2010高考备考必备_广东省中山一中2009-2010届高三数学暑假模拟训练试卷（共10套，有详解）
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2010高考备考必备_广东省中山一中2009-2010届高三数学暑假模拟训练试卷（共10套，有详解）,高考,备考,必备,广东省,中山,一中,高三,数学,暑假,模拟,摹拟,训练,试卷,10,详解
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用心 爱心 专心 广东省中山一中 2009高三暑假数学模拟训练 一 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34 3VRn 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 1 2 )k k n k C p p k n ， ， ， ， 第一部分 选择题 （共 50 分） 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 1、已知、都是第二象限角，且 （ ） A C D 、的终边位置关系，再作出判断，得 B。 2： a0, 减函数， lo g ( 2 )ay a x在 0， 1上是减函数。 a1，且 2， 1a2，故选 B。 3：若 (0,1)x ，则 x ，则 ；若 (1,2)x ，则 0 x，则1 ；若 (2,3)x ，则 0 x，则 2 ；若 3, ,则，故选 C。 4： 结论中不含 n，故本题结论的正确性与 n 取值无关，可对 n 取特殊值，如 n=1，此时 8,2 2， a3=d= 24，所以前 3n 项和为 36， 故 选 D。 5： 取 f(x)= x，逐项检查可知正确。 故 选 B。 6：某人每次射中的概率为 3 次射 击至少射中两次属独立重复实验。 12527)106(104)106( 333223 。 7：由函数 ( ) 2 ( 0 )f x x x ，可令 x=0，得 y=2；令 x=4，得 y=4，则特殊点 (2,0)及 (4,4)都应在反函数 f 1(x)的图像上，观察得 A、 C。又因反函数 f 1(x)的定义域为 | 2，故选 C。 8：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选 D。 9 ： 由 椭 圆 的 定 义 可 得 |2a=8|2a=8 ， 两 式 相 加 后 将|5=|入，得 | 11，故选 A。 10： 题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为 3+4+6+6=19，故选 D。 二填空题： 11、 36； 12、 8； 13、 33； 14、 01a； 15、 2； 解析： 11：依题意，所选的三位数字只有一种情况：即一偶两奇，有 1 2 32 3 3 36， 用心 爱心 专心 )(1)2( 得 1( 4 ) ( )( 2 )f x f ，即函数 () 为周期的函数， 1( 2 0 0 7 ) ( 3 ) ( 2 1 ) 8(1 )f f f f 13：用特例法，当 P 点无限远离平面 显然所求四边形的面积为无穷；而当 P 点无限接近平面 （如图所示），容易求得面积为 33。 14：曲线2s i n (s i 为 参 数 )为抛物线段 2 ( 1 1 )y x x ， 借助图形直观易得 01a。 15. 解： 设圆的半径为 R,由 得 3 ( 3 4 ) ( 5 ) ( 5 ) 解得 R=2 三解答题： 16解：（ ）在 ， 由余弦定理得： 2 2 2 2 c o sa b c b c A 2 2 2c o c aA ， 分 又 2 2 2 .b c a b c 12A5 分 0 A 3A 6 分 （ ） 2 2 2s i n s i n s i C，由正弦定理得 2 2 22 2 24 4 4a b R8 分 即 : 2 2 2a b c 故 以角 C 为直角的直角三角形 10 分 又 ,36 12 分 （） 长方体，且 D 平面11 平面 平面 面 （）当点 1重合时， 平面 ， 用心 爱心 专心 当点 G 与 平面 证明： 长方体， 点 1重合， 平面 定的平 面， 平面 点 G 与 11面 平面 平面 （） ,A D D G A D D C 为 二面角 G C 的平面角 在 ， , =45 18解： （ ）解法一：11 212 由已知122 4分 得： )()(2121 12 21 nn 公比21q. 8分 解法二： 由已知122 2分 当 1q 时，12 )2( n ，11 )1( n ，1， 则 111 )1()2(2 ， 01 a 与 4分 当 1q 时，则 1)1(1)1(1)1(2 11121 ， 化简得： 122 0， 12 2 ，21q 8分 （ ）21,2 81 则有： ,1,2,2,2,2,2,2,298273645546372 11分 8 09 12 分 7 8 9 13 分 用心 爱心 专心 ）用函数 2y ax 来描述 A 饮料销量与地区的人均 关系更合适。 3分 因为函数 y kx b， lo x b， xy a b在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征。 （）依题意知，函数过点（ 1， 2）和（ 4， 5），则有 216 4 5，解得1494 ， 21944y x x （ x） 21944y x x 21 9 8 1 8 1()4 2 1 6 1 6x 在各地区中 ，年人均 116升。 （）依题意知当 )x 或 (6,8x 时 2190 . 9 5 ( )44y x x 函数在 ) 上为增函数， 9 2 7 1 7 10 . 9 5 ( )4 4 4 0y 函数在 (6,8 上为减函数， 3 6 5 4 1 7 10 . 9 5 ( )4 4 4 0y 当 3,6x 时， 21 9 8 1 7 9 20 . 9 ( ) 4 2 1 6 1 6 0 171 79240 160，在各地区中，年人均 92160升。 ）如图，以 在直线为 x 轴， 垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系 则 ( 1 0)A ， ， (1 0)B ， ， 1(1 )2C ， 3( 1 )2D ， 2 分 设椭圆方程为 22 1 ( 0 )xy 则2222223()( 1 ) 2 11 解得 2243 4 分 用心 爱心 专心 所求椭圆方程为 22143 5 分 （）由 12B得点 E 的坐标为 1(0 )2，显然直线 l 与 x 轴平 行时满足题意，即 0 6 分 直线 l 与 x 轴垂直时不满足题意 不妨设直线 : ( 0 )l y k x m k 7 分 由 22143y kx 得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k m x m 9 分 由 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 0k m k m 得 2243 10 分 设11()M x y，22()N x y，,中点为00()F x y，则 120 242 3 4xx k ，00 2334my k x m k 11 分 E F 00112 即 223113 4 2434 解得： 2342 12 分 由 222 34432 得 1122k 且 0k 13 分 故直线 l 与 角 的正切值的取值范围是 10 )2， 14 分 （ ）设 M 、 N 两点的横坐标分别为 1x 、 2x ， 21)( ， 切线 方程为： )(1()(12111 ， 又 切线 点 )0,1(P ， 有 )1)(1()(012111 ， 用心 爱心 专心 即 02 121 （ 1） 2 分 同理，由切线 过点 )0,1(P ，得 02 222 （ 2） 由（ 1）、（ 2），可得 21,方程 022 两根， . ,22121 （ * ） 4 分 22211221 )()( )1(1)( 221221 xx )1(14)( 22121221 ， 把（ * ）式代入 ,得 020 2 , 因此，函数 )(表达式为 )0( 2020)( 2 5 分 （ ）当点 M 、 N 与 A 共线时， 011111222 即21121 22222 ，化简，得 0)()( 211212 21 ， 1212 )( （ 3） 7分 把（ *） 式代入（ 3），解得21t 存在 t ，使得点 M 、 N 与 A 三点共线，且 21t 9 分 （）解法 1 ：易知 )(区间 64,2上为增函数， )64()()2(i )1,2,1( ， 则 )64()()()()2(21 m 依题意，不等式 )64()2(对一切的正整数 n 恒成立， 11 分 )64(20) ( n 220220 22 ， 用心 爱心 专心 即 )64()对一切的正整数 n 恒成立， 1664 ， 3136161661)64()2 3136 m 由于 m 为正整数， 6m 13 分 又当 6m 时，存在 221 ， 161 所有的 n 满足条件 因此， m 的最大值为 6 14 分 解法 2 ：依题意，当区间 64,2的长度最小时，得到的 m 最大值，即是所求值 1664 ， 长度最小的区间为 16,2 ， 11 分 当 16,21,2,1( 时，与解法 1 相同分析，得 )16()2( ， 解得3136m 后面解题步骤与解法 1 相同（略） 14 分 用心 爱心 专心 广东省中山一中 2009高三暑假数学模拟训练七 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34 3VRn 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 1 2 )k k n k C p p k n ， ， ， ， 第一部分 选择题 （共 50 分） 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 1、若 xx，则 x 的取值范围是（ ） （ A） x|2k 34 x 2k 4， kZ （ B） x|2k 4 x 2k 54， kZ （ C） x|k 4 x k 4， kZ （ D） x|k 4 x k 34， kZ 2、 在复平面内，把复数 3 3 i 对应的向量按顺时针方向旋转 /3，所得向量对应的复数是（ ） A） 2 3 B） 2 3 i C） 3 3i D） 3+ 3 i 3、已知 10 1 , 1 1 . l o g , l o g ,b a b M N 且 则1b（ ） A P N M B N P M C N M P D P M N 4、若 别是 的等差中项和等比中项，则 值为：（ ） A、8331B、8331C、8331D、4 215、方程 x的实数解的个数为 （ ） 61A 62B 63C 64D 6、如图，在多面体 ，已知面 的正方形， ， 面 ，则该多面体的体积为（ ） A） 9/2 B） 5 C） 6 D） 15/2 E A B C F D 用心 爱心 专心 7、过抛物线 4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q，那么线段 点的轨迹方程是 （ ） （ A） 2x 1 （ B） 2x 2 （ C） 2x 1 （ D） 2x 2 8、设函数 21 12)( 00 1)(0 0 ） （ A）（ 1 ， 1） （ B）（ 1 ， ） （ C）（ ， 2 ） （ 0， ） （ D）（ ， 1 ） （ 1， ） 9、若 ,0,0,2432,3692,123使得 3 的值最小的 ),( （ ） A、（ 3） B、（ 3， 6） C、（ 9， 2） D、（ 6， 4） 10、已知两点 M（ 1， 5/4）， N（ 4， ），给出下列曲线方程： 4x+2 x2+ 222x y=1 222x y=1 在曲线上存在点 |所有曲线方程是（ ） A） B） C） D） 第二部分 非选择题 （共 100 分） 二、填空题： 本大题共 5小题，其中 14 15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分每小题 5分，满分 20分 11、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部 13 场足球比赛，每场比赛有 3 种结果：胜、平、负， 13 长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中 12 场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。 12 、 数列 是偶数），（是奇数，212 , 13、 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是 20022 在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒 杯底部，则玻璃球的半径 _. 14、 (坐标系与参数方程选做题 ) 已知圆的极坐标方程为 2 ，则该圆的圆心到直线s i n 2 c o s 1 的距离是 . 15 (几何证明选讲选做题 ) 已知 圆 O 的直径， 圆 O 于 C， D， 爱心 专心 2， 6，则 _. 三解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16（本小题满分 12 分） 已知 02c （）求 值； （）求c o s (22c o s的值 17. （ 本小题满分 12 分） 已知函数 () 上的单调奇函数 , 且 (1) 2f . ( )求证函数 () 上的单调减函数； ( ) 解不等式 2( ) ( 2 2 ) 0f x f x x . 18.（本小题满分 14分） 已知函数 ( ) l n ( 1 ) ( 1 ) ,xf x a e a x (其中 0a ) , 点1 , 1 2 2 3 3( ( ) ) , ( , ( ) ) , ( , ( ) )A x f x B x f x C x f )y f x 图象上三点 ,且2 1 32 x x x. ( ) 证明 : 函数 () 上是减函数； ( ) 求证： 钝角三角形 ; ( ) 试问 , 否是等腰三角形 ?若能 ,求 积的最大值 ;若不能 ,请说明理由 用心 爱心 专心 19.（本小题满分 14分） 已知数列 ,21,1 21 *2 ,01)1(22)1(3 （）求3a， 4a ，5a，6 （）设12 ，求数列 n 项和 20.（本小题满分 14分） 如 图 ， 四 面 体 ， O 、 E 分别是 中 点 ， 2 , 2 C B C D B D A B A D （ I）求证： 平面 （ 点 E 到平面 距离； （ 二面角 A B 的余弦值。 21. （本小题满分 14分） 设直线 )(:),(: 曲线 . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件： 直线 相切且至少有两个切点； 对任意 x R 都有 )()( . 则称直线 l 为曲线 夹线” （） 已知函数 ( ) 2 s x x x 求证： 2 为曲线 ()夹线” （ ） 观察下图： 用心 爱心 专心 x - 1y = x + 1y = x - si n 2 x - 2y = 2 x + 2y = 2 2 x - 2 爱心 专心 根据上图，试推测曲线 )0(s “上夹线”的方程，并给出证明 用心 爱心 专心 参考答案及评分说明 一选择题： 析： 1：由 xx 得 x x 0， 即 0，所以： 2 2x 32 D. 2：复数 3 3 i 的一个辐角为 /6，对应的向量按顺时针方向旋转 /3， 所得向量对应的辐角为 /2，此时复数应为纯虚数，对照各选择项，选（ B）。 3：由 0 1, 1 0 , 0 .a b M N 知 又 1 代入选择支检验 ,由1 l o g 0 l o g l o g 0a a aa b a b b a ， .a b 即 1lo g lo g 被排除 B . 4：依题意有 c o ss x ， 2s i n s i n c o 由 2- 2 得， 022c o o 解得 1 3 3c o s 28x 。 又由 c x ，得 02s o s x ，所以8331不合题意。故选 A。 5：令 , y x，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数 100斜率为 1100，又 1 所以仅当 100 100x 时，两图象有交点 的周期性，把闭区间 100,100 分成 1 0 0 , 2 1 6 1 , 2 , 2 1 , 2 1 5 , 1 0 0 ( 1 5, 1 4, ,k 2 , 1, 0 ,1, , ,1 4 ) , 共 32 个区间，在每个区间上，两图象都有两个交点，注意到原点多计一次，故实际交点有 63 个 3 个实数解 )C . 6：连接 四棱锥 E 33 3 2=6，又整个几何体大于部分的体积，所求几何体的体积 V 求 （ D） 7：由已知可知轨迹曲线的顶点为 (1， 0)，开口向右，由此排除答案 A、 C、 D，所以选B； 8：在同一直角坐标系中，作出函数 ()y f x 的图象和直线 1y ，它们相交于（ 1， 1） 和（ 1， 1）两点，由0()1得0 1x 或0 1x . 9：把各选项分别代入条件验算，易知 B 项满足条件， 且 3 的值最小，故选 B。 10： P 满足 | N 的中垂线上的点， x+y+3=0，与中垂线有交点的曲线才存在点 P 满足 |直线1 爱心 专心 4x+2与 2x+y+3=0平行，故排除（ A） 、（ C）， 又由222 3 012y =0，有唯一交点 |故选（ D）。 二填空题： 11、1331 ； 12、 81 ； 13、 r ； 14、 55 ； 15、 2 3； 解析： 11：由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331 。 12： 分类求和，得 ，4212312 8151152511512222l i m 故应填 81 13：依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在 且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 由 ，22222消去 x，得 0122 （ *） 解出 0y 或 要使（ *）式有且只有一个实数根 0y ，只要且只需要 ,012 r 即 .1r 再结合半径 0r ，故应填 r 线 s i n 2 c o s 1 化为直角坐标方程是 2x+; 圆 2 的 圆心（，） 到直线 2x+ 的距离是 5515.（略） 三解答题： 16、解：（）由 02c 22 x， 3421222t a a a 用心 爱心 专心 （） 原式 in)s c (2s 2 s in)s c o s )s ( c o ss c o s 1 x 1)43( 41 17、 ( )证明： 函数 () ( 1 ) (1 ) 2 ( 1) (1) 函数 () 上的增函数 又函数 () 上单调 函数 () 上的单调减函数 ( )由 2( ) ( 2 2 ) 0f x f x x 得22( ) ( 2 2 ) ( 2 2 )f x f x x f x x 由 ( )知函数 () 上的单调减函数 222x x x 即 2 3 2 0 ( 1 ) ( 2 ) 0 ， 12x 原不等式的解集为 | 1 2 18、 解： ( ) ( ) l n ( 1 ) ( 1 ) ,xf x a e a x r ( 1 )( ) ( 1 ) 011e a ef x 恒 成 立 ,所以函数 () , ) 上是单调减 函数 . 4 分 ( ) 证明 :据题意1 , 1 2 2 3 3( ( ) ) , ( , ( ) ) , ( , ( ) )A x f x B x f x C x f x且 f ( 31 6 分 1 2 1 2 3 2 3 2( , ( ) ( ) ) , ( , ( ) ( )B A x x f x f x B C x x f x f x 1 2 3 2 1 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B A B C x x x x f x f x f x f x 8 分 1 2 3 2 1 2 3 20 , 0 , ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0x x x x f x f x f x f x 用心 爱心 专心 0 , ( , )2B A B C B 即 钝角三角形 . ( ) 假设 等腰三角形，则只能是 C 即2 1 32 ( ) ( ) ( )f x f x f x321 2 1 32 l n (1 ) 2 ( 1 ) l n (1 ) (1 ) ( 1 ) ( )e a x a e e a x x 3222 l n (1 ) 2 ( 1 ) l n (1 ) (1 ) 2 ( 1 )xa e a x a e e a x 3212 l n (1 ) l n (1 ) (1 )e e 3 1 3 32 1 2 2 122( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2x x x xx x x x xe e e e e e e e 3212 e e .而事实上 , 3 1 31222x x xe e e e 由于 31 ,故 (2)式等号不成立 1) 式矛盾 . 所以 可能为等腰三角形 . 19、解：（ ）经计算 33 a，414 a， 55 a，816 a 当 n 为奇数时， 22 nn 数列 122)1(112 n ； 当 n 为偶数，nn 12 ，即数列 21()21( 122 因此，数列 )()21()( 2 为偶数为奇数 7分 （） nn 21()12( ， 21()12()21()32()21(5)21(3211 132 （ 1） 1432 )21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21 （ 2） （ 1）、（ 2）两式相减， 2 2 2 21 2 1 2 3 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x x x f x f x 即 ：222 1 3 2 1 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x f x f x f x f x 用心 爱心 专心 得 132 )21()12()21()21()21(2211 21 11)21()12(211)21(12121 )21()32(23 nn 21()32(3 20、（ I）证明：连结 , D O A B A D A O B D , , D O B C C D C O B D 在 中，由已知可得 1, 3 C O 而 2, 2 2 2 ,A O C O A C 9 0 , C 即 C ,B D O C O 平面 （ ：如图建立空间直角坐标系，设平面 法向量为 ( , , ),n x y z 则 . ( , , ) . ( 1 , 0 , 1 ) 0 ,. ( , , ) . ( 0 , 3 , 1 ) 0 ,n A D x y C x y z 0,3 0 令 1,y 得 ( 3 ,1, 3 )n 是平面 一个法向量。 又 13( , , 0 ) ,22 点 E 到平面 距离 . 3 2 1 （ A O B C D 面 ( 0 , 0 , 1 )A O B C D 为 面 的 一 个 法 向 量； 爱心 专心 ( 0 , 0 , 1 ) ( 3 , 1 , 3 ) 2 1,77A O S A O n 则二面角 余弦值为 217。 21解 （） 由 1co 0x ， 当20x ， 此时 2221 22s 21 ，所以 22,2 是直线 l 与曲线 S 的一个切点； 当230x ， 此时 22321 223s 21 ，所以 223,23 是直线 l 与曲线 S 的一个切点； 所以 直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点； 对任意 x R， 0s i s i 2()()( 所以 )()( 因此直线 2: 曲线 的“上夹线” （ ） 推测： s i n ( 0 )y m x n x n 的 “上夹线 ”的方程为 y mx n 先检验直线 y mx n与曲线 m x n x 相切，且至少有两个切点：设：( ) s x m x n x ( ) c o sF x m n x ， 令 ( ) c o sF x m n x m ，得： 2 2（ ） 当 22时 , ( 2 ) ( 2 )22F k m k n 故：过曲线 ( ) s x m x n x 上的点 (22k ， ( 2 )2m k n )的切线方程为： y ( 2 )2m k n =m x (22k )，化 简得： y mx n 即直线 y mx n与曲线 m x n x 相切且有无数个切点 不妨设 ()g x mx n 下面检验 g(x) F(x) g(x) F(x)= (1 s i n ) 0 ( 0 )n x n 用心 爱心 专心 直线 y mx n是曲线 ( ) s i x m x n x 的 “上夹线 ” 用心 爱心 专心 广东省中山一中 2009高三暑假数学模拟训练 三 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34 3VRn 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 1 2 )k k n k C p p k n ， ， ， ， 第一部分 选择题 （共 50 分） 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 1、设集合 A 和 B 都是自然数集合 N ，映射 :f A B 把集合 A 中的元素 中的元素 2n n ，则在映射 f 下，象 20 的原象是 （ ） 2A 3B 4C 5D 2、已知 a 、 b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 a 3b |= （ ） A 7 B 10 C 13 D 4 3、 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( ) 4、 若 x 为三角形中的最小内角，则函数 y=值域是（ ） A（ 1， 2 B（ 0，23 C 21，22 D（21，22 5、原市话资费为每 3 分钟 ，现调整为前 3 分钟资费为 ，超过 3 分钟的，用心 爱心 专心 每分钟按 计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ） A不会提高 70% B会高于 70%，但不会高于 90% C不会低于 10% D高于 30%，但低于 100% 6、已知 等差数列， 9,7,那么使其前 ） A 4 B 5 C 6 D 7 7、 设 a,b 是满足 ab|a b| B |a+b|1，排除 B,C,D，故应选 A。 5： 取 x 4， y 100% 排除 C、 D；取 x 30， y 100% 排除 A， 故选 B。 6：等差数列的前 n 项和 n 可表示为过原点的抛物线，又本题中 90, 7,可表示如图，由图可知，n= 5273 ,是抛物线的对称轴，所以 n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时 选 B。 7： A， B 是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支 C， D。又由 ，可令a=1,b= 1，代入知 B 为真，故选 B。 8：借助立体几何的两个熟知的结论：（ 1）一个正方体可以内接一个正四面体；（ 2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球 的直径。可以快速算出球的半径23R，从而求出球的表面积为 3 ，故选 A。 9：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中是一个面积最大的椭圆，故可先看，显然直线和曲线149 22 相交的，因为直线上的点 )0,5( 在椭圆内，对照选项故选 D。 10 ： 2 ) )()( 2121， 从 而 对 任 意 的 100,101 x ， 存 在 唯 一 的100,102 x ，使得 21, 常 数 。 充 分 利 用 题 中 给 出 的 常 数 10 ， 100 。令3 5 7 O n 爱心 专心 10001001021 当 100,101 x 时， 1 0 0,10100012 由 此 21 选 A。 二填空题： 11、 112 ； 12、 ； 13、 31 a ； 14、 3s i n ( )32； 15、 725； 解析： 11：不等式 0121 x 1 2 1 0 ，也就是 1 102 ，所以11 2x ，从而应填 112 12 ： )1(lo g)1(lo g)1(lo g 2，不论 a 的值如何， )1(与)1( 同号，所以 13：题设条件等价于点（ 0， 1）在圆内或圆上，或等价于点（ 0， 1）到圆 42)( 22 31 a 。 由正弦定理得 1,2s i n s i n ( )33 即 23s i n ( ) s i 2 ，所求直线的极坐标方程为 3s i n ( )32. 4 4 ,A D D B O C O D O C O D 即 35D ， 222 37c o s 2 2 c o s 1 2 1 2 15 2 5 三解答题： 16解： ( )函数 22l o g ( 6 )y x x 要有意义需满足： 260 即 2 60，解得 32x ， | 3 2 A x x 3 分 用心 爱心 专心 函数2112y 要有意义需满足21 012 ，即 2 1 2 0 ， 解得 3x 或 4x | 3 4 B x x x 或 6 分 ( )由 ( )可知 | 3 2 A x x ， | 3 4 B x x x 或 ， | 3 2 x x x 或， ( ) | 3 2 B x x x 或 12分 I）因为 121 ,0,1 nn 2111 2 分 a 为首项， 2a 为公比的等比数列 . 6 分 （ I）中命题的逆命题是：若 假命题 . 8 分 设 q 则 0,21211 又 21 ,1 ,12531 为首项， q 为公比的等比数列， 642 ,是以 a 为首项， q 为公比的等比数列 . 10 分 即 ， a， q， 但当 q 故逆命题是假命题 . 12 分 另解：取 a=2， q=1 时， )(2,)(2)(1 *为偶数为奇数 用心 爱心 专心 因此 故逆命题是假命题 . 12 分 1）设选对一道“可判断个选项是错误的”题目为事件 A，“可判断个选项是错误的”该题选对为事件 B ，“不能理解题意的”该题选对为事件 C. 则1 1 1( ) , ( ) , ( )2 3 4P A P B P C 所以得分的概率2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )4 3 4 4 8P P A P B P C 4 分 (2) 该 考 生 得 20 分 的 概 率2 ( ) ( ) ( )P P A P B P C = 1 2 3 64 3 4 4 8 5 分 该考生得 25 分的概率： 1 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C P A P A P B P C P A P B P C P A P B P C = 21 2 3 1 1 3 1 2 1 1 72 ( )2 3 4 4 3 4 4 3 4 4 8 6 分 该考生得 30 分的概率：2 1 1 222 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A P B P C C P A P A P B P C C P A P A P B P C P A P B P C = 221 2 3 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1( ) 2 2 ( )2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 3 4 = 1748 该考生得 35 分的概率： 1 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C P A P A P B P C P A P B P C P A P B P C = 221 1 1 1 1 1 3 1 2 1 72 ( ) ( )2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 8 9 分 1 7 7 6 14 8 4 8 4 8 4 8该考生得 25 分或 30 分 的 可 能 性 最大 11 分 （ 3 ） 该考生所得分数的数学期望6 1 7 1 7 7 12 0 2 5 3 0 3 5 4 04 8 4 8 4 8 4 8 4 8E =33512 14分 用心 爱心 专心 19解： （）由 22 30x y D x E y 知圆心 C 的坐标为 ( , )221分） 圆 0 对称 点 ( , )22在直线 10 上 2分） 即 D+E= 2， 且 2212 24 3分） 又 圆心 0, 0 4分） 由解得 D=2,E= 4 5分） 所求圆 22 2 4 3 0x y x y 6分） （） 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设 l ： 7分） 圆 C: 22( x 1 ) ( y 2 ) 2 圆心 c( 1,2) 到切线的距离等于半径 2 ， 即 12 22 13 或 。 12分） 所求切线方程 x y 1 x y 3 0 或 14分） 20（）证明：在正方体1 1 1 1A B C D A B C D中，平面 11平面 11平面 平面 11G ， 平面 平面 11 （）解：如图，以 D 为原点分别以 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，则有 0， 0， 2）， E（ 2， 1， 2）， F（ 0， 2， 1）， )0,1,2(1 )1,2,0(1 A B E F G 1 C1 x y z 用心 爱心 专心 设平面 法向量为 ),( 则由 01 和 01 得0202 取 1x ，得 2y ， 4z ， )4,2,1( n 又平面 法向量为 1 0， 0， 2） 故21214200)4()2(12)4(0)2(01|,co s 222222111 截面 底面 成二面角的余弦值为21214. （）解：设所求 几何体 11 的体积为 V， 1 11， 211 11 121 111 11122B G C F， 1 111 1 1 112 2 2 4E G B B G ， 1122121 11111 故 V 棱台111 )(3 |11111111 B 2 1 1 7( 1 1 )3 4 4 6 V=V 正方体 台111 3 7 412 66 . 21 解：（ ）由题意， 3 在 上递减，则11所以，所求的区间为 1 4分 （ ）取 ,10,1 21 )(107647)( 21 ，即 )(是 ),0( 上的减函数。 取 ,1001,101 21 (100400310403)( 21 ， 用心 爱心 专心 即 )(是 ),0( 上的增函数 所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不 是闭函数。 （ ）若 2 闭函数，则存在区间 ，在区间 上，函数 )(值域为 ，即 22 为方程 2 两个实数根， 即方程 22( 2 1 ) 2 0 ( 2 , )x k x k x x k 有两个不等的实根。 当 2k 时，有22120)2(0解得249 k 。 当 2k 时，有0，无解。 综上所述， 2,49( 用心 爱心 专心 广东省中山一中 2009高三暑假数学模拟训练 九 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34 3VRn 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 1 2 )k k n k C p p k n ， ， ， ， 第一部分 选择题 （共 50 分） 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 1、 下列函数中既是奇函数，又是区间 1,1 上单调递减的是 （ ） （ A） ( ) x x ； (B) ( ) 1f x x ； (C) 1( ) ( )2 x a a ； (D) 2() 2 xf x ln x . 2、 0 1,a 下列不等式一定成立的是（ ） （ A）( 1 ) ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) 2 ； (B) ( 1 ) ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) ； (C) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )a a a aa a a a ； (D) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )a a a aa a a a 3、 锐角三角形的内角 A 、 B 满足 1t a n t a ns i n 2，则有 （ ） （ A） s c o s 0；（ B） s c o s 0； （ C） s s ； D） s s . 4、 不等式 1 1 3x 的解集为（ ） A. 0,2 B. 2, 0 2, 4 C. 4,0 D. 4 , 2 0 , 2 5、方程2 2 的正根个数为（ ） A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 用心 爱心 专心 6、已知 012:,022: 21 且 21 ，则 m 的值为（ ） A、 2 B、 1 C、 0 D、不存在 7、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ，这个长方体对角线的长是 （ ） 23A 32B 6C 6D 8、 在 )2,0( 内，使 xx 成立的 x 的取值范围是 （ ） （ A） )45,()2,4( （ B） ),4( （ C） )45,4( （ D） )23,45(),4( 9、 如果 （ ）。 A. 2n B. 2n1 C. 2n2 D. (n 1)2n1 10、 已知长方形的四个项点 A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1）和 D（ 0， 1），一质点从中点 B 夹角为 的方向射到 的点 次反射到 2、 4（入射解等于反射角），设 标为（44, 0 ) , 1 x 2 , t a 若则的取值范围是（ ） （ A） )1,31(（ B） )32,31(（ C） )21,52(（ D） )32,52(第二部分 非选择题 （共 100 分） 二、填空题： 本大题共 5小题，其中 14 15题是选做题， 考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分每小题 5分，满分 20分 11、设非零复数 满足 022 则代数式 2 00 52 00 5 yx _. 12、如果函数 c 的图象关于直线8么 a 13、 如右图， E、 F 分别是正方体的面 四边形 该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上） 14、 (坐标系与参数方程选做题 ) 以极坐标系中的点 1 , 6为圆心， 1 为半径的圆的方程是 ； 1 2 3 4 A B D C F 1 A 用心 爱心 专心 15 (几何证明选讲选做题 ) 如图，在 O 中， 直径， 弦，过 B 点的切线与 延长线交于点 C，且 C， 则 _ 三解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16（本小题满分 12 分） 如图，函数 2 c o s ( ) ( 0 )2y x x R ， 的图象与 y 轴交于点 (0 3)， ，且在该点处切线的斜率为 2 （ 1）求 和 的值； （ 2）已知点 02A，点 P 是该函数图象上一点，点00()Q x y，是 中点，当032y ，0 2x ，时，求0 17（本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与 p ，且乙投球 2 次均未命中的概率为161. （）求乙投球的命中率 p ； （）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望 . 18（本小题满分 14 分） 已知函数 21( ) l n 12f x x x . （ 1）求函数 ()1, e （ e 为自然对数的底）上的最大值和最小值； 3 O A P B D o C 用心 爱心 专心 （ 2）求证：在区间 (1, ) 上，函数 ()2()3g x x的图象的下方； （ 3）求证： ( ) ( )x f x 22n () . 19（本小题满分 14 分） 一束光线从点 )0,1(1 F 出发，经直线 032: 一点 P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F （）求点 1F 关于直线 l 的对称点 1F 的坐标； （）求以 1F 、 2F 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程； （ ）设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于 A 、 B 两点，点 Q 为线段 的动点，求点 Q 到 2F 的距离与到椭圆 C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点 Q 的坐标 20（本小题满分 14 分） 如图，正三棱柱 所有棱长都为 2， D 为 （） 求证： 面 （） 求二面角 A B 的大小； （） 求点 C 到平面 距离 ； 21（本小题满分 14 分） 已知二次函数 2( ) ( )f x x a x a x R 同时满足： 不等式 ()0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在120 ，使得不等式12( ) ( )f x f x成立 ,设数列前 )nS f n. 用心 爱心 专心 （ 1）求函数 () (2) 求数列通项公式； （ 3）设各项均不为 0的数列，所有满足1 0的整数 i 的个数称为这个数列变号数，令 1n a （ n N ） ,求数列 的变号数 . 用心 爱心 专心 参考答案及评分说明 一选择题： 析： 1:由条件“函数是奇函数”可排除 (B)、 (C), 又 ( ) x x 在区间 1,1 上不是单调递减 , 可淘汰 (A)，所以选 (D). 2： 取满足题设的特殊数值 a=21, 132lo g)1(lo ( 0 12lo g)1(lo ( 验不等式 (B),(C),(D)均不成立 ,选 (A). 3：由已知得 2s i n 1 2 s i n 1 c o s 2t a n , t a n , t a n .c o s 2 s i n c o s 2 s i n c o s s i n 2c o t 2 t a n . t a n ( 2 ) t a n . 2 . 2 2c o s ( 2 ) c o s , s i n 2 c o s . s i n 2 c o s 0 A A A A B A B A A B A B 即4：把 x=1代入不等式组验算得 x=1是不等式组的解，则排除 (B)、 (C), 再把 x=x=排除 (B)，所以选 (D). 5：本题学生很容易去分母得 22 32 然后解方程，不易实现目标。 事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出,2 2 的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选 A。 6：当 m=0 时，显然有 21 ；若 0m 时，由 21 ，得 )2(2 程无解， m 不存在。故选 C。 7 ： 由 已 知 不 妨 设 长 1,a 宽 2,b 高 3c ， 则 对 角 线 的 长 为2 2 2 1 2 3 6 D 8：由 xx 得 x4） 0，即 2 x4 2，取 k 0 即知选 C. 9： 用特值法：当 n 2 时，代入得 2,排除答案 A、 C；当 n 4时，代入得 8,排除答案 D。所以选 B。 10：考虑由 到 中点上，这样依次反射最终回到 时容易求出 =21，由题设条件知， 1 2，则 21，排除 A、 B、 D，故选 C. 用心 爱心 专心 二填空题： 11、 1； 12、 13、 2 3 ； 14、 2 c o ； 15、1010； 解析： 11： 将已知方程变形为 112 解这个一元二次方程，得 显然有 23 1,1 , 而 166832005 ,于是 原式 200520052005111 2005220052 1 12： 由条件得 2s 其中 a 8 282 k， 即 ，43， 于是 1 . 13：因为正方体是对称的几何体，所以四边形 下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面 四边形 如图 2 所示； 四边形 在面 图 3 所示 . 故应填 2 3 . 14.（略） 条件不难得 为等腰直角三角形，设圆的半径为 1，则 1， 2，5 15s i O ， 25o B C O 0s 4 5 B C O ） =1010三解答题： （ 1）将 0x ， 3y 代入函数 2 c o s ( )得 3，因为 02 ，所以6 用心 爱心 专心 又因为 2 s i n ( ) ，0 2 ，6 ，所以 2 ， 因此 2 c o s 26 （ 2）因为点 02A ，00()Q x y，是 中点，032y ， 所以点 P 的坐标为0232x， 又因为点 P 在 2 c o s 26的图象上， 所以053c o s 462x 因为02 x ，所以07 5 1 946 6 6x ， 从而得0 5 1 14 66x 或0 5 1 34 66x 即0 23x 或0 34x ）设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B 由题意得 16111 22 解得43去）， 所以乙投球的命中率为43 （）由题设和（）知 41,43,21,21 可能的取值为 0， 1， 2， 3，故 321
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