【测控设计】2015-2016学年高中数学课件（全册打包20套）新人教A版选修1-1
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【测控设计】2015-2016学年高中数学课件（全册打包20套）新人教A版选修1-1,测控,设计,学年,高中数学,课件,打包,20,新人,选修
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-*- 数的最大(小 )值与导数 知导学 堂检测 难探究 首页 学习目标 思维脉络 1 . 能记住函数最值的概念 , 能分析函数的最值与极值的区别和联系 . 2 . 会用导数求给定区间上的函数的最大、最小值 . 知导学 堂检测 难探究 首页 1 . 函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 上的最值 如果在区间 a , b 上函数 y=f ( x ) 的图象是一条连续不断的曲线 , 则该函数在 a , b 上一定能够取得 最大值 和 最小值 , 并且函数的最值必在 极值 或 端点值 取得 . 做一做 1 给出下列说法 : 函数在其定义域内若有最值与极值 ,则其极大值便是最大值 ,极小值便是最小值 ; 在闭区间上的函数一定有最大值和最小值 ; 若函数在其定义域上有最值 ,则一定有极值 ;反之 ,若有极值 ,则一定有最值 ; 若函数在给定的区间上有最值 ,则最多有一个最大值 ,一个最小值 ;但若有极值 ,则可有多个极值 . 其中说法正确的有 . ( 填序号 ) 解析 :由函数极值、最值的概念及它们的区别与联系可知 都是错误的 ,只有 是正确的 对于 ,在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 ,在闭区间上不连续的函数不一定有最值 ,故 是错误的 . 答案 : 知导学 堂检测 难探究 首页 2 . 函数最值的求法 求函数 f ( x ) 在 a , b 上的最值可分两种情况进行 : ( 1 ) 当函数 f ( x ) 单调时 : 若函数 y = f ( x ) 在 a , b 上单调递增 , 则 f ( a ) 为函数的最小值 , f ( b ) 为函数的 最大值 ; 若函数 y = f ( x ) 在 a , b 上单调递减 , 则 f ( a ) 为函数的 最大值 , f ( b ) 为函数的 最小值 . ( 2 ) 当函数 f ( x ) 不单调时 : 求 y = f ( x ) 在 ( a , b ) 内的 极 值 ; 将 y = f ( x ) 的各 极 值与 f ( a ), f ( b ) 比较 , 其中最大的一个为最大值 , 最小的一个为最小值 . 知导学 堂检测 难探究 首页 做一做 2 函数 y= x+ 3 在区间 - 3 , 3 上的最小值为 ( ) A . 1 B . 5 C . 12 D . - 15 解析 : y = 3 , 令 y = 0 ,得 3 = 0 , x= 1 或 x= - 1 . 当 - 1 1 或 x 0 , y 极小值 = 1 , y 极大值 = 5 . 又当 x= - 3 时 , y= - 15 ; 当 x= 3 时 , y= 21 , ym i n= - 15 . 答案 : D 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 求函数的最值 1 若函数 f ( x )的定义域是闭区间 ,则需比较极值与端点处函数值的大小 ,才能确定函数的最值 ; 2 .若 f ( x ) 的定义域是开区间且只有一个极值点 ,则该极值就是最值 . 典例提升 1 已知 a 为实数 , f ( x ) = ( )( x - a ) . 若 f ( - 1 ) = 0 , 求 f ( x ) 在 - 2 , 2 上的最大值和最小值 . 思路分析 :由 f ( - 1 ) = 0 可求出 a 的值 , f ( x ) 在 - 2 , 2 上的最值可在 f ( - 2 ), f ( 2 )及 f ( x ) 的极值中得出 . 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :由已知 f ( x ) = x+ 4 a , f ( x ) = 3 4 . 由 f ( - 1 ) = 0 , 得 a=12. f ( x ) = x+ 2 , f ( x ) = 3 x - 4 . 令 f ( x ) = 0 ,得 x=43或 x= - 1 ,从而当 x 变化时 , f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表 : x - 2 ( - 2 , - 1 ) - 1 - 1 ,434343, 2 2 f ( x ) + 0 - 0 + f ( x ) 0 单调递 增 极大 值92单调递 减 极小值 增 0 f ( x ) 的最大值为92,最小值为 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 规律小结 求函数 f ( x ) 在 a , b 上的最大值和最小值的步骤 : ( 1 ) 求函数的导数 f ( x ); ( 2 ) 求方程 f ( x ) = 0 的全部实根 x 0 ,且 x 0 a , b ; ( 3 ) 求最值 ,有两种方式 : 将 f ( x 0 )的值与 f ( a ), f ( b ) 比较 ,确定 f ( x )的最大值与最小值 ; 判断各分区间上的单调性 ,然后求出最值 . 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练 1 求下列函数的最值 : f ( x ) = 2 2 x , x - 1 , 3 . 解 : f ( x ) = 2 2 x , f ( x ) = 6 2 = 6 ( x+ 2 )( x - 2 ) . 令 f ( x ) = 0 ,解得 x= - 2 ( 舍去 ) 或 x= 2 . 当 x 变化时 , f ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表 : x ( - 1 , 2 ) 2 ( 2 , 3 ) f ( x ) - 0 + f ( x ) 极小值 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 2 , 3 ), 单调递减区间为 ( - 1 , 2 ) . f ( - 1 ) = 10 , f ( 3 ) = 18 , f ( 2 ) = - 8 2 , 当 x= 2 时 , f ( x ) 取得最小值 - 8 2 ; 当 x= 3 时 , f ( x ) 取得最大值 18 . 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 含参数的函数最值问题 解决含参数的函数最值问题 ,主要注意利用求最值的步骤求函数在定义域上的最值 ,结合题目所给条件求解参数 . 典例提升 2 已知函数 f ( x ) = 2 x2+a 在 - 2 , 2 上有最小值 - 37 , 求 a 的值 , 并求 f ( x ) 在 - 2 , 2 上的最大值 . 思路分析 :按求函数最值的步骤求出最小值 ,再结合已知求得 a ,进而求出 f ( x ) 在 - 2 , 2 上的最大值 . 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : f ( x ) = 6 2 x= 6 x ( x - 2 ) . 由 f ( x ) = 0 ,得 x= 0 或 x= 2 . 当 x 变化时 , f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表 : x - 2 ( - 2 , 0 ) 0 ( 0 , 2 ) 2 f ( x ) + 0 - 0 f ( x ) - 40 +a 极大值 a - 8 +a 当 x= - 2 时 , f ( x ) m i n = - 40 + a = - 37 , a= 3 . 当 x= 0 时 , f ( x ) 取到最大值 3 . 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 规律小结 求解含参数的函数最大值和最小值的步骤 : ( 1 ) 求函数的导数 f ( x ); ( 2 ) 求方程 f ( x ) = 0 的全部实根 ,同时 ,根据参数的范围 ,判断 f ( x ) = 0 的根是否在区间 a , b 内 ; ( 3 ) 根据参数的取值范围 ,确定函数的极大值、极小值 ; ( 4 ) 将函数的极值与端点处的函数值进行比较 ,求出函数的最大值、最小值 . 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练 2 已知函数 f ( x ) = a b 在 - 1 , 2 上有最大值 3 , 最小值 - 29 , 求 a , b 的值 . 分析 :本题考查含有参数的最值问题 . 函数求导 求极值 确定最值 求出 a , b 的值 解 :依题意 ,显然 a 0 . 因为 f ( x ) = 3 2 a x = 3 x - 4 ), x - 1 , 2 , 所以令 f ( x ) = 0 ,解得 0 , 4 ( 舍去 ) . ( 1 ) 若 a 0 ,当 x 变化时 , f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表 : x - 1 , 0 ) 0 ( 0 , 2 f ( x ) + 0 - f ( x ) 极大值 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 由上表知 ,当 x= 0 时 , f ( x ) 取得最大值 ,所以 f ( 0 ) = b = 3 . 又 f ( 2 ) = - 16 a+ 3 , f ( - 1 ) = - 7 a+ 3 , 故 f ( - 1 ) f ( 2 ), 所以当 x= 2 时 , f ( x ) 取得最小值 , 即 - 16 a+ 3 = - 29 ,解得 a= 2 . ( 2 ) 若 - 1 ) . 所以当 x= 2 时 , f ( x ) 取得最大值 , 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 即 - 16 a - 29 = 3 , 解得 a= - 2 . 综上所述 ,所求 a , b 的值为 = 2 , = 3或 = - 2 , = - 29 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 函数最值的综合应用 不等式的恒成立问题、方程根的个数问题、两函数图象交点的个数问题等等 ,大多可转化为函数的极值、最值问题 可以利用导数求出函数的极值、最值 一种是直接转化为求函数最值问题 ,一种是含有参数时 ,分离参数后转化为求最值问题 . 典例提升 3 求证 : l n x+112( x - 1 )2 1 +23( 1 - x )3. 分析 :本题主要考查利用函数的最值来证明不等式问题 ,先构造函数 ,再求出函数的最值 . 知导学 堂检测 难探究 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 证明 :设 f ( x ) = x+112( x - 1 )2+23( x - 1 )3- 1 ( x 0 ), f ( x ) =112- ( x - 1 ) + 2 ( x - 1 )2= - 12- ( x - 1 ) + 2 ( x - 1 )2= ( x - 1 )32 + 12. 令 f ( x ) = 0 ,解得 x= 1 . 当 x 变化时 , f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表 : x ( 0 , 1 ) 1 ( 1 , + ) f ( x ) - 0 + f ( x ) 极小值 由上表可知 ,当 x= 1 时 , f ( x ) 有极小值 ,它也是最小值 . 当 x 0 时 , f ( x ) f ( 1 ) = 0 . x+112( x - 1 )2 1 +23( 1 - x )3. 知导学 堂检测
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