8 解 重要极限 2、 变量代换 一般地一般地 求 例9 解 例10 解 例11 求 解 求 例12 解 ( 1 )求 例13 解 解 此题的另一解法：此题。</p><p>12、2.6 两个重要的极限 定理2.11 (两边夹准则) 例1. 证明 证明：当 利用准则1， 第二章 下面给出一个判别数列极限收敛的准则 对于数列 称 为单调增加数列。 对于数列 称 为单调减少数列。 定理2.12（准则II）： 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 AOB 的面积 AOD的面积 故有 两个重要极限 ： 说明: 解: 解: 例4 、 解: 扩展：对于变量x，也有 也可以写为 说明: 例5 解: 令 例6 原式=解: 例7 解：原式= 令 作业：P93 23（1）（3）（5）（7）， 24（1）（3）（5）（7）。</p><p>13、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（一一） 第五讲第五讲 函数极限存在准则、函数极限存在准则、 两个重要极限两个重要极限 第六节 极限存在准则、 两个重要极限 第二章 函数的极限与连续性 一.夹逼定理 二.单调收敛准则 三.两个重要极限 看懂后, 用精确地语言描述它. 一一. .夹逼定理夹逼定理 函数极限的夹逼定理函数极限的夹逼定理 定理定理 证 例1 解 夹逼定理 证明: 例2 解 夹逼定理 二二. .单调收敛准则单调收敛准则 一般说成: 在某极限过程中,单调有界的函数必有极限. 二.重要极限 首先看。</p><p>14、第六节 极限存在准则 两个重要极限 二、 两个重要极限 一 、两个重要准则 一、极限存在准则 P49 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 注意: 例1 解 由夹挤定理得 第一个重要极限 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 AOB 的面积AOD的面积 故有 当时 注 根据: 0 sin x x 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 第二个重要极限 重要极限，牢记！ 例1. 求 解: 二个重要极限 例2. 求 解: 原式 = 例3. 例4. 例10 证: (由保号性舍去负项 ) 两边同时取极限 : 内容小结 2. 两个重要极限 或 思考与练习 填空题 ( 14。</p><p>15、二、 两个重要极限 一、极限存在准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 1 1. 夹逼准则 (准则1) 证: 由条件 (2) , 当时, 当 时, 令 则当时, 有 由条件 (1) 即故 一、极限存在准则 若满足下列条件： 2 注意: 准则1 和准则 1称为夹逼准则. 准则I. 函数极限存在的夹逼准则 3 例1 解 由夹逼定理得 4 5 2. 单调有界数列必有极限 ( 证明略 ) 6 的极限存在，并求此极限。 证：设 又 单调有界数列,必有极限 设 例3 求证数列 （舍去） 7 故极限存在， 例4 设 , 且 求 解： 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界， 故 利用极限存在准则 8 圆。</p><p>16、目录 上页 下页 返回 结束 复习回顾 1. 极限运算法则 (1) 极限四则运算法则 (2) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 ) 时, 对型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法设中间变量 目录 上页 下页 返回 结束 定理 设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y= f (x), 在x0某个去心邻域, 若 且(x) l , 则复合函数y= f (x)在 xx0时 的极限为 二、 复合函数的极限运算法则 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 两个重要极限 第一章 目录 上页。</p><p>17、v预备知识 1.有关三角函数的知识 2.有关对数函数的知识 以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex， 叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简 记为 y = ln x. 数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8 3.有关指数运算的知识 4.无穷小量 定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量 称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母 性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量. 5.极限的运算法则 X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998 X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 。</p><p>18、二、 两个重要极限 一、极限存在准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 1 1.准则1（数列极限存在的夹逼准则 ) 证: 由条件 (2) , 当时,当 时, 令 则当时, 有 由条件 (1) 即故 一、极限存在准则 2 例1. 证明 证: 利用夹逼准则 . 且 由 3 准则1 函数极限存在的夹逼准则 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 4 3. 准则2 单调有界数列必有极限 （单调有界原理 ) ( 证明略 ) 5 例2. 设证明数列 极限存在 . (P49) 证: 利用二项式公式(P270 ), 有 6 大 大 正 又 比较可知 7 根据准则 2 可知数列 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 。</p>