量纲分析和相似原理

解决流体力学问题时仅靠三大基本方程是远远不够的 ，还需要借助其它科学试验手段。在研究某些流体运动规 律过程中量纲分析常常可给予很大的帮助。 4-1 量纲分析的概念和原理 一、量纲 (dimension) 量纲是指物理量的属性 (类别 )，也叫因次。 物理量的量纲可分为基本量纲 (fundamental dimension) 和导出量纲 (derived dimension)两类。 长度 L、时间 T、 质量 M这三个量纲属于基本量纲； 可用基本量纲推导出 来的 量纲属于导出量纲。如：流速的量纲 L/T。 第 4章 量纲分析和相似原理 某个物理量 A的量纲表示为 dimA，如速度量纲表 示为 dimu=LT-1 ， 加速度量纲 dima=LT-2，密度量 纲 dim=ML-3，力的量纲 dimF=dim(ma)=MLT-2 ， 压强的量纲 dim p=dim (F/A)= MLT-2 /L2=ML-1 T-2 对于任何物理量的量纲 几何学量纲： 0, =0, =0， 分类 运动学量纲： 0， =0 动力学量纲： 0 二、量纲一的量 基本量和导出量可以组合成量纲为 1的量，称 为量纲一的量，即 =0,=0,=0。 特点： （ 1）无单位，它的大小与所选单位无关； （ 2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度 L、流速 v和密度 就可以作为基本量。 基本量的判别 设 三个 物理量 A、 B、 C，能够作为基本量的条件是 AxByCz不是量纲一的量，即 代入上式，关于指数有如下关系 由线性代数知，当 ，有非零解，则可 组成量纲一的量，不独立，不可作为基本量。 当 ，无非零解，则不能组成量纲一的 量，独立，可作为基本量。 如 长度 L、 速度 V、 密度 三个物理量满足： ，可作为基本量。 问题 1. 速度 v，长度 l，重力加速度 g的量纲 1的集合是： A. B. C. 2. 速度 v,密度 ,压强 p的量纲 1的集合是： A. B. C. 3. 速度 v，长度 l，时间 t的量纲 1的集合是： A. B. C. 4. 压强 p，密度 ，长度 l，流量 Q的量纲的集合是： B. C. D. D. D. D. A. 量纲和谐原理 (theory of dimensional omogeneity)： 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能 成立。 物理方程中各项物理量的量纲之间存在的 规律性 ： 1物理方程中各项的量纲应相同。 2任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成 的方程而不会改变物理过程的规律性。 3物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量 纲之间的规律性，不会因所选择的基本量纲不同而发 生改变。 三 物理方程量纲的一致性 如理想流体的伯努利方程： 各项量纲均为 L， 上式可改写为无量纲的方程： 4-2 量纲分析法 量 纲 和 谐 原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量 间 的函数关系，以建 立合理的方程式。 这 种 利用量 纲 和 谐 原理探求物理量 之 间 的函数关系称 为 量 纲 分析法。 依据：量纲和谐原理 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 定理：适用于普遍性的问题。 一 瑞利法计 算步 骤 ： 1. 确定与所研究的物理 现 象有关的 n个物理量； 2. 写出各物理量之 间 的指数乘 积 的形式，如： FD=kDx Uyz a 3. 根据量 纲 和 谐 原理，即等式两端的量 纲应该 相 同，确定物理量的指数 x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之 间 的关系式。 应 用范 围 ：一般情况下，要求相关 变 量未知数 n 小于等于 45个。 例：实验表明，水流有层流和 紊流两种形态，由紊流转变为 层流时的断面平均流速称临界 流速 Vc，管径 d，流体密度 ， 动力粘度 有关。试建立函数关系式。 解： 式中 k为无量纲的系数 Vc= ？ 紊 临 层 雷诺试验 设 二、 定理 布 金汉 定理： 对于某个物理现象，如果存在 n个变 量 互为函数关系： F(q1,q2,q3, qn)=0 而在这些变量中含有 m个基本量 ，则可组合这些变量成 (n-m)个量纲一的量的函数关系： (1, 2, 3, n-m)=0 定理的解题步骤： （ 1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式 : （ 2）确定基本量：从 n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取 m=3。 在管流中，一般选 d， v， 三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用 H， v， 。 （ 3）确定 数的个数 N()=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的 表达式 F(q1,q2,q3, qn)=0 (4)确定量纲一 参数：由量纲和谐原理解联立指数 方程，求出各 项的指数 x， y， z，从而定出各量纲一 参数。 (5)写出描述现象的关系式 (1,2, n-m)=0 , 解 参数。 设变量共 5个，其中 x1、 x2、 x3为三个基本量 (m=3), 则 x1、 x2、 x3可与余下的 x4， x5组合成 2个 (n-m=2) 量纲一 1、 2。 所求的物理方程为 例 ：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速 V，管长 ,管径 d， 管壁 粗糙度 k， 流体运动粘滞系数 ，密度 有关，即试用 定理法 求该物理方程。 解： 这 7个量中，基本物理量有 3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为 余下的 4个量 分别与 相乘组成 4个 无量纲数： ，即 将各量 的量纲代入，写出各公式： 对每一个 写出量 纲 和 谐 方程式 组 ： 解得： 代入前面 公式得： 据 定理有： 改写为 或 由实验知压差与管长成正比，因此： 量纲分析法的 优点： 适用未知物理方程的流动。 缺点 ：选准物理量较难，物理意 义不明确。 应该 指出 ：量纲分析并没有也不可能给出流 动问题的最终解，它只提供了这个解的基本 结构，函数的数值关系还有待于实验研究。 4-3 流动相似性原理 采用模型试验和理论分析相结合的方式是解决问题 的有效途径之一，在把模型中的实测资料引用到原型中 产生下述问题： (1) 如何设计模型才能使模型和原型中的流动相似？ (2) 如何把模型中观测的流动现象和数据换算到原型 中去？ 相似原理提供了解决这两个问题的理论基础。 两个流动相似 ：一个流动某点的运动参数能由另一 个流动相应点的同名参数简单乘以对各点均相同的因子 得到，称为两流动相似。 相似流动遵从同一数学物理方程。 表征流体运动的三种不同性质的量： 表征流场 几何 形状 的、表征 运动状态 的以及表征 动力 的物理量。 故两个流动系统的相似可用 几何相似 、 运动相似 及 动力相似 来描述。 原型： prototype 模型： model 一、几何相似 几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺 寸相似，也就是原型和模型的任何一个相应线性长度 保持一定的比例关系。 式中 为长度比尺。 面积比尺 体积比尺 二、运动相似 运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质 点的迹线是几何相似的，而且任何对应质点流过相应 线段所需的时间又是具有同一比例的。或者说两个流 动的速度场 (或加速度场 )是几何相似的。 设时间比尺： 则速度比尺 加速度比尺 三、动力相似 原型和模型流动中任何对应点上作用着同名的 力，各同名力相互平行且具有同一比值。 ApFpp Fip FGp AmFpm F im FGm 四、初始条件和边界条件的相似 初始条件： 指两流动初始时刻的运动状态相似。 适用于非恒定流。 边界条件：指两流动对应边界性质相同。如固体 边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压 强等 。 4-4 相似准则 一、牛頓相似原理 设作用在流体上的合外力为 ,加速度为 ,质量为 m，则 上式可写为 式中 为量纲一的量，称为牛顿 (Newton)数， 以 Ne表示，即 (Ne)p=(Ne)m 两流动的动力相似归结为牛顿数相等。 牛頓数中的 F是作用在流体上的各种力的合力。即 牛頓相似条件是很苛刻的，一般是难以实现的。但 在具 体流动中往往 某一种力占主导作用 ，在模型实验中 只要 满足这种力的相似条件 ，可以 达到近似相似 的 结果。 二、 重力相似准则 流经闸、坝的水流，起主导作用的力是重力，只要 用重力代替牛顿数中的 F，根据牛顿相似准则就可求出 只有重力作用下流体相似准则。 作用力只有重力时，两个相似系统的弗劳德数应相 等，这就叫做重力相似准则，或称弗劳德准则，模型与 原型之间各物理量的比尺不能任意选择，必须遵循弗劳 德准则。 现将各种物理量的比尺与模型比尺 的关系推导如下 (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 时间比尺 (4) 力的比尺 (5) 压强比尺 (6) 功的比尺 (7)功率的比尺 三、 雷诺准则 流动中以粘滞力起主导作用， F=F代入牛顿 相似准则得 由雷诺准则推导模型与原型各物理量的比尺与模型 比尺 的关系如下： (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 时间比尺 (4) 力的比尺 当 时 (5) 压强比尺 当 时 (6) 功的比尺 当 时 (7)功率比尺 当 时 四、欧拉准则 五、其他相似准则 1、表面张力相似准则 2、弹性力相似准则 c c2 c 4-5 模型实验设计 模型设计要点： 1 模型比尺选择的限制性条件 (1)不造成严重失真； (2)实验场地的大小； (3)供水能力的大小； (4)制作条件； (5)建造及试验费用。 2 一般采用正态模型。 首先根据问题的需要与可能选定模型范围和几何比尺 ，再根据实际情况选定相似准则，按相似准则确定运 动各物理量的比尺。 一、弗劳德（重力）模型 二、雷诺模型（粘滞力） 例： 水口水电站模型按弗劳德准则设计，正态模 型，几何比尺 100。试求 u和 qv。 并求与原型 qvp为 28400m3/s相对应的模型流量。 解： 例： 设有一 dp=50cm的输油管，管长 lp=100m，管中 油的流量为 0.1m3/s。现采用 20 的水作为模型中的流 体，模型管径为 dm=2.5cm。已知 20 水的运动粘度 系数 1.00310-6m2/s， 20 油运动粘度为 15010-6m2/s 试求模型中管长 lm和模型流量。 解：长度比尺 l=20 lm=5m 原型中流速 v=qv/A=0.509m/s 故按雷诺准则设计模型，模型流量 0.0334l/s。 本章小结 1. 基本量纲 具有独立性的，不能由其他量纲推导 出来的量纲。 诱导量纲 由基本量纲导出的量纲。 dimq=LTM。 2.量纲和谐原理 凡是正确反映客观物理方程，其 各项的量纲都必须是一致的，即只是方程两边量纲