2010高考备考必备_广东省中山一中2009-2010届高三数学暑假模拟训练试卷（共10套，有详解）
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用心 爱心 专心 广东省中山一中 2009高三暑假数学模拟训练 九 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34 3VRn 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 1 2 )k k n k C p p k n ， ， ， ， 第一部分 选择题 （共 50 分） 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 1、 下列函数中既是奇函数，又是区间 1,1 上单调递减的是 （ ） （ A） ( ) x x ； (B) ( ) 1f x x ； (C) 1( ) ( )2 x a a ； (D) 2() 2 xf x ln x . 2、 0 1,a 下列不等式一定成立的是（ ） （ A）( 1 ) ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) 2 ； (B) ( 1 ) ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) ； (C) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )a a a aa a a a ； (D) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )a a a aa a a a 3、 锐角三角形的内角 A 、 B 满足 1t a n t a ns i n 2，则有 （ ） （ A） s c o s 0；（ B） s c o s 0； （ C） s s ； D） s s . 4、 不等式 1 1 3x 的解集为（ ） A. 0,2 B. 2, 0 2, 4 C. 4,0 D. 4 , 2 0 , 2 5、方程2 2 的正根个数为（ ） A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 用心 爱心 专心 6、已知 012:,022: 21 且 21 ，则 m 的值为（ ） A、 2 B、 1 C、 0 D、不存在 7、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ，这个长方体对角线的长是 （ ） 23A 32B 6C 6D 8、 在 )2,0( 内，使 xx 成立的 x 的取值范围是 （ ） （ A） )45,()2,4( （ B） ),4( （ C） )45,4( （ D） )23,45(),4( 9、 如果 （ ）。 A. 2n B. 2n1 C. 2n2 D. (n 1)2n1 10、 已知长方形的四个项点 A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1）和 D（ 0， 1），一质点从中点 B 夹角为 的方向射到 的点 次反射到 2、 4（入射解等于反射角），设 标为（44, 0 ) , 1 x 2 , t a 若则的取值范围是（ ） （ A） )1,31(（ B） )32,31(（ C） )21,52(（ D） )32,52(第二部分 非选择题 （共 100 分） 二、填空题： 本大题共 5小题，其中 14 15题是选做题， 考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分每小题 5分，满分 20分 11、设非零复数 满足 022 则代数式 2 00 52 00 5 yx _. 12、如果函数 c 的图象关于直线8么 a 13、 如右图， E、 F 分别是正方体的面 四边形 该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上） 14、 (坐标系与参数方程选做题 ) 以极坐标系中的点 1 , 6为圆心， 1 为半径的圆的方程是 ； 1 2 3 4 A B D C F 1 A 用心 爱心 专心 15 (几何证明选讲选做题 ) 如图，在 O 中， 直径， 弦，过 B 点的切线与 延长线交于点 C，且 C， 则 _ 三解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16（本小题满分 12 分） 如图，函数 2 c o s ( ) ( 0 )2y x x R ， 的图象与 y 轴交于点 (0 3)， ，且在该点处切线的斜率为 2 （ 1）求 和 的值； （ 2）已知点 02A，点 P 是该函数图象上一点，点00()Q x y，是 中点，当032y ，0 2x ，时，求0 17（本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与 p ，且乙投球 2 次均未命中的概率为161. （）求乙投球的命中率 p ； （）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望 . 18（本小题满分 14 分） 已知函数 21( ) l n 12f x x x . （ 1）求函数 ()1, e （ e 为自然对数的底）上的最大值和最小值； 3 O A P B D o C 用心 爱心 专心 （ 2）求证：在区间 (1, ) 上，函数 ()2()3g x x的图象的下方； （ 3）求证： ( ) ( )x f x 22n () . 19（本小题满分 14 分） 一束光线从点 )0,1(1 F 出发，经直线 032: 一点 P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F （）求点 1F 关于直线 l 的对称点 1F 的坐标； （）求以 1F 、 2F 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程； （ ）设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于 A 、 B 两点，点 Q 为线段 的动点，求点 Q 到 2F 的距离与到椭圆 C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点 Q 的坐标 20（本小题满分 14 分） 如图，正三棱柱 所有棱长都为 2， D 为 （） 求证： 面 （） 求二面角 A B 的大小； （） 求点 C 到平面 距离 ； 21（本小题满分 14 分） 已知二次函数 2( ) ( )f x x a x a x R 同时满足： 不等式 ()0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在120 ，使得不等式12( ) ( )f x f x成立 ,设数列前 )nS f n. 用心 爱心 专心 （ 1）求函数 () (2) 求数列通项公式； （ 3）设各项均不为 0的数列，所有满足1 0的整数 i 的个数称为这个数列变号数，令 1n a （ n N ） ,求数列 的变号数 . 用心 爱心 专心 参考答案及评分说明 一选择题： 析： 1:由条件“函数是奇函数”可排除 (B)、 (C), 又 ( ) x x 在区间 1,1 上不是单调递减 , 可淘汰 (A)，所以选 (D). 2： 取满足题设的特殊数值 a=21, 132lo g)1(lo ( 0 12lo g)1(lo ( 验不等式 (B),(C),(D)均不成立 ,选 (A). 3：由已知得 2s i n 1 2 s i n 1 c o s 2t a n , t a n , t a n .c o s 2 s i n c o s 2 s i n c o s s i n 2c o t 2 t a n . t a n ( 2 ) t a n . 2 . 2 2c o s ( 2 ) c o s , s i n 2 c o s . s i n 2 c o s 0 A A A A B A B A A B A B 即4：把 x=1代入不等式组验算得 x=1是不等式组的解，则排除 (B)、 (C), 再把 x=x=排除 (B)，所以选 (D). 5：本题学生很容易去分母得 22 32 然后解方程，不易实现目标。 事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出,2 2 的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选 A。 6：当 m=0 时，显然有 21 ；若 0m 时，由 21 ，得 )2(2 程无解， m 不存在。故选 C。 7 ： 由 已 知 不 妨 设 长 1,a 宽 2,b 高 3c ， 则 对 角 线 的 长 为2 2 2 1 2 3 6 D 8：由 xx 得 x4） 0，即 2 x4 2，取 k 0 即知选 C. 9： 用特值法：当 n 2 时，代入得 2,排除答案 A、 C；当 n 4时，代入得 8,排除答案 D。所以选 B。 10：考虑由 到 中点上，这样依次反射最终回到 时容易求出 =21，由题设条件知， 1 2，则 21，排除 A、 B、 D，故选 C. 用心 爱心 专心 二填空题： 11、 1； 12、 13、 2 3 ； 14、 2 c o ； 15、1010； 解析： 11： 将已知方程变形为 112 解这个一元二次方程，得 显然有 23 1,1 , 而 166832005 ,于是 原式 200520052005111 2005220052 1 12： 由条件得 2s 其中 a 8 282 k， 即 ，43， 于是 1 . 13：因为正方体是对称的几何体，所以四边形 下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面 四边形 如图 2 所示； 四边形 在面 图 3 所示 . 故应填 2 3 . 14.（略） 条件不难得 为等腰直角三角形，设圆的半径为 1，则 1， 2，5 15s i O ， 25o B C O 0s 4 5 B C O ） =1010三解答题： （ 1）将 0x ， 3y 代入函数 2 c o s ( )得 3，因为 02 ，所以6 用心 爱心 专心 又因为 2 s i n ( ) ，0 2 ，6 ，所以 2 ， 因此 2 c o s 26 （ 2）因为点 02A ，00()Q x y，是 中点，032y ， 所以点 P 的坐标为0232x， 又因为点 P 在 2 c o s 26的图象上， 所以053c o s 462x 因为02 x ，所以07 5 1 946 6 6x ， 从而得0 5 1 14 66x 或0 5 1 34 66x 即0 23x 或0 34x ）设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B 由题意得 16111 22 解得43去）， 所以乙投球的命中率为43 （）由题设和（）知 41,43,21,21 可能的取值为 0， 1， 2， 3，故 32141210 2 121P P A P B B C P B P B P A 21 1 3 1 1 722 4 4 4 2 3 2 32943213 2 ， 321531012 用心 爱心 专心 的分布列为 0 1 2 3 P 321 327 3215 329 的数学期望 232933215232713210 E (1) 1( )f x 当 1, 时， ( ) 0 函数 ()1, e 上为增函数 2m a x 1( ) ( ) 2f x f e e，m i n 1( ) (1 ) 2f x f （）证明：令 2312( ) ( ) ( ) l n 123F x f x g x x x x 则 2 3 221 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 x x x x xF x x xx x x 当 1x 时 ( ) 0，函数 ()1, ) 上为减函数 12( ) ( 1 ) 1 023F x F 即在 (1, ) 上， ( ) ( )f x g x 在区间 (1, ) 上，函数 ()2()3g x x的图象的下方 （ 3）证明： 1( )f x 当 1n 时，不等式显然成立 当 2n 时 11 ( ) ( ) ( ) ( )n n n x f x x 1 2 2 3 121n n nn n x C x C x ( ) ( )x f x1 2 1 22311n n nn n C +得 2 1 3 2 2 12 3 21 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2n n n n n nn n nn n nf x f x x C x C x Cx x x 1 2 1 22n C （当且仅当 1x 时“”成立） 用心 爱心 专心 当 2n 时，不等式成立 综上所述得 ( ) ( )x f x 22n () （）设 1F 的坐标为 ),( 则211 322 12 解得52,59 因此，点 1F 的坐标为 )52,59( （）11 ，根据椭圆定义， 得 |2 2121 22)052()159( 22 ， 2 a ， 112 b 所求椭圆方程为 12 22 （） 22 椭圆的准线方程为 2x 设点 Q 的坐标为 )32,( 22( t , 1d 表示 点 Q 到 2F 的距离， 2d 表示点 Q 到椭圆的右准线的距离 则 10105)32()1( 2221 22 22221 )2( 2252 10105 t 令22)2(22)(22( t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()( 当 0)(,342 0)(,234 34t， 0)( )(34 因此，212)34(5 f ，此时点 Q 的坐标 为 )31,34( ）取 点 O ，连结 为正三角形， C 在正三棱柱1 1 1A B C A B C中，平面 平面11 平面11 取11 O 为原点， 1x y z， ， 轴的正方向建立空间直 用心 爱心 专心 角坐标系，则 (100)B ， ， ， ( 110)D ， ， ，1(0 2 3)A ， ， (0 0 3)A ， ， ， 1(120)B ， ， 1 (1 2 3 ) ， ， ( 2 1 0 )， ， ，1 ( 1 2 3 )， ， 1 2 2 0 0A B B D ，11 1 4 3 0A B B A ， 1D ，11A 1平面1 （）设平面1)x y z ， ，n ( 1 1 3 ) ， ， ， 1 (0 2 0) ， ， ADn
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