2012高考数学最后冲刺 三角函数（打包15套）
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高考
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三角函数
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15
- 资源描述：
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2012高考数学最后冲刺 三角函数（打包15套）,高考,数学,最后,冲刺,三角函数,打包,15
- 内容简介：
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用心 爱心 专心 - 1 - 最后冲刺 【高考预测】 易错点 1 对椭圆相关知识的考查 1 (典型例题 )设 椭圆的两个焦点分别为 ，若 椭圆的离心率是 ( ) . 【错误解答】 A 【错解分析】 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把 | | 21作离心率 【错误解答】 D 由题意得 a=5， b=3，则 c=4 而双曲线以椭圆 925 22 =1 长轴的两个端用心 爱心 专心 - 2 - 点为焦点，则 a=c =4， b=3 k= 43【错解分析】 没有很好理解 a、 b、 【正确解答】 C 设双曲线方程为 2222 =1，则由题意知 c=5， 4 则 0 ，而 a=2 5 b= 5 双曲线渐近线斜率为 21 4 (2012精选模拟题 )设直线 625 22 =1相交于 A、 相交于 C、 C、 B，求直线 ( ) 【错误解答】 设直线 y=kx+b 如图所示， 曲线的交点为 A( B ( C( D(依题意有 =3由)1(0)4 0 025(50)2516(1162522222 bb k x1+ 由 122 1)=0 (2)若 k= 1，则 合题意，故 k 1 所以 x3+212、由 x1+x2=x3+- 22 1 22516 50 或 b =0 用心 爱心 专心 - 3 - 当 k=0时，由 (1)得 2= 21645 b 由 (2)得 4= 12b 由 123 =3( 13161616410 22 故 y= 当 b=0时，由 (1)得 2= 22516 20 k ，由 (2)得 4= 211k 由 123 =3( 5161 62516 40 22 的方程为故 综上所述：直线 y= 516,1316 【错解分析】 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解 k=0时，由 (1)得 2,1 由 (2)得 4= 12 b 由 33 12 即 2 y= 1316 当 b=0时，由 (1)得 2= 22516 20 k 自 (2)得 4= 33,1 1 122 (即 2516 40 22 故 y= 再讨论 l与 用心 爱心 专心 - 4 - 设直线 x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得 2= c 4= .|3|3|4122 由 即 125,2 4 125162558 22 方程为故 综上所述，直线 y= 2516 x、 y= 1316 和 x= 24125 解法二：设 曲线的交点为： A( B( C( D(则有 ,116252222子相减，得： ()( ,0)(25)(163434343412121212 因 C、 中点 ( 于是 ,22 1 342 ,22 3412 ( 因此 )2().()( )1(),(25)(16 340340 340340 若 0， 则 x2=x4=y4=y2= 用心 爱心 专心 - 5 - 故 24125x 当 ， 时 ， 这时 设 y=别代入椭圆、双曲线方程得： 2= ,2516 20 24,32 3 3412 故 y= 综上所述，直线 y= 、 y= 1316 和 x= 5 (2012精选模拟题 )设 A、 x2+上的两点，点 N(1， 3)是线段 中点，线段 垂直平分线与椭圆相交于 C、 (1)确定 求直线 方程； ( )试判断是否存在这样的 A，使得 A、 B、 C、 D 四点在同一个圆上 ?并说明理由 (此题不要求在答题卡上画图 ) 【错解分析】 用“差比法”求斜率时 2)(3 1 21 yy 这地方很容易出错 N(1， 3)在椭圆内， 3 12+32=12应用结论时也易混淆 【正确解答】 (1)解法 1：依题意，可设直线 y=A(3，代入 3x2+，整理得 ()x+(0 设 A( B(则 两个不同的根， =4 ()-3(0， 且 x1+3)3(2 2k 由 N(1， 3)是线段 12 21 A( 解得 k=入得， 12，即的取值范围是 (12， + ) 用心 爱心 专心 - 6 - 于是，直线 (即 x+ 解法 2：设 A( B(则有 2222212133x1+(y1+0 依题意， 21 21 )(3 yy N(1， 3)是 x1+， yl+，从而 1 又由 N(1， 3)在椭圆内， 3 12+32=12， 的取值范围是 (12， ) 直线 方程为 (即 x+ ( )解法 1： B，直线 =0，代入椭圆方程，整理得 4x+4 又设 C( D( 中点为 M(则 两根， x3+1，且 21 (x3+- 21 ， y0= 23 ，即 M(- 21 ， 23 ) 于 是 由 弦 长 公 式 可 得| .)3(2|)1(1 432 将直线 x+，代入椭圆方程得 4160 同理可得 | .)12(2|12 用心 爱心 专心 - 7 - 当 12时， )3(2 )12(2 , |2， B，直线 入椭圆方程，整理得 4x+40 将直线 x+，代入椭圆方程，整理得 460 解和式可得 2= 1,2 122 4,3 x 不妨设 A(1+ )2 33,2 31(),2 33,2 31(,12213,1221 2 1233,2 3123()2 1233,2 3123( D 为直径的圆上又 关于 A、 B、 C、D 四点共圆 (注：也可用勾股定理证明 【特别提醒】 1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究 如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭用心 爱心 专心 - 8 - 圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形 3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范 围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等 考场思维调练 1 已知椭圆的中心 ， P、 ,， 下列比值中等于椭圆离心率的有 ( ) | |)5(;| |)4(;| |)3(;| |)2(;| |)1( B 2个 D 5个 答案： C 解析：对 (1)， (4)的正确性容易判断；对 (3)，由于 | =e，故 (3)正确；对 (5)，可求得 | ,2| 2 , | |故 ,故 (5)正确； (2)显然不对，所选 C 2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、 轴长为20，焦距为 2c，静放在点 (小球的半径不计 )，从点 椭圆壁反弹后第一次回到点 球经过的路程是 ( ) A 4a B 2(C.2(a+c) D 以上答案均有可能 答案： D 解析： (1)静放在 点 小球的半径不计 )从点 椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点 球经过的路程是 2(则选 B； (2)静放在点 小球的半径不计 )从点 椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点 球经过的路程是 2(a+c)，则选 C； (3)静放在点 小球的半径不计 )从点 椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点 球经过的路程是 4a，则选 A. 用心 爱心 专心 - 9 - 于是三种情况均有可能，故选 D. 令 V=V = =O 当时 t， V 0；当 02，则 00， b0)的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A， 2a (，则两条渐近线的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 【错误解答】 B 【错解分析】 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角 即 45 0 解不等式得 45 5，所以 e 的取值范围是 525,5 【错解分析】 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e1 【正确解答】 解法：直线 =1，即 bx+ 由点到直线的距离公式，且 a1，得到点 (1， 0)到直线 .)1( 22 同理得到点（ 0）到直线 .)1( 22 s=d1+2 由 42,54 2222222 于是得即得 解不等式，得 , 取值范围是所以由于 用心 爱心 专心 - 11 - 【特别提醒】 1注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调 e1，必须明确焦点与准线的对应性 2由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当 焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏 3掌握参数 a、 b、 c、 近线及其几何意义，并注意灵活运用 【变式训练】 答案：由 四边形 平 行 四 边 形 ， 又 由| 11 形，设半焦距为 c，由 | 1 c 知 |,22|,| 1121 又，即 c+ , e=2(e= (2)若此双曲线过点 N(2， 3 )，求双曲线方程： 答案： e=2= , c=2a, 双曲线方程为 )3,2(,13 2222 将点 入， 有 3a,14 34 222 即所求双曲线方程为 93 22 =1. (3)设 (2)中双曲线的虚轴端点为 1在 y 轴正半轴上 )，求 B 与双曲线交用心 爱心 专心 - 12 - 于 A、 B 两点，求 1 时，直线 答案：依题意得 0， 3）， 0， ,设直线 方程为 y=(x1,B(x2,则由 (32222曲线的渐近线为 y= 当 k= 3 时， 即 k 3 . x1+8,3 6 2212 y1+y2=k(x1+6= 2318k ,x1+9=9 又 3 ） , (x2,3), 09)(3 212121 093 18393 18 22 即 , k= 5 . 故所求 直线 y= 5 y=- 5 3 设双曲线 42x 的右顶点为 A、 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 为坐标原点 )分别交于 Q 和 R 两点 (1)证明：无论 P 点在什么位置，总有| 2 ； 答案：设 y=R： y=联立)2(21 ,21 2,21 2( 同理可得 ),21 2,21 2( 所以 | ,|41| 44 22 设 | 2=（ m,n） ,则由双曲线方程与 程联立解得 ,41 4,41 4 2222 所以 | 2=m2+|41 44 22 点在双曲线上， 1); 用心 爱心 专心 - 13 - (2)设动点 )(21 ，求点 答案： ),(21 C（ x,y） , 则有 22412412去 k,可得所求轨迹方程为 (x 0). 易错点 3 对抛物线相关知识的考查。 ( )当直线 时，求 l在 【错误解答】 ( )，设 l在 b，依题意得 y=2x+b，过点 A、B 的直线方程可写为 y= ,21 与 y=2221 得 41 ；设 中 点 N 的 坐 标 为 ( 则1 (x1+21 x0+m=161 +m 由 N l,得 161 +m=b，于是 b= 165165 m 即得 l在 ,165 . 【错解分析】 没有借助“ 0”来求出 m 321 ，无法进一步求出 好胡乱地把 【正确解答】 (1)F l | A、 用心 爱心 专心 - 14 - 抛物线的准线是 0， 0，依题意 ， 上述条件等价于 yl=x1+0； 上述条件等价于 x1+ 即当且仅当 x1+ 时， 抛物线的焦点 F。 ( )设 l在 b，依题意得 y=2x+、 l在 329 ， + ) 3 (2012 精选模拟题 )如图，过抛物线 px(p0)上一定点 p()，作两条直线分别交抛物线于 A ( B( (1)求该抛物线上纵坐标为 2P 的点到其焦点 ( )当 0 21y 的值，并证明直线 【错误解答】 (1)当 y=2p 时， x=8p 又抛物线的准线方程为x=抛物线定义得，所求距离为 8 ( )设直线 线 减得 (y1+2P(故 012 ( 同理可得 012 ( 2 (yl+ 1 y 设直线 用心 爱心 专心 - 15 - 由 减得 (y2+2P( ).()( 2 212112 12 将 y1+21 y0()代入得 04 【错解分析】 没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确 【正确解答】 (1)当 y=2p 时， x=8p ，又抛物线 2x=2p ， 由抛物线定义得，所求距离为 8p -(= ( )设直线 线 斜率为 减得 (yl+2P( 故 0101 01 2 yy ( 同理可得 012 yy p ( 由 即 012 yy p =- 022 yy p ， 所以 yl+2 故 0 21y = 设直线 减得 (y2+2p( 所以 ).(2 212112 12 B 将 yl+2y0()代入得 ,2 021 B 所以 4 (2012精选模拟题 )在平面直角坐标系 物线 y=的两不同动点 A、 O 图所示 ) (1)求 (即三角形三条中线的交点 )的轨迹方程； ( ) 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 【错误解答】（）设 重心为 G(x,y)A(x1,(x2,心 爱心 专心 - 16 - 则 )1(332121 (2) 又点 A 、 B 在 抛 物 线 上 ， 有 y1= y2=入 (2) 化 简 得 或 y= 31)(313 222121 （ x1+232 或 3 故重心为 y=3y=32 . 【错解分析】没有考虑到 时， 【特别提醒】 用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。 凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注 意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 【变式探究】 1 已知抛物线 x 的准线与 点，过 、 线段 (0) 用心 爱心 专心 - 17 - (1)求 答案：由题意易得 M（ 0） 设过点 M 的 直 线 方 程 为 y=k(x+1)(k 0) 代入 x 得 2x+ (1) 再设 A(x1,B(x2, 则 1,24 2121 2 2)()1()1( 212121 ( 2 2 kk k 那么线段 垂直平分线方程为 得令 0),2(12 2 2 yk 2222 即 又方程（ 1）中 =（ 220， 0 1， 2 02 (2) 若能求出 不能，说明理由 答案：若 有点 |23 =(1+=(1+(x1+.)1)(1(16 4 22k 点以 距离 d= 22222121221|2|据 4222 )1(1643)1(4:|43 k 得 4k4+,()(40, 3 ,满足 00) (2)若直线 l 的斜率 k2，且点 M 到直线 3x+4y+m=0 的距离为 51 ，试确定 m 的取值范围 3 在以 O 为坐标原点的直角坐标系中，已知 点 T(0)，点 M 在 y 轴上，点 N 在 x 轴的正半轴上，且满足 .,0 (1)当 M在 点 ； 答案：设点 P（ x,y）由 知 P 是 M、 N 中点，又 M 在 y 轴上， N 在 x 轴正半轴上，故 0， 2y） ,N 个坐标为（ 2x,0） .(x0) ,0),(),2,8( 8即 x(x0) 故点 0， 0）为顶点，以（ 2， 0）为焦距的抛物线 .(除去原点 ) (2)若动直线 (4， 0)，交曲线 、 是否存在垂直于 x 轴直线 l用心 爱心 专心 - 19 - 被以 直径的圆截得的弦长恒为定值 ?若存在，求出 l的方 程，若不存在，请说明理由 答案：设 点为 H，垂直于 l的方程为 x=a. 以 l于 E、 因为 |21 |1 2121 )4( （其中（ x1,坐标）， | |2 4| 1 所以 |=|=41 （ 2+41 (+4 =41 (+441 (+8(16=41 46a =（ a+3） a 所以当 a=3时 ， 以 直径的圆截得的弦长恒为定值 ， l 的方程 x=3. 易错点 4 对直线与圆锥曲线的关系的考查 1设双曲线 C： 1222 a0)与直线 l： x+y=1相交于两个不同的点 A、 B， (1)求双曲线 ( )设直线 l与 ，且 25 ，求 以 2222222 1 2125,1 21217 消去 13176028922 【错解分析】 (1)没有考虑到 10( )没有注意到题目本身的条件 a0 用心 爱心 专心 - 20 - 【正确解答】 (1)由 C与 知方程组 1,1222 消去 12 所以 0)1(8401224226 且 e 2 ， 即离心率 26 ) ( 2 ) ( )设 A( B( P(0， 1) 25 (x1,125 (x2,此得 25 由于 的根 ， 且 10， 所以 x= 222 122 |=222 122 +l = 222 12)1(2 |= 222222 12)1(2122 用心 爱心 专心 - 21 - 43,34)0(912)1(212)1(2412)1(212)1(2|22222222错解分析】 ( )没有理解反余弦的意义 ( )思路不清晰 【正确解答】 (1)C 的焦点为 F(1， 0)，直线 ，所以 y= 将 y=程 x， 并整理得 =0 设 A( B( 则有 xl+， =( (x2,1= 所以 角的大小为 1413 ( )由题设 得 ( (1 即 12 12 ),1(1 yy 由 得 2 2 联立 、 解得 ， 依题意有 0， B( ， 2 )或 B ( ， )， 又 9(1， 0)， 得直线 -1)y= ( ( -1)y=2 ( 当 4， 9时 ， 2或 - 12 设点 用心 爱心 专心 - 22 - 则 1)1(213220220|得 ce 1)2( 22 2+ 222 2 41)1(2 ce 两边同时除以 4简得 22 22 1)1( 从而 1 于是 e (2)当 |，同理可得 222222 1)3(1)3( ce 解得 于是 =12 (3)当 |，同理可得 222222 1 )3(1)3( ce =4解得 于是 =1 综上所述，当 =32 或 时 证法二：因为 A、 B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、 y 轴的交点，所以 A、 B 的坐标分别是 ( 0)， (0， a)，设 由 得 ( 0 )， 所以 .)1(00因为点 以 220220 =1， 用心 爱心 专心 - 23 - 即 (,1)()1(22222222 所以 12=0， 解得 即 =1 ( )解法一 ： 因为 l， 所以 0 + 要使 必有 |即 21 |c. 设点 d，由 21 |d， = 22 1 |1 |0)(| , 得 2211 =e 所以 1 ， 于是 =12 . 即当 =32 时， 解法二：因为 l，所以， 0 + 钝角，要使 等腰三角形，必有 |设点 则 (2,13220220| 22 2222 1 )1(21)3( e 4 两边同时除以 4化简得 1)1( 12从而 1 于是 =2 即当 =32 时 ， 4 (2012 精选模拟题 )抛物线 C 的方程为 y=)的离心率分别为 ( ) A B 直线l2:y=间的阴影区域 (不含边界 )记为 W，其左半部分记为 半部分记为 (1)分别用不等式组表示 2； ( )若区域中的动点 p(x,y)到 距离之积等于 的方程； ( )设不过原点 )中的曲线 l， 与 证 【错误解答】 (1)(x,y)|y kx ( )直线 l1: 直线 l2:kx+y=0由题意得 1| 2k 1| 2k | 2 222 k () 故动点 的方程为 () ( )略 【错解分析】 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成 用心 爱心 专心 - 29 - 32 a， 0)，即它们的重心重合， 当直线 直线 y=mx+n(n 0) 由 )1(22222, 得 ( 由直线 有两个不同交点 ， 可知 0且 =(2+4( x(n2+0 设 (则 x1+222 mk ， y1+y2=m(x1+2n， 设 (x4, 由 得 ,mk n 从而 x3+222 mk =x1+ 所以 y3+y4=m(x3+2n=m(x1+2n=y1+ 于是 4 (2012精选模拟题 )已知椭圆 2222 =1(ab0)的左、右焦点分别是 c， 0)、 F2(c，0)， 足 | 12a，点 1 2且满足 20， | 2 0 (1)设 的横坐标，证明 | =a+ ( )求点 的方程； ( )试问：在点 T 的轨迹 否存在点 M，使 =存在，求 不存在，请说明理由 【错误解答】 (1)证明 ： 由焦半径公式得 a+ ex=a+ ( )设点 x、 y) 由 | 2 =0 得 222 | 又 ， 在 |21 1 故有 x2+a2(x= a) ( )( s= )2(|221)1(2022020( 2(用心 爱心 专心 - 30 - 由 1 2 r1+a， 得 | 1r1=a+ 证法三：设点 x， y)椭圆的左准线方程 a+ 0 由椭圆第二定义得 |21即 .| 21 由 x 知 a+ -c+a0， 所以 | 1=a+ ( )解法一：设点 x， y) 当 |0时，点 (a， 0)和点 (0)在轨迹上 当 0| 0| 2 ，由 | 2 =0，得 .| 2 又 | 2 ，所以 2 在 |21| 1 =a， 所以有 x2+y2=上所述 ， 点 的方程是 x2+y2=心 爱心 专心 - 31 - ( )解法一 ： ( S=)4.(|221)3(,2022020 得 ， | a， 由 得 ， | 所以 ， 当 a ， 存在点 M， 使 S= 当 )，点户为其上一点， l，点 对称点为 Q， . (1)当 答案：点 l 的对称点为 Q，连接 |因为 点 P、 存在 R（ x0,Q(x1,c,0),F2(c,0). |2a,则（ x1+c） 2+2a)2. 又 221010 (2+(2=(2a)2, x2+y2=a2(y 0) (2)设点 ， 直线 l： y=k(x+ 2 a)与曲线 、 当 求 答案：如下图： S 1 | | 2a 0时， S 1 此时弦心距 | 2| 2 用心 爱心 专心 - 33 - 在 5， 45 | 2 ka = 2 k 答案：由已知求得 N（ 2， 0）关于直线 x+y=1的对称点 E（ 1,则 |双曲线的 C 实轴长 2a=| | 10 (当且仅当 Q、 E、 M 共线时取“ =” )，双曲线 a= 210 3 已知 6 ，且 =m (1)设 6 0，只能 x=23 ，于是 y= 点 235,23 ) (2)直线 +6=0设点 M(m， 0)，则 |6| m 于是2 |6| m = |又 m 6，解得 m=2 椭圆上的点 (x， y)到点 +2094 (2+15， 由于
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