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- 关 键 词：
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年高
数学
模拟考试
试题
36
- 资源描述：
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2009年高考数学模拟考试试题共36套,年高,数学,模拟考试,试题,36
- 内容简介：
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- 1 - 2009 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： 1 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 . 2 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分 0 分钟 . 一真空题 （本大题满分 56 分）本大题有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1 若复数 z 满足 z (1+i) =1I 是虚数单位 )，则其共轭复数 z =_ . 2 已知集合 |1A x x， |B x x a，且 A B R， 则实数 a 的取值范围是 _ . 3 若行列式 4175 8 9中，元素 4 的代数余子式大于 0， 则 x 满足的条件是 _ . o. m 4某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是 _ . 5如图，若正四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D的底面连长为 2，高 为4，则异面直线1D 所成角的大小是 _（结果用反三角函数表示） . 6函数 22 c o s s i n 2y x x的最小值是 _ . 7某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E _（结果用最简分数表示） . R ， 2R ，32 ，则它们的表面积 1S ， 2S ，3S，满足的等量关系是 _. m - 2 - F 、 2F 是椭圆 1:2222 a b 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且21 1的面积为 9，则 b =_. 三条直线 0 ，3， 1 围成图形的面积是_. o. m 10 x ，不等式 2成立，则实数 k 的取值范围是 _. 12已知函数 7 的等差数列 22 ，且公差0d )()()( 2721 则当 k =_是， )( 西、南 北向的网格状，相邻街距都为 以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 )22( ， ， )13(， ， )43(， ， )32( ， ，)54(， ， )66(， 为报刊零售点 零售点外） _为发行站，使 6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短 . o. m 64 2 )60( ，x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 )0( ，得到曲线 C ，曲线 C 都是一个函数的图像，则 的最大值为 _. m 二选择题（本大题满分 16分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4分，否则一律得零分。 15. ”“ 22 a 是“实系数一元二次方程 012 虚根”的 （ A）必要不充分条件 （ B）充分不必要条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 与 F 相互独立，且 14P E P F，则 P E 值等于 （ A） 0 （ B） 116（ C） 14（ D） 专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 - 3 - （ A）甲地：总体均值为 3，中位数为 4 （ B）乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 （ C）丙地：中位数为 2，众数为 3 （ D）丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 2( 1 ) ( 1 ) 1C x y ： 的圆心，作直线分别交 x、 y 正半轴于点 A、 B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 | ,S S S S 则直线 （ ） （ A） 0 条 （ B） 1 条 （ C） 2 条 （ D） 3 条 三解答题（本大题满分 78 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤 19（本题满分 14 分） 如图，在直三棱柱1 1 1 B C中，1 2A A B C A B , C ,求二面角 1 1 1B A C C的大小。 m 20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 有时可用函数 0 . 1 1 5 l n , ( 6 )()4 . 4 , ( 6 )4a m 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ *）， ()实 数 a 与学科知识有关。 （ 1） 证明：当 7x 时，掌握程度的增加量 ( 1) ( )f x f x 总是下降； （ 2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的 115,121 ,(121,127 ,(121,133 。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。 - 4 - 21（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满 分 8 分。 已知双曲线 2 2: 1,2设过点 ( 3 2, 0)A 的直线 l 的方向向量 (1, )ekv （ 1） 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离； （ 2） 证明：当 k 22时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 6 。 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分。 已知函数 ()y f x 的反函数。定义：若对给定的实数 ( 0)，函数 ()y f x a与1 ()y f x a互为反函数，则称 ()y f x 满足“ a 和性质”；若函数 ()y f 与1()y f 互为反函数，则称 ()y f x 满足“ a 积性质”。 （ 1） 判断函数 2( ) 1 ( 0 )g x x x 是否满足“ 1 和性质”，并说明理由； （ 2） 求所有满足“ 2 和性质”的一次函数； （ 3） 设函数 ( )( 0 )y f x x对任何 0a ，满足“ a 积性质”。求 ()y f x 的表达式。 23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题 - 5 - 满分 8 分。 已知 d 的等差数列， q 的等比数列。 （ 1） 若 31，是否存在 *m k N、 ，有1 ?m m ka a a说明理由； m （ 2） 找出所有数列 对一切 *,1n ,并说明理由； （ 3） 若115 , 4 , 3 ,a d b q 试确定所有的 p ，使数列 p 项的和是数列 ，请证明。 - 1 - 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修 +选修） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分第 错误 !未找到引用源。 卷 1至 2 页，第 错误 !未找到引用源。 卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动 ，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 在试题卷上作答无效 3第 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互独立 ，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 34 3VRn 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 1 , 2 )k k n k C P P k n ， ， ， 一、选择题 （ 1） 的值为 (A) 22(B) 22(C) 32(D) 32(2)设集合 A= 4， 5， 7， 9， B= 3， 4， 7， 8， 9，全集 =A B，则集合 A B）中的元素共有 (A) 3 个 （ B） 4 个 （ C） 5 个 （ D） 6 个 （ 3）不等式 1 11的解集为 （ A） 0 1 1x x x x （ B） 01 - 2 - （ C） 10 （ D） 0 （ 4）已知 4,=13,则 a+ )= (A) 711(B) 711(C) 713(D) 713（ 5） 设双曲线 22 00xy 1 ， 的渐近线与抛物线 2 1y x 相切，则该双曲线的离心率等于 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 6 （ 6）已知函数 () ( ) 1 0g x x 2，则 (1) (1)f g （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 4 （ 7）甲组有 5 名男同学、 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （ A） 150 种 （ B） 180 种 （ C） 300 种 （ D） 345 种 （ 8）设非零向量 a b c、 、 满足 ， a b c，则 （ A） 150 （ B） 120 （ C） 60 （ D） 30 （ 9）已知三棱柱1 1 1 B C的侧棱与底面边长都相等，1的射影为 中点，则异面直线 1(A) 34(B) 54(C) 74(D) 34(10) 如果函数 3 c o s(2 )的图像关于点 4( ,0)3中心对称，那么 的最小值为 (A)6(B) 4(C) 3(D) 2（ 11）已知二面角 l 为 600 ，动点 P、 Q 分别在面 ,内， P 到 的距离为 3 ， Q 到 的距离为 23，则 P、 Q 两点之间距离的最小值为 （ A） 2 （ B） 2 （ C） 23 （ D） 4 （ 12）已知椭圆 2 2:12的右焦点为 F,右准线 l ，点 ，线段 C 于点 B。若 3B ,则 (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3 - 3 - 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修 选修 ） 第 卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第 卷共 2 页，请用直径 米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在 试题卷上作答无效 3第 卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 （注意： 在试题卷上作答无效 ） （ 13） 10()的展开式中， 737系数之和等于 _. （ 14）设等差数列 n 项和为9 72S ，则2 4 9 _. (15)已知 的半径，过 点 M 且垂直于 ，若圆 ，则球 O 的表面积等于 _. （ 16）若直线 m 被两平行线12: 1 0 : 3 0l x y l x y 与所截得的线段的长为 22，则m 的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 。（写出所有正确答案的序号） 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 证明过程或演算步骤 . (17)(本小题满分 10 分 )(注意 :在试题卷上作答无效 ) 设等差数列 前 n 项和为比是正数的等比数列 前 n 项和为 已知1 1 3 3 3 31 , 3 , 1 7 , 1 2 , , b a b T S b 求 (18)(本小题满分 12 分 )（注意：在试题卷上作答无效） 在 中，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 22a c b ，且s i n 4 c o s s i C ，求 b. - 4 - (19)(本小题满分 12 分 )（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 S 中，底面 矩形， 底面 2，2D，点 M 在侧棱 ， 0 。 证明： M 是侧棱 中点； 求二面角 S 的大小。 (20)（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 获胜的概率为 局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 （ 21）（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知函数 42( ) 3 6f x x x . （）讨论 ()性； （）设点 P 在曲线 ()y f x 上，若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点，求 l 的方程 (22)（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 如图，已知抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2: ( 4 ) ( 0 )M x y r r 相交于 A、 B、 C、 D 四个点。 （）求 r 的取值范围 （）当四边形 面积最大时，求对角线 的坐标。 .u.c.o.m - 1 - 09年全国 卷 理科数学 试题全析全解（一） 河北望都中学 汤敏军 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 高 资 网 理科数学（必修 +选修 ） 高 资 网 高 资 资 网 第卷 高 资 网 考生注意： 高 资 网 1答题前，考生在答题卡上务必用 米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 高 资 网 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 高 资 网 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 高 资 网 高 资 网 参考公式： 高 资 网 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 高 资 网 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24高 资 网 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 高 资 网 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 高 资 网 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 34 3 资 网 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 高 资 择题 (1)设集合 A= 4， 5， 7， 9， B= 3， 4， 7， 8， 9，全集 U=A B，则集合 ()u A） （ A） 3 个 （ B） 4个 （ C） 5个 （ D） 6个 m 解： 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 ， 4 , 7 , 9 ( ) 3 , 5 , 8 C A B 故选 A。也可用摩根律：( ) ( ) ( )U U B C A C B （ 2）已知12+i,则复数 z=（ B ） （ A） i (B)1 (C)3+i (D)3- 2 - 解： (1 ) ( 2 ) 1 3 , 1 3z i i i z i 故选 B。 m (3) 不等式 11 1的解集为 （ D ） （ A） x 0 1 1x x x (B) 01 （ C） 10 (D) 0 u. m 解：验 x= (4)设双曲线 221（ a 0,b 0）的渐近线与抛物线 y=1 相切，则该双曲线的离心率等于 ( C ) （ A） 3 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 6 o. m 解：设切点00( , )P x y，则切线的斜率为0 0|202y 又 2001 解得 : 220 1 , 2 , 1 ( ) 5 . m (5) 甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 ( D ) （ A） 150 种 （ B） 180 种 （ C） 300 种 (D)345 种 解 : 分两类 (1) 甲组 中选出一名女生有 1 1 25 3 6 225 种选法 ; m (2) 乙 组中选出一名女生有 2 1 15 6 2 120C C C 种选法 45种选法 （ 6）设 a 、 b 、 c 是单位向量，且 a b 0，则 a c b c 的最小值为 ( D ) （ A） 2 （ B） 22 （ C） 1 (D)12 解 : , 单 位 向 量 2()a c b c a b a b c c m | | | 1 2 c o s , 1 21| a b c a b c 故选D. 11 3 - （ 7）已知三棱柱1 1 1 B C的侧棱与底面边长都相等，1的射影为 中点，则异面直线 1 D ） （ A） 34（ B） 54（ C） 74(D) u. m 解：设 中点 为 D，连结1知1A 即为 异面直线 1由三角余弦定理，易知1 13s 4o s c o s A D A D D A B A A A B m （ 8）如果函数 c o s 2 3 的图像关于点 43， 0中心对称，那么 | 的最小值为（ C）（ A）6（ B）4（ C）3(D) 2 解 : 函数 c o s 2 3 的图像关于点 43， 0中心对称 c. 42 3 k 42 ( )3k k Z 由此易 得 3 (9) 已知直线 y=x+1 与曲线 y )相切，则的值为 ( B ) m (A)1 (B)2 (C) (D) :设切点00( , )P x y，则 0 0 0 0()yx ,又001|10 0 01 0 , 1 2x a y x a （ 10）已知二面角 0o ，动 点 P、 Q 分别在面、内， P 到的距离为 3 ， Q 到的距离为 23，则 P、 Q 两点之间距离的最小值为 （ C ） (A) (B)2 (C) 23 (D)4 m 解 :如图分别作 , , ,Q A A A C l C P B B 于 于 于 PD l D 于 ，连 , 6 0 ,C Q B D A C Q P B D 则 2 3 , 3P ， 2D 又 2 2 21 2 2 3P Q A Q A P A P - 4 - 当且仅当 0，即 点 重合时取最小值。故答案选 C。 （ 11）函数 ()，若 ( 1)与 ( 1)都是奇函数，则 ( D ) o. m (A) () (B) () (C) ( ) ( 2 )f x f x (D) ( 3)是奇函数 解 : ( 1)与 ( 1)都是奇函数 ， ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 )f x f x f x f x ， 函数 ()1,0) ，及点 ( 1,0) 对称，函数 () 1 ( 1 ) 4T 的周期函数 . ( 1 4 ) ( 1 4 )f x f x ， ( 3 ) ( 3 )f x f x ，即 ( 3是奇函数。故选 D 2:12的右焦点为 F ,右准线为 l ，点 ，线段 C 于点 B ，若3B ,则 | (A). 2 (B). 2 (C). 3 (D). 3 m 解 :过点 B 作 BM l 于 M,并设 右准线 l 与 ，易知 B ,故2|3得 2 2 2| 2 3 3 | | 2 第 二、填空题： 13. 10的展开式中， 737系数之和等于 。 解 : 3 7 31 0 1 0 1 0( ) 2 2 4 0C C C o. m 14. 设等差数列 n 项和为9 72S ,则2 4 9= 。 解 : 差数列 ,由9 72S ,得59 9 ,S a 5 8a 2 4 9 2 9 4 5 6 4 5( ) ( ) 3 2 4a a a a a a a a a a . o. m 15. 直 三 棱 柱1 1 1 B C的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 若1 2A B A C A A , 120 ，则此球的表面积等于 。 解 :在 中 2C, 120 ,可得 23,由正弦定理 ,可得 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 中，易得球半径 5R ，故此 - 5 - 球的表面积为 24 20R . m 16. 若42x，则函数 3t a n 2 t a ny x x 的最大值为 。 解 :令 142 , m 44322 24 2 22 t a n 2 2 2 2t a n 2 t a n 81 1 1 1 1 11 t a n 1 ()2 4 4x t t m 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分）（ 注意：在试题卷上作答无效 ） 在 中，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 222a c b ，且s i n c o s 3 c o s s i n ,A C A C 求 b m 分析 :此题事实上比较简单 ,但考生反应不知从何入手 1) 222a c b 左侧是二次的右侧是一次的 ,学生总感觉用余弦定理不好处理 ,而对已知条件 (2) s i n c o s 3 c o s s i n ,A C A C 过多的关注两角和与差的正弦公式 ,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差 ,导致找不到突破口而失分 . 解 法 一 ： 在 中 s i n c o s 3 c o s s i n ,A C A C 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理有 : 2 2 2 2 2 23,22a b c b c b b c 化简并整理得： 2 2 22 ( )a c bc b 24 0 (或 舍 ）. o. m 解法二 :由余弦定理得 : 2 2 2 2 c o sa c b b c A 22a c b , 0b 。 所以 2 c o s 2b c A 又 s i n c o s 3 c o s s i A C ， s i n c o s c o s s i n 4 c o s s i A C A C s i n ( ) 4 c o s s i A C ，即 s i n 4 c o s s i C 由正弦定理得 s in s 故 4 c A 由，解得 4b 。 评析 :从 08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查 高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力 纲中明确不再考 - 6 - 的知识和方法了解就行，不必强化训练。 18 （本小题满分 12 分）（ 注意：在试题卷上作答无效） 如 图 ， 四 棱 锥 S 中 ， 底 面 矩 形 ， 底面 22D，点 M 在侧棱 ， =60 （ I）证明： M 在侧棱 中点 （ 二面角 S 的大小。 （ I） 解法一：作 N，作 B 交 E， 连 面 B , 2N E A D 设 MN x ，则 B x, 在 中， 60 3ME x。 在 中由 2 2 2M E N E M N 2232 解得 1x ，从而 12D M 为 侧棱 中点 M. 解法二 :过 M 作 平行线 . 解法三 :利用向量处理 . 详细可见 09 年高考参考答案 . （ 分析一 :利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。 过 M 作 J ,作 J 交 H ,作 M 交 K ,则 面 面 面 面 即为所求二面角的补角 . 分析二 ：利用二面角的定义。在等边三角形 过点 B 作 M 交 点 F ，则点 F 为 中点，取 中点 G，连 证 M ，则 即为所求二面角 . 分析三 ：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线 直的两个向量的夹角即可。 另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。 总之在目前， 立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。 19 （本小题满分 12 分）（ 注意：在试题卷上作答无效） - 7 - 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 获胜的概率为 局比赛结果相互独立，已知前 2局中，甲、乙各胜 1 局。 （ I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。 分析 ：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。 20 （本小题满分 12 分）（ 注意：在试题卷上作答无效） 在数列 1 111 , ( 1 ) 2nn a （ I）设 nn ab n， 求数列 （ 数列 n 项和 （ I） 由已知有 1 112 1 12 利用累差迭加即可求出 数列 112 2( *) （ 由 （ I） 知12 2n , 11 ( 2 )2 111( 2 ) 2而1( 2 ) ( 1 )n n ,又 11 2是一个典型的错 位相减法模型， 易得1112422 ( 1)2 42 评析 ： 09 年高考理科数学全国 (一 )试题将数列题前置 ,考查构造新数列和利用错位相减法求前 改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能 ,重视两 纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 21（本小题满分 12 分）（ 注意：在试题卷上作答无效） - 8 - 如图，已知抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2: ( 4 ) ( 0 )M x y r r 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点。 （ I）求 r 得取值范围； （ 四边形 面积最大时，求对角线 交点 P 坐标 分析： （ I） 这一问学生易下手。将 抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2: ( 4 ) ( 0 )M x y r r 的方程联立，消去 2y ，整理得 227 1 6 0x x r （） 抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2: ( 4 ) ( 0 )M x y r r 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点 的充要条件是：方程（）有两个不 相等的正根即可 5( , 4)2r （ 考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为11( , )A x x、11( , )B x x、22( , )C x x、22( , )D x x。 则由 （ I） 根据韦达定理有 21 2 1 27 , 1 6x x x x r ， 15( , 4)2r 则2 1 1 2 2 1 1 21 2 | | ( ) | | ( )2S x x x x x x x x 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 ( 2 ) ( 7 2 1 6 ) ( 4 1 5 )S x x x x x x x x r r 令 216 ，则 22( 7 2 ) ( 7 2 )S t t 下面求 2S 的最大值。 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问 题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。 22 1( 7 2 ) ( 7 2 ) ( 7 2 ) ( 7 2 ) ( 1 4 4 )2S t t t t t 331 7 2 7 2 1 4 4 1 2 8( ) ( )2 3 2 3t t t 当且仅当 7 2 14 4 ，即 76t时取最大值。经检验此时 15( , 4)2r 满足题意。 方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点 P 的坐标。设点 P 的坐标为： ( ,0) 9 - 由 A P C、 、 三点共线，则 1 2 11 2 1 px x xx x x x 得12 76px x x t 。 以下略。 22. 本小题满分 12 分。 （ 注意：在试题卷上作答无效） 设函数 3233f x x b x c x 在两个极值点12且12 1 0 , 1 , 2 ，（ I） 求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 ,区域； (明： 2 110 2 分析 （ I） 这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。 23 6 3f x x b x c 由 题 意 知 方 程 0 有两个根 12 1 1 0,x 且 ， 2 1, 2则有 10f ， 00f ， 1 0 2 0， 故有 右图中阴影部分即是 满足这些条件的点 ,区域 。 (一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 322 2 2 233f x x b x c x 中的 b ，（如果消 c 会较繁琐）再利用2借助 （ I） 中的约束条件得 2,0c 进而求解，有较强的技巧性。 解： 由题意有 22 2 23 6 3 0f x x b x c 又 322 2 2 233f x x b x c x - 10 - 消去 b 可得 32 2 21322cf x x x 又2 1, 2x ，且 2,0c 2 11 0 ( ) 2 2009 年普通高校招生统一考试全国 2 卷 数学（文） 全解全析 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， M=1， 3， 5， 7， N=5， 6， 7 则 N（ ）A 5， 7 B 2， 4 C 2,4,8 D 1,3,5,7 解析：集合的并补运算 答案： C 2函数 ( 0 )y x x 的反函数是 A 2 ( 0 )y x x B 2 ( 0 )y x x C 2 ( 0 )y x x D 2 ( 0 )y x x 解析：反函数概念 答案： B 3函数2 2lo g 2 xy x 的图像 A 关于原点对称 B 关于直线 对称 C 关于 y 轴对称 D 关于直线 对称 解析：函数奇偶性及对数式定义域及运算 答案： A 4 ， 125,则 （ A） 1213（ B） 513（ C） 513(D) 1213解析：同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号 答案： D 5已知正四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，1 2B， E 为1异面直线 1（ A） 1010(B) 15(C) 3 1010(D) 35解析：平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于 900 答案： C 6已知向量 (2,1)a ， 10 ,| | 5 2 ,则 b （ A） 5 (B) 10 (C) 5 (D) 25 答案： C 解析：将 | | 5 2 平方即可 7 2l g , ( l g ) , l ga e b e c e ，则 (A) a b c (B) a c b (C) c a b (D) c b a 解析：将 lg 0 看 作 判断即可 答案： B 8双曲线 22163的渐近线与圆 2 2 2( 3 ) ( 0 )x y r r 相切，则 r= A 3 B 2 C 3 D 6 解析：联立消 y 得 x 的一元二次方程 ，由判别式为 0，得 r= 3 答案： A 9若将函数 t a n ( ) ( 0 )4 的图像向右平移6个单位长度后，与函数 ta n ( )6的图像重合，则 的最小值为 （ A） 16(B) 14(C) 13(D) 12解析：由6 4 6x x k （ ）可得 答案： D 10甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 （ A） 6 种 （ B） 12 种 （ C） 30 种 （ D） 36 种 解析：由 2 2 24 4 4c c c得 答案： C 11已知直线 ( 2 ) ( 0 )y k x k 与抛物线 2:8C y x 相交于 A、 B 两点， F 为 C 的焦点，若 2B ,则 k= （ A） 13(B) 23(C) 23(D) 223解析：由一元二次根系关系出1 2 1 2,x x x x，由抛物线定义出122 2 ( 2 ) ，三式联立得 k 答案： D 12纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标 “ ” 的面的方位是 （ A）南 （ B）北 （ C）西 （ D） 解析：空间想象几何体还原能力 答案： B 13设等比数列 n 3 , 41 , 4a S S 则 a. 解析：由条件得 ，所以4 1 3 3a 答案： 3 14 4()x y y x 的展开式中 33 . 解析： 224( 1) c答案： 6 15已知圆 O： 225和点 A（ 1， 2），过点 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 解析： 由切线方程 得横、纵截距分别为 5 和 52，得面积为 1 5 2 552 2 4 答案： 25416设 球 O 的半径 ,M 是 中点 ,过 M 且与 45 角的平面截球 O 的表面得到圆 的面积等于 74,则球 O 的表面积等于 . 解析：由小圆面积得小圆的 2 74r ，由 2 2 2( ) 2 ( )2R 得 2 2R ，所以248 答案： 8 17 17.(本小题满分 10 分 ) （注意： 在试题卷上作答无效 ） 等差数列 7 4 61 6 , 0a a a a ，求数列 n 项和 4 611 1111 6 , 0 d ,( 2 ) ( 6 ) 1 6 8840 22a a a aa d a d 解 ： 由 ， 设 公 差 为 则解 得 或12 2 *( 1 )2S 9 S 9 )n a dn n n n n N 所 以 由 得或 （18 (本小题满分 12 分 ) （注意： 在试题卷上作答无效 ） 设 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c 23c o s ( ) c o s ,2A C B b a c 求 B 答案： 060 2220s i n s i n s i nc o s ( ) c o s c o s s i n s i nc o s ( ) c o s c o s s i n s i o s ( ) c o s 2 s i n s i n 2 s i i o s B c o s A - C 02B B 6 0b a c B A A C A A C A B A C 解 ：由又 （ ） 故 为 锐 角 ， 所 以19 本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 如图，直三棱柱 ， C ， D、 E 分别为 平面 1证明： C （ 1） 设二面角 600，求1平面 成角的大小 111210211 B C F E F A F W E E B C C A F B C B C B F = C F A B = A C( 2 ) A C = A B 1 A A 2 B D G , A G = A B B C G C G B A 6 0 t a , A A 22 （ ） 证 明 ： 取 中 点 ， 连 、 ，依 题 意 有 矩 形因 为 面 ， 所 以 面所 以 ， 又 ， 所 以解 ： 设 ，作 于 则依 题 意 有 面 ， 连 ， 则所 以 ， 由 得解 得 所 以以 为11A B A C A - 1 0 B C - 1 1 022n B D x z 0n x , y , z ) , ,2n B C x y 0n (1 , 1 , 2 ) , C B 1 - 1 2 坐 标 原 点 ， 、 、 分 别 为 x 、 y 、 z 轴 正 方 向建 系 ， 则 （ ， ， ） ， （ ， ， ）设 （ 且取 又 （ ， ， ） 011011c o s n , C B n , C B 6 0 ,2B C B C D 3 0 于 是 可 得 ， 所 以 其 余 角 即 为 所 求 ，所 以 与 面 所 成 的 角 的 大 小 为20（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。先采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。 （）求从甲、乙两组个抽取的人数； （）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工 人的概率。 11642102664 1 1 11 1 0 2 21 0 1 0 5 5 522 1 3 ) 4 2 解 ： （ ） 因 为 抽 取 比 为 ， 由 ， 10 得应 在 甲 组 抽 取 人 、 在 乙 组 抽 取 2 人（ ） 设 从 甲 组 抽 取 的 工 人 中 恰 有 名 女 工 人 的 事 件 为则 ( ) =所 以 从 甲 组 抽 取
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