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2.4
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- 关 键 词：
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年高
数学
模拟考试
试题
36
- 资源描述：
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2009年高考数学模拟考试试题共36套,年高,数学,模拟考试,试题,36
- 内容简介：
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- 1 - 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第卷 3 至9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 （选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2 2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除 干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 m 1在复平面内，复数 (1 2 )z i i 对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【 答案 】 B 【解析】 本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系 ( 1 2 ) 2 2z i i i i i ，复数 z 所对应的点为 2,1 ，故选 B. 2已知向量 a、 c k a b(k R),d a b,如果 c/ d，那么 （ ） A 1k 且 c 与 d 同向 B 1k 且 c 与 d 反向 C 1k 且 c 与 d 同向 D 1k 且 c 与 d 反向 【 答案 】 D 【解析】 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法 . 属于基础知识、基本运 算的考查 . 取 a 1,0 ， b 0,1 ，若 1k ，则 c a b 1,1 ， d a b 1, 1， 显然， a 与 b 不平行，排除 A、 B. 若 1k ，则 c a b 1,1 ， d a b 1,1 ， 即 c/ d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D. 3为了得到函数 3的图像，只需把函数 的图像上所有的点 （ ） A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【 答案 】 C 【解析】 本题主要考查函数图象的平移变换 . 属于基础知识、基本运算的考查 . m - 2 - A l g 3 1 l g 1 0 3y x x ， B l g 3 1 l g 1 0 3y x x ， C 3l g 3 1 l ， D 3l g 3 1 l . 故应选 C. 4若正四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D的底面边长为 1，1 60角，则11距离为 （ ） A 33B 1 C 2 D 3 【 答案 】 D 【解析】 本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念 . （第 4 题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查 . 依题意，1 60B ，如图， 1 1 t a n 6 0 3 ，故选 D. 5“ 2 ( )6 k k Z ”是“ 1c o s 22 ”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【 答案 】 A 【解析】 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断 . 属于基础知识、基本运算的考查 . 当 2 ( )6 k k Z 时， 1c o s 2 c o s 4 c o 2k ， 反之 ，当 12 时，有 2236k k k Z ， 或 2236k k k Z ，故应选 A. 6若 5(1 2 ) 2 ( ,a b a b 为有理数），则 o. m （ ） A 45 B 55 C 70 D 80 【 答案 】 C 【解析】 本题主要考查二项 式定理及其展开式 . 属于基础知识、基本运算的考查 . - 3 - 5 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 55 5 5 5 5 51 2 2 2 2 2 2 2C C C C C C 1 5 2 2 0 2 0 2 2 0 4 2 4 1 2 9 2 ， 由已知，得 4 1 2 9 2 2 ， 4 1 2 9 7 0 . 7用 0 到 9这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A 324 B 328 C 360 D 648 【 答案 】 B 【解析】 本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识 . 属于基础知识、基本运算的考查 . 首先应考虑 “ 0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有 29 9 8 7 2A （个）， 当 0 不排在末位时，有 1 1 14 8 8 4 8 8 2 5 6A A A （个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 7 2 2 5 6 3 2 8（个） . 8点 P 在直线 :1l y x 上，若存在过 P 的直线交抛物线 2于 , | | |B ，则称点 P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线 l 上的所有点都是“ 点” B直线 l 上仅有有限个点是“ 点” C直线 l 上的所有点都不是“ 点” D直线 l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 【 答案 】 A 【解析】 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力 ,考查学生分析问题和解决问题的能力 . 属于创新题型 . 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设 , , , 1A m n P x x ， 则 2 , 2 2B m x n x ， 2,A B y x在 上 ， 222 1 ( 2 )x m x （第 8 题解答图） 消去 n,整理得关于 x 的方程 22( 4 1 ) 2 1 0x m x m （ 1） - 4 - 2 2 2( 4 1 ) 4 ( 2 1 ) 8 8 5 0m m m m 恒成立， 方程（ 1）恒有 实数解， 应选 A. 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷） 第卷（共 110 分） 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 题号 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 91xx x _. W【 答案 】 12【解析】 本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子” . 属于基础知识、基本运算的考查 . 21 1 1 11 1l i m l i m l i m l i 111x x x x x x x x xx ，故应填 12. 10若实数 ,045 则 s y x的最小值为 _. 【 答案 】 6 【解析】 本题主要考查线性规划方面 的基础知 . 属于基础知识、基本运算 的考查 . 如图，当 4, 2 时， 2 4 6s y x 为最小值 . 故应填 6 . （第 10 题解答图） - 5 - 11设 ()曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线的斜率为 1，则该曲线在( 1, ( 1)f处的切线的斜率为 _. 【 答案 】 1 【解析】 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念 . 属于基础知识、基本运算 的考查 . 取 2f x x ，如图，采用数形结合法， 易得 该曲线在 ( 1, ( 1)f处的切线的斜率为 1 . 故应填 1 . 12椭圆 22192的焦点为12, P 在 椭圆上，若1| | 4则2|_； 12小大为 _. （第 11 题解答图） 【 答案 】 2, 120 【解析】 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理 . 属 于基础知识、基本运算的考查 . 229, 3， 22 9 2 7c a b ， 12 27， 又1 1 24 , 2 6P F P F P F a ， （第 12 题解答图） 2 2 又由余弦定理，得 222122 4 2 7 1c o 4 2F P F ， 12120F ， 故应填 2, 120 . m 13若函数1 ,0()1( ) , 03 则不等式 1| ( ) |3解集为 _. 【 答案 】 3,1 - 6 - 【 解析】 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法 . 属于基础知识、基本运算的考查 . （ 1）由 01| ( ) | 3 0113 3xf x . （ 2）由0 01| ( ) | 0 11111333 33x xx xf x x . 不等式 1| ( ) |3解集为 | 3 1 ， 应填 3,1 . 14已知数列 3 4 1 21 , 0 , , N ,n n n na a a a n 则2009a _； 2014a=_. 【 答案 】 1， 0 【解析】 本题主要考查周期数列等基础知识 依题意，得2 0 0 9 4 5 0 3 3 1，2 0 1 4 2 1 0 0 7 1 0 0 7 4 2 5 2 1 0a a a a . 应填 1， 0. 三 、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文 字说明，演算步骤或证明过程。 15（本小题共 13 分） 在 中，角 ,对边分别为 , , ,3a b c B ， 4c o s , 35. u. m （ ）求 值； （ ）求 的面积 . 【解析】 本 题主要考查三角 形中的三角函数变换及求值 、 诱导公式、三角形的面积公式 等基础知识， 主要 考查基本运算能力 （ ） A、 B、 C 为 内角，且 4, c o ， 23, s i A ， 2 3 1 3 4 3s i n s i n c o s s i 2 1 0C A A A . （ ）由（ ）知 3 3 4 3s i n , s i 0， 又 ,33，在 ，由正弦定理，得 s s . - 7 - 面积 1 1 6 3 4 3 3 6 9 3s i n 32 2 5 1 0 5 0S a b C . m 16（本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P 中， 底面 , , 6 0 , 9 0A B C P A A B A B C B C A ， 点 D ， E 分别在棱 ,C 上，且 /C o. m （ ）求证： 平面 （ ）当 D 为 中点时，求 平面 成的角的大小； （ ）是否存在点 E 使得二面角 A 为直二面角？并说明理由 . 【解法 1】 本题主要考查直线和平面垂直、 直线 与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象 能力、运算能力和推理论证能力 （ ） 面 又 90， 平面 （ ） D 为 中点， 12C， 又由 （ ）知， 平面 平面 足为点 E. 平面 成的角， 面 B， 等腰直角三角形， 12B， 在 ， 60， 12B. 在 ， 2s i B E A D A D ， 平面 成的角的大小 2（ ） 由 （ ）知， 平面 平面 又 平面 平面 二面角 A 的平面角， 面 90. m 在棱 存在一点 E，使得 时 90， 故存在 点 E 使得二面角 A 是直二面角 . - 8 - 【解法 2】 如图，以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 A ， 设 PA a ，由已知可得 1 3 30 , 0 , 0 , , , 0 , 0 , , 0 , 0 , 0 ,2 2 2A B a a C a P a . （ ） 10 , 0 , , , 0 , 02A P a B C a ， m 0P， 又 90， 平面 （ ） D 为 中点， E 为 中点， 1 3 1 3 1, , , 0 , ,4 4 2 4 2D a a a E a a ， 又由 （ ）知， 平面 平面 足为点 E. 平面 成的角， 1 3 1 3 1, , , 0 , ,4 4 2 4 2A D a a a A E a a ， 14c o A A E . 平面 成的角的大小 14（ ）同解法 1. 17（本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 ，遇到红灯的概率都是 13，遇到红灯时停留的时间都是 2（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； m （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 . 【解析】 本 题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率 知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等 基础知识，考查运用概率 与统计 知识解决实际问题的能力 . （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为 1 1 1 4113 3 3 2 7 . （）由题意，可得 可能取的值为 0， 2， 4， 6， 8（单位： . o. m - 9 - 事件“ 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”（ k 0， 1， 2， 3， 4）， 44 122 0 , 1 , 2 , 3 , 433k C k ， m 即 的分布列是 0 2 4 6 8 P 1681 3281 827 881 181 的期望是 1 6 3 2 8 8 1 80 2 4 6 88 1 8 1 2 7 8 1 8 1 3E . 18（本小题共 13 分） 设函数 ( ) ( 0 )x x e k （ ）求曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （ ）求函数 () （ ）若函数 () 1,1) 内单调递增，求 k 的取值范围 . m 【解析】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、 解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力 （） 1 , 0 1, 0 0x k x e f f , 曲线 ()y f x 在点 (0, (0)f 处的切线方程为 . （ ）由 10x k x e ，得 1 0 ， 若 0k ，则当 1, 时， 0，函数 当 1 , 时， 0，函数 若 0k ，则当 1, 时， 0，函数 当 1 , 时， 0，函数 - 10 - （ ）由（ ）知，若 0k ，则当且仅当 1 1k ， 即 1k 时，函数 1,1 内单调递增， 若 0k ，则当且仅当 1 1k， 即 1k 时，函数 1,1 内单调递增， o. m 综上可知，函数 1,1 内单调递增时， k 的取值范围是 1, 0 0,1 . 19（本小题共 14 分） 已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的离心率为 3 ，右准线方程为 33x（ ）求双曲线 C 的方程； （ ）设直线 l 是圆 22:2O x y上动点0 0 0 0( , ) ( 0 )P x y x y 处的切线， l 与双曲线 C 交 于不同的两点 ,明 的大小为定值 . 【解法 1】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线 方程 等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得2 333 ，解得 1, 3， 2 2 2 2b c a ， 所求 双曲线 C 的方程为 22 12. （ ）点 0 0 0 0,0P x y x y 在圆 222上， m 圆在点 00,P x 0000xy y x ， 化简得002x x y y. m 由 2200122x y y 及 22002得 2 2 20 0 03 4 4 8 2 0x x x x x ， 切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B，且 2002x， 203 4 0x ，且 2 2 20 0 01 6 4 3 4 8 2 0x x x ， m - 11 - 设 A、 B 两点的坐标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y， 则 2001 2 1 2224 8 2,3 4 3 4x x x ， m c o s O A O B O A O B ，且 1 2 1 2 1 2 0 1 0 2201 22O A O B x x y y x x x x x ， 21 2 0 1 2 0 1 2201 422x x x x x x x m 2222 00002 2 2 20 0 0 0828 2 81 43 4 2 3 4 3 4x x x 220022008 2 8 2 03 4 3 4 . 的大小为 90 . 【解法 2】 （）同解法 1. （ ）点 0 0 0 0,0P x y x y 在圆 222上， m 圆在点 00,P x 0000xy y x ， 化简得002x x y y200122x y y 及 22002得 o. m 2 2 20 0 03 4 4 8 2 0x x x x x 2 2 20 0 03 4 8 8 2 0x y y x x 切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B，且 2002x， 203 4 0x ，设 A、 B 两点的坐标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y， 则 22001 2 1 222008 2 2 8,3 4 3 4x y ， m 1 2 1 2 0O A O B x x y y ， 的大小为 90 . - 12 - （ 22002且000 22000 2 , 0 2 ，从而当 203 4 0x 时，方程和方程的判别式均大于零） . 20（本小题共 13 分） 已知数集 1 2 1 2, , 1 , 2a a a a a a n 具有性质 P ；对任意的 ,1i j i j n ， . m （ ）分别判断数集 1,3,4 与 1,2,3,6 是否具有性质 P ，并说明理由； （ ）证
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