2012高考数学最后冲刺 三角函数（打包15套）
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2012高考数学最后冲刺 三角函数（打包15套）,高考,数学,最后,冲刺,三角函数,打包,15
- 内容简介：
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用心 爱心 专心 - 1 - 最后冲刺 【高考预测】 中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角） 键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。 键是把握未知与已知之间的联系。 关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。 的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。 见的）最值问题。 理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。 对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。 对症下荮填 212 y= )22(,12s 2(,12s 像知原函数的最小正周其为 2，最大值为 故最小正周期和最大值之和为 2 2函数 f(x)=|x（ 0， 2）的图像与直线 y=众的取值范围是 . 用心 爱心 专心 - 2 - 【错误答案】 填 0， 3 f(x)= 2,(,0,xx f(x)的值域为 (0， 3)， f(x)与 y= k 0， 3 【错解分析】 上面解答求出 y= f(x)的图像与 y=不能保证 y=f(x)的图像与 y= k=1，两图像有三个交点因此，正确的解答要作出了 y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解 【正确解答】 填 (1， 3) f(x) 2,(,0(, 作出其图像如图 从图 5 10， x0， f(x) 4 4 化简 f(x)=3 16 +2x)+316 k 2 )23 x (x R， k Z)求函用心 爱心 专心 - 7 - 数 f(x)的值域和最小正周期 【错解分析】 上面解答错在由 54 得 53 时没有考虑角是第四象限角 2是第三、四象限角 而 【正确解答】 - s i n 2s i nc o o ss i ns i n )2s i n (s i n 3s i = 221=513 54 又为第四象限角，即 223 0， 0， =1 4 已知函数 f(x)=- 3 1)求 f( 625 )的值； 答案 ： 36251625 o i i 25( 2 f (2)设 (0， ),f(2 )= 2341 ，求 答案： 232 234123s o ( f 用心 爱心 专心 - 12 - 16411=0，解得 8 531 (0， )， 0，则 8 531 已知函数 f(x)=2x (0， 2 )求使 f(x)为正值的 =( 2 +a2)x+4 ) f(x)的最大值为 2 + 2 +2 +3 a= 3 易错点 3 三角函数的综合应用 1 (2012模拟题精选 )如图，在直径为 1的圆 一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 yx0 ( )将十字形的面积表示为的函数； ( )为何值时，十字形的面积最大 ?最大面积是多少 ? 【错误答案】 设 S=2 4 3 B 2 f(x)在 (0， 2 )上是增函数 f(x)f(0)=0 即 2x3 A 【错解分析】 f (x)=3(32 当 00当 x (0，时， y 0口 x (0， 时， f(x)0是 f， (0的任意正实根即 存在一个非负整数 k，使 (2 + + 即 由题设条件， ， x=且满足 式知 是 f (x)=0的任意正实根，即 存在一个非负整数 k，使(2 + +，即 式 f (x)=x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下： X (0,2 ) 0x ,0 f (x)的符号 K 为奇数 - 0 + K 为偶数 + 0 - 所以满足 f (x)=0的正根 f(x)的极值点 由题设条件， a1,， 方程 x=式知 bc B OO,w0)的图像在 ， 2 2 )，与 (0,0) (1)求这个函数的解析式； 答案：解：（ 1）根据题意可知， A=2 4,2T =6， T=16，于是 w= 82 T 所以y=2 )8 x 将点 y=2 )8 x 即 )4( . 满足 的24 为最小正数解，即 4 y=2 )(48 (2)此函数可以由 y=(写出每一个具体变换 ) 倍纵坐标伸长到原来的倍横坐标伸长到原来的向左平移 2284 )48s i n ()4s i n (s i n 用心 爱心 专心 - 25 - y=2 2 48 x ) 11 已知三点 A， B， (3， 0)， B(0， 3)C(， 4k ， k Z，若 = 的值 (1)若 f(x)=(a+b)2，求 f(x)的解析式； 答案： f(x)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a b=2+ )65,6()3co s(2 (2)求函数 f(x)的最大值和最小值； 答案：由 x - 65,6 得 x+3 67,6 当 x+3 =6 ，即 x=时，函数 f(x)取最大值 3 +2； 当 x+3 =，即 x=32 时，函数 f(x)取最小值为 0 13 已知为第二象限的角， 53 ，为第一象限的角， 135 ，求 的值 答案：解：为第二象限的角， 53 ， 又 为第一象限的角， 135 ， a nt a a nt a n)t a n (,512t a 用心 爱心 专心 - 26 - 32 0 41663431166343)(t a n )2t a n ( 14如图所示，有一农民在自留地建造一个长 10 m，深 0 5 m，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽侧面材料每平方米造价 50元，顶盖材料每平方米造价 10元 (1)把建立引水槽的费用 y(元 )表示为引水槽的侧面与地面所成的角 的函数； 答案：作 足为 H，则 1 , 41 =21 B+ 即 )212141 )(si nc o 03 0 0)c o 0 0)si o o 0 010102c o o o c o o )引水槽的侧面与地面所成的角多大时，其材料费最低 ?最低材料费是多少 ?(精确到0 01， 3 1 732) 答案： )( 632 0 03 0 02c o a 03 0 0)2c o a 0 03 0 0s i nc o 03 0 0)2( 元 3=即 = 33 =60即当引槽的侧面与地面所成角为 60材料费最低为 646 4元 (3)按照题没条件，在引水槽的深度和横截面积及所在的材料 不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与 (2)中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用材料费更省 ?省多少 ? 答案：截面为正方形时，材料费为 10211050211040)2121( y 10=700元 所以横截面为等腰梯形时比横截面为正方形时，材料费用较省，省 53 6元 用心 爱心 专心 - 1 - 最后冲刺 【高考预测】 易错点 1 不等式的概念与性质 1 (2012精选模拟题 )如果 a、 b、 B c(0 C 因是不知 【错解分析】 由 dbc，且 a0， cbc且 ，故 a0且 a0， ab(2) D ， |a|b|； + a1+aa 其中成立的是 ( ) A. 与 B 与 C. 与 D 与 【错误解答】 B 1+ ， ab 1 ” 不能弱化条件变成“ 1 ”也不能强化条件变为“ ab0 1 ” 【变式训练】 1 若， |a|， |b|0，且 ，则下列不等式中能成立的是 ( ) A 1 B 1 C |2121 D 21()21( 易错点 2均值不等式的应用 1 (2012精选模拟 题 )设 a， 0， b0，则以下不等式中不恒成立的是 ( ) A 411)( B 2233 C 2222 D | 【错误解答】 | 不一定大于或等于 【错解分析】 【正确解答】 B A： a+b 2)(411)(1211 时取成立 C： a2+=+ 2a+2b (当且仅当 a=b=1时取“ =” ) 成立 D：两边平方 | a+( a+ 时显然成立 解得 a b或 a b 成立 用心 爱心 专心 - 4 - 2 (2012精 选模拟题 )设 x (0， )，则函数 f(x)=最小值是 ( ) A 4 B 5 C 3 D 6 【错误解答】 因为 x (0， )，所以 ， 0， f(x)= =4，因此 f(x)的最小值是 4故选 A 3 (2012精选模拟题 )设 a 0， b 0， 22b =1，求 a 21 b 的最大值 【错误解答】 0i 2 )21(242121)2(2121 i 431)212(2122221221 a=0时取等号 ) 【错解分析】并非定值 【正确解答】 为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“ 凑、配” 222122221221,2322222221,4232232 2 当且仅当 时取 “ =” . 【特别提醒】 用心 爱心 专心 - 5 - 利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等” 必须验证确定 ,而要获得定值条件有时要配凑 利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时 ,要会利用函数的思想和放缩法 . 【变式训练】 1 已知 )(,2,2,1 222222 的最小值为则 B 解析：联立 221222222212111 1又 01; ( )点 P(xo,(b+2c)； 用心 爱心 专心 - 10 - (t+10，即 t2+bt+c 2已知数列 1,: 111 xx 足 问是否存在 m N ,使 ,并证明你的结论； 答案：假设存在 m N*，使 ，则 2= 1411 ， 同理可得 ， 以此类推有 ，这与 矛盾，故不存在 m N*，使 试比较 的大小关系； 设 |,2| 1 1 求证当 答案：当 n 2时， ， 142= 12- 1,13114,12 11 ，则 ， 2，以此类推有： (3)1(1)21()21(211)2(,)21()21(21|,2|211|2|214|2|,1,1,1311411211111111 则易错点 4 不等式的解法 1 (2012精选模拟题 )在 :xy=x(1若不等式 (x+a)1,解关于 x 2 )1()( 【错误解答】 )(,2 184 1693 90124,3)1(2221 0)1)(,0)1()1(,2 )1(2)2(222 故又即 【错解分析】 (2)问中两边约去 (2并不知 2符号 . 【正确解答】 (1)同错解中 (1) (1)(2(02 )1(,2 )1(2)2( 22 可化为不等式即为 当 10解集为 x (1,2) (2,+ ); 当 k2时，解集为 x (1,2) (k,+ ). 3.(2012 精选模拟题 )设函数 f(x)=,不等式 |f(x)|2 00 时，原不等式为 12 x1, x1当 易错点 5 不等式的综合应用 1 (2012精选模拟题 )已知函数 f(x)=81)(21,41,6123 2 又当的最大值不小于 ( )求 ( )设 0， 0|故选 D 2 已知不等式 a0时，任意实数 不等式 0 对 x 1 用心 爱心 专心 - 18 - 不等式 (a, 0, x 即可求解。 【答案】 f(x)为奇函数，则原不等式变形为 f(x)1且对任意的实数 x,y R,有 f(x+y)=f(x) f(y)成立，数列 足 a1=f(0),且 f()= )()2( 1 n (1) 判断 y=f(x)是否为单调函数，并说明理由； 用心 爱心 专心 - 21 - (2).,;?1 0 0 01|21|,.,1 211 请说明理由如不存在合如存在请找出这样的集成立时都有当问是否存在无限集记设 (3)若不等式 .,12)11) . . . (11)(11( 21 的最大值求均成立对一切 n 【解析】 (1)利用函数的单调性证明 ;(2)裂项法求出 解不等式； (3)利用函数的单调性求 【答案】 (1)设 )1()(1)()()(),()()(, 11212121212 则 时隔不久当又由已知所以又所以又由已知得令对 0,1)()(),()()0(,1)0(,1)1(),1()0()1(,0,1),()()( .)(,0)()(,)2()1(),2(1)(,0)(,1)(0,1)(,0 12121 上为单调减函数在所以可知由且上所以在所以时 12,1)0(,2,)()1(),0()2(,1)2()()()2( 1)()2(11111为单调减函数在知由由已知有得由),12 11(21),12 112 1(21)12)(12( 1 0,|,2 5 0,1 0 0 01|12 121|,1 0 0 01|21| 即可取存在这样无限集则若 n (3)由 )(1) . . . (11)(11(,12)11) . . . (11)(11( 2121 32)11).(11)(11(,12)11).(11)(11(121)1(2132,332)1()().()1(,11)1(4)1(2)()1(2的最大值为即即又难点 4 不等式的工具性 1若直线 2=0(a、 b0)始终平分圆 x2+=0的周长，则 1 的最小值是 ( ) 【解析】利用重要不等式求最小值。 【答案】 =0过圆心 (), a+b=1, 4)(11( 用心 爱心 专心 - 22 - f(x)=x+3(abc),已知 f(1)=0,且存实数 m,使 f(m)=试推断 f(x)在区间 0， + 上是否为单调函数，并说明你的理由； 设 g(x)=f(x)+于 R,且 g(g(0,求 |取值范围； 求证： f(m+3)0. 【解析】由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断； (2)由根与系数的关系求出 a、 b、c 的关系，从而转化为二次函数的最值； 【答案】 (1) f(m)=-a,m R. 方程 bx+c+a=0 有实根 =a+c) 0 f(1)=0, a+b+c=0,即 a+c= (b(b+4a) 0. abc, a0, b 0.x= f(x)在 0， + 上是增函数 . (2)据题意 x1,g(x)=0即 bx+c=0的两实根 . )(4)(4444)(| 22222 221221221 = 3)21(41)(4 22 32,2|1)21(,202).(212心 爱心 专心 - 23 - (3) f(1)=0.设 f(x)=a( ()3(10,01)(1(.)(1(,)(难点 5 不等式的实际应用 某机关在“精简人 员”中，对部分人员实行分流，规定分流人员在第一年可到原单位领取工资的 100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的 32 领取工资，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获 b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增 50%，若某人在分流前工资收入每年为 流后第 (1)求 2) ?,278 最少收入是多少这个人哪一年收入量少时当 当 ?,83 超过分流前的收入人分流后的年收入永远是否一定可以保证这个时 【解析】建立数学模型，求出 运用重要不等式求 不等式 . 【答案】 (1) 即时当 ,%)501(32,2, 211 )2(3232)1(31)时取等号即而且仅当时当时当 32327 832,982327 83222327 832,2,27 8 2121221 3) 2121238332223833283,2 时当 .,83,24258332,2,2,232l o o 1l o 居住在该地区的居民必须服用一种药物预防 ,规定每人每天早晚八时各服用一片 ,现知该药片含药量为 220毫克 ,若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 60%,在体内的残留量超过 386毫克 (含 386毫克 ),就将产生副作用 (1)某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多用心 爱心 专心 - 24 - 少 (2)长期服用的人这种药会不会产生副作用？ 解题思路依题意建立数列模型，写出 an,出 解答 (1)依 题意建立数列模型，设人第 在体内的残留量为 3) 2 0, 0,2 2 0 2321 (2)由 20+ (n 2)可得 2()31 1 0 0( 0 0 1 na n 631 1 0 1 1 0 0(31 1 0 0,31 1 0 0 11不会产生副作用是一个等比数列所以 型习题导炼】 A 答案： A 解析：略 3 已知奇函数 f(x)在 (- ,0)上为减函数 ,且 f(2)=0,则不等式 (f(0 的解集为 ( ) A.x|C.x|D.x| 0)1( 01由 题11211)1()1( 01,3121 01)2()1( 01 4函数 f(x)是 A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点 ,那么 |f(x+1)|3或 g(0,则不等式 f(x)g(x)0 9(x)也为增函数 F(f(-3)g(0 F(3)=3)=0 如图为一个符合题意的图象观 察知 9(x)=f(x)， g(x)解集是用心 爱心 专心 - 26 - _. 答案： x|以 20， 1上递减，由已知可知00时，f(x)=x+ _ _ _ _,)(,1,3.4 则有最小值为的最大值为记时当 答案：依题意 x f(x)=f(x4 =( ), m=f( 5， n=f(4， 9定义符号函数 _ _ _ _ _ _)12(2:,010001s g n 的解集是则不等式 答案： ； 10已知关于 052 解集为 (1)a=4时，求集合 M； 答案：当 a=4时，原不等式可化为 04542 即 4(x+2)9 或 a2 s=(|t+x|+|=2(t2+2|(|t+x|+|2=2(t2+2| 当 |t| |x|时， s=44；当 |t|x|时 s=4 |t+x|+| 21f()|即， |t+x|+|f()| 设 证 :f(x+1) 2答案： n=1时，结论显然成立 当 n 2时， f(x+1) 用心 爱心 专心 - 29 - 用心 爱心 专心 - 1 - 最后冲刺 【高考预测】 次”的综合问题 易错点 1 二次函数的图象和性质的应用 1 (2012模拟题精选 )已知向量 a=(x+1)， b=(1t)若函数 f(x)=1)上是增函数，求 t 的取值范围 【错误答案】 依定义 f(x)=t(x+1)=x2+tx+t，则 f (x)=t. 若 f(x)在 (1)上是增函数，则在 (1)上恒有 f 0 t 3区间 (1)上恒成立设 g(x)= 3(2当 x=31 时， g(x)31 t + . 【错解分析】 上面解答由 t 3区间 (1)上恒成立得 为若 t g(x)x 的值能使 t 3立，但不能保证 x 在 (1)上的每一个值都能使 t 3立因 而 t 应大于或等于 g(x)在 (1)上的最大值 【 正 确 解 答 】 解法 1 ： 依 定 义 f(x)=t(x+1)=x2+tx+t. 则 f (x)=x+t()上是增函数，则 f (x)=x+t 0在 (1)上恒成立，即 t 31)上恒成立 设 g(x)=3(2对称轴为 x=31 g(x)0即 f(x)在 ()上是增函数 故 5， + 用心 爱心 专心 - 2 - 2 (2012模拟题精选 )已知函数 f(x)=1 ，又当 x 21,41 时， f(x) 81 . (1)求 (2)设 01， 3) (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根，求 f(x)的解 (2)若 f(x)的最大值为正数，求 【错误 答案】 (1)设 f(x)=bx+c(a 0) 解得 0f(0)f(B f( f(2) (0) C f(0) f( f(2) D. f( f(0)f(2) 答 案 ： B 解 析 ： 由 f(1+x)=f(得 f(x) 的对称轴 x= 21 b=f(2)=2+c,f(6+c,f(0)=c. f(f(2)f(0). 2 若函数 y= 在闭区间 0， m上有最大值为 3，最小值为 2，则 m 的取值范围是_. 答案： 1,2解析： y=(x+1)2+2 是以直线 x=1为对称轴开口向上、其最小值为 2的抛物线，又 f(0)2 m 1. 1， 2. 3 设函数 f(x)=(1， b R) (1)若 f(0，则对任意实数均有 f(x) 0成立，求 f(x)的表达式 答案：解析：（ 1） f(0=0b=a+1,又对任意实数均有 f(x) 0成立， (004022 f(x)=x+1. 用心 爱心 专心 - 5 - (2)在 (1)的条件下，当 x 2时， g(x)=xf(x)单调递增，求实数 k 的取值范围 答案： g(x)=xf(x)x(x+1)1-k)x,g (x)=3x+10 在 2上恒成立 g (x)在 2上的最小值 g (x)(- )32 k ) 4 已知二次函数 f(x)=(x+4，求 答案：解析：原函数式可化为 f(x)=2 由已知， f(x)有最大值 3， )()( 21 恒成立知 f(x)在(0， 1)上是凸函数，因此只有 y=y=2x和 y=0， 1)上是函数 y=0，4 )是凸函数，但在 (4 ， 1)是凹函数，故选 B 3 (2012模拟题精选 )若函数 f(x)=x2+x)(a0且 a 1)在区间 (0, 21 )内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(-， B ( + ) C (0， + ) D (-， 【错误答案】 选 用心 爱心 专心 - 7 - 【错误答案】 (1)由 y=f(x)=ln(ex+a)得 x=ln( x)=ln(x f (x)=ln(ex+a)= x (2)由 x) +lnf (x) f (x)= 用心 爱心 专心 - 8 - . 即 512 r (x)0， 从而可知 (x)与 r(x)均在 a)，h(4a)上单调递增 ， 因此不等式 成立 ， 当且仅当 (a)0恒成立。 解析：（ 1）当 a1时，只要 1( 即 21,021,2,11( 与 1矛盾 . (2)当 00；当 tw0；当 S20时， v 11480 时， (*)式变形为 7- 11- 2， 解得 11480 5时， f(x)=12251225x 0 50;当 ,13 74 时 x y .,3 74,0 取最大值时当 因此把水箱的高设计成 4 时，水箱装的水最多。 4 某车间有工人 30人，现有生产任务：加工 00个， 0 个在单位时间内，每个工人若加工 10个，若加工 件能完成 7个问这 30名工人应如何分组，才能使任务完成得最快 ? 答案：解：设加工 A 型零件的一组工人数为 x，则加工 0题意加工 100个 p(x)= 用心 爱心 专心 - 18 - 加工 50 个 .)30(7 50)( 令 p（ x） =q(x); 2117307 5010100 得 . 当 x 时21 ； 当 0q(x). 当 0q(x). 0(7 别考虑 p(17)和 q(18),p(17)= ,5 9 0)18(,5 8 0 0 q 即 p(17)bc a0， c 0，从而 =，即函数 f(x)与 g(x)的图像交于不同的两点 (2)c=abc即 ac= 2abc， b= ac， (1 ) 设 |=h(=4( 212+43 的对称轴为 x=h=(在 (1 )上是减函数 | (3,12),得 | ( 32,3 ). 难点 2 三个“二次”的综合问题 f(x)=(a， b R，且 a0)，设方程 f(x)= (1)如果 2 (2)如果 | 2,|2,求 【解析 】 (1)由二次函数的图像找出方程 f(x)=x 的两根 1128 32,81,221443,22144303416 0124 得由故814 112 用心 爱心 专心 - 22 - (2)由 g(x)=x+1=0知 0， 若 02 g(2)=4a+20，又 | )1( 2 2 =4,得 2a+1= 1)1( 2 b (a 0,负根舍去 )，代入上式得 2 1)1( 2 b 47 . 故 - , 41 ) (47 + ) 2设二次函数 f(x)=bx+c(a， b， c R， a 0)满足条件： 当 x R,f(f(2且 f(x) x； 当 x (0， 2)时 ,f(x) 2)21( x ； f(x)在 为 0 (1)求 f(x)的表达式； (2)求最大的 m(m 1)，使得存在 t R，只要 x就有 f(x+t) 由条件， f(x)在 ， 可知，函数 f(x)的图像是开口向上，顶点位于点 (0)的抛物线，故不妨设 f(x)=a(x+1)2，(a 0)由条件 f(x) x， x R，当 x=1时 f(1) 1 由条件 ,f(x) 2)21( x x (0， 2)，当 x=1时，有 f(1) 1 用心 爱心 专心 - 23 - f(1)=1，从而 a= (41)(2 方法三 同解法 1，可判断 f(x)图像的对称轴为 x= f(0 b=2a， c=0即b=2a， c=a，故 f(x)=ax+a 由条件 ,f(x) x 即 2x+a 0， x R 恒成立 4104)12(022 ,f(x)2)21( x ,x (0,2) 令 (2x+(由上 a (F 0)0( 有故 (2)方法一 假设存在 t，只要 x 1， m就有 f(x+t x，即 f(x+t)0，(x+(t+1)2 0对一切 x 1， m恒成立 不妨设 G(x)=(x+(t+1)2 则对 x 1， m，都有 G(x) 0， 故 0)1()22(040)(G ,0)1(G 22 设 h(t)=2+2m)t+(即在区间 0上存在实数 t，使 h(t) 0成立由图像得，(1)当 a 0时，若函数 f(x)的图像与直线 y= 证： 441 . 用心 爱心 专心 - 24 - (2)若 a+c=0,f(x)在 2上的最大值为 32 ，最小值为 证： 2 (3)当 b=4， c=43 时，对于给定负数 a，有一个最大正数 M(a)使得 x 0， M(a)时都有 |f(x)| 5，问 M(a)最大，并求出这个最大值 M(a)证明你的结论 (4)若 f(x)同时 满足下列条件 a0；当 |x| 2时，有 |f(x)| 2；当 |x| 1时 ,f(x)最大值为 2，求 f(x)的解析式 【解析】 (1)利用 5，即 M(a)是方程 x+3=用心 爱心 专心 - 25 - M(a)= 2 1522 4224 42 8648 a 212 15 因此当且仅当 a=M(a)取最大值 2 15 (4)f(x)=2b a0 f (x)a+2b=2 a+b=1 f(0)=4c=4a+4b+4a+b)=f(2)22 4c= c=又 |f(x)| 2 f(x)=-2=f(0) f(x)在 x=0处取到最小值且 0 2 - 022 b=0 从而 a=1 f(x)=难点 3 含参数的对数函数与不等式的综合问题 1已知函数 f(x)=x+1)，当点 (x， y)在 y=f(x)图像上运动时，点 P( 2 12y)在函数 y=g(x)的图像上运动 (1)求 y=g(x)的解析式； (2)当 t=4，且 x 0， 1时，求 g(x)-f(x)的最小值； (3)若在 x 0， 1时恒有 g(x) f(x)成立，求 t 的取值范围 (3) 由 g(x)f(x) ，即 2x+t)x+1) ，在 x 0 ， 1 时 恒 成 立 ， 即 (x)=4(x+ 在 0， 1上恒成立即 1)1(18 14081400)0(08 14 爱心 专心 - 26 - 817 或 t 817 综合，得 t1 即满足条件 1， + ) 2设函数 f(x)=a(a 0 且 a 1)的反函数为 y=x)，已知函数 y=g(x)的图像与函数 y=x)的图像关于点 (a， 0)对称 (1)求函数 y=g(x)的解析式 ； (2)是否存在实数 a，使当 x a+2， a+3时，恒有 |x)x)| 1 成立 ?若存在，求出 不存在，说明理由 【解析】 (1)先求反函数 x)再用相关点法可求得 y=g(x)的解析式； (2)可将原不等式转化为一元二次不等式在 a+2， a+3上恒成立，利用二次函数图像和性质可判断是否存在实数 a 【答案】 由 f(x)=x)=由题设的点对称可得 g(a+x)+0 则 g(x)=又 x (a+2， a+3)， 应有 a+23a， 02a 函数 h(x)=a+2， a+3上为增函数 ， 函数 H(x)= a+2，a+3上为减函数 ， 从而 ： H(x)(a+2)=H(x)(a+3)=于是目标不等式等价于 aa)44(9(0 解得 01, a (1,2 3 ). 10 设函数 f(x)=bx+c( 1上是否存在 f(x| 答案 ：由 b2a,得 12 则 f(x)在 上递增且 b0,由 |f(x)|b,得 f(x)b 或f(x)b或 f(-1)b或 即 a+c 0. 故当 a+c=0时 ,符合题设条件的 当 a+c 0 时 ,符合题设 条件的 (2)当方程 f(x)的根在 (0， 1)内时，试求 答 案 ： 设 g(x)=f(x) 的 两 根 为 x1,则 g(x)=a( 由于g(0)=1 161)21)(21( 222211 来源 :高 &考 %资 (源 #网 其中，当 x1=(),21 2则上述等号成立 由于方程的根在 (0,1)间 ,则 g(0)0,g(1)a,b,c 为整数 ,则 g(0)=c)=a+c 1. 则 4),()0(161 22 的最小值为经检验则即 用心 爱心 专心 - 30 - 校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓 风及时排气，用煤烧开水每吨开水费用 电 炉烧开水每吨开水费用为 S=5m+0 8n+5， P=10 8n+20 n66 其中 果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则用煤烧水；否则就用电炉烧水 (1)如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数； 答案： 解 (1)由题意知 :S=P,可得 m=2n+4 )660(166 (2)已知现在每百度电价不低于 50 元，那么当每吨煤的最高价不超过多少元时可以选择用煤 ? 答案：由 f(x)-h(x)= 111 得 x=,11211 21,11 9,111)(,)(111 9 经验证恰好时考虑使得故只能找到一个为减函数由于要使 而 ( 要使 g(x)=lg(0)x+1)的值域为全体实数 ,有 (i)a=0时显然成立 ,(ii)a 0,则 181,0(.)119(004)0(4,00 221 的取值范围是数即且 用心 爱心 专心 - 1 - 最后冲刺 【高考预测】 易错点 1 对椭圆相关知识的考查 1 (典型例题 )设 椭圆的两个焦点分别为 ，若 椭圆的离心率是 ( ) . 【错误解答】 A 【错解分析】 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把 | | 21作离心率 【错误解答】 D 由题意得 a=5， b=3，则 c=4 而双曲线以椭圆 925 22 =1 长轴的两个端用心 爱心 专心 - 2 - 点为焦点，则 a=c =4， b=3 k= 43【错解分析】 没有很好理解 a、 b、 【正确解答】 C 设双曲线方程为 2222 =1，则由题意知 c=5， 4 则 0 ，而 a=2 5 b= 5 双曲线渐近线斜率为 21 4 (2012精选模拟题 )设直线 625 22 =1相交于 A、 相交于 C、 C、 B，求直线 ( ) 【错误解答】 设直线 y=kx+b 如图所示， 曲线的交点为 A( B ( C( D(依题意有 =3由)1(0)4 0 025(50)2516(1162522222 bb k x1+ 由 122 1)=0 (2)若 k= 1，则 合题意，故 k 1 所以 x3+212、由 x1+x2=x3+- 22 1 22516 50 或 b =0 用心 爱心 专心 - 3 - 当 k=0时，由 (1)得 2= 21645 b 由 (2)得 4= 12b 由 123 =3( 13161616410 22 故 y= 当 b=0时，由 (1)得 2= 22516 20 k ，由 (2)得 4= 211k 由 123 =3( 5161 62516 40 22 的方程为故 综上所述：直线 y= 516,1316 【错解分析】 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解 k=0时，由 (1)得 2,1 由 (2)得 4= 12 b 由 33 12 即 2 y= 1316 当 b=0时，由 (1)得 2= 22516 20 k 自 (2)得 4= 33,1 1 122 (即 2516 40 22 故 y= 再讨论 l与 用心 爱心 专心 - 4 - 设直线 x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得 2= c 4= .|3|3|4122 由 即 125,2 4 125162558 22 方程为故 综上所述，直线 y= 2516 x、 y= 1316 和 x= 24125 解法二：设 曲线的交点为： A( B( C( D(则有 ,116252222子相减，得： ()( ,0)(25)(163434343412121212 因 C、 中点 ( 于是 ,22 1 342 ,22 3412 ( 因此 )2().()( )1(),(25)(16 340340 340340 若 0， 则 x2=x4=y4=y2= 用心 爱心 专心 - 5 - 故 24125x 当 ， 时 ， 这时 设 y=别代入椭圆、双曲线方程得： 2= ,2516 20 24,32 3 3412 故 y= 综上所述，直线 y= 、 y= 1316 和 x= 5 (2012精选模拟题 )设 A、 x2+上的两点，点 N(1， 3)是线段 中点，线段 垂直平分线与椭圆相交于 C、 (1)确定 求直线 方程； ( )试判断是否存在这样的 A，使得 A、 B、 C、 D 四点在同一个圆上 ?并说明理由 (此题不要求在答题卡上画图 ) 【错解分析】 用“差比法”求斜率时 2)(3 1 21 yy 这地方很容易出错 N(1， 3)在椭圆内， 3 12+32=12应用结论时也易混淆 【正确解答】 (1)解法 1：依题意，可设直线 y=A(3，代入 3x2+，整理得 ()x+(0 设 A( B(则 两个不同的根， =4 ()-3(0， 且 x1+3)3(2 2k 由 N(1， 3)是线段 12 21 A( 解得 k=入得， 12，即的取值范围是 (12， + ) 用心 爱心 专心 - 6 - 于是，直线 (即 x+ 解法 2：设 A( B(则有 2222212133x1+(y1+0 依题意， 21 21 )(3 yy N(1， 3)是 x1+， yl+，从而 1 又由 N(1， 3)在椭圆内， 3 12+32=12， 的取值范围是 (12， ) 直线 方程为 (即 x+ ( )解法 1： B，直线 =0，代入椭圆方程，整理得 4x+4 又设 C( D( 中点为 M(则 两根， x3+1，且 21 (x3+- 21 ， y0= 23 ，即 M(- 21 ， 23 ) 于 是 由 弦 长 公 式 可 得| .)3(2|)1(1 432 将直线 x+，代入椭圆方程得 4160 同理可得 | .)12(2|12 用心 爱心 专心 - 7 - 当 12时， )3(2 )12(2 , |2， B，直线 入椭圆方程，整理得 4x+40 将直线 x+，代入椭圆方程，整理得 460 解和式可得 2= 1,2 122 4,3 x 不妨设 A(1+ )2 33,2 31(),2 33,2 31(,12213,1221 2 1233,2 3123()2 1233,2 3123( D 为直径的圆上又 关于 A、 B、 C、D 四点共圆 (注：也可用勾股定理证明 【特别提醒】 1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究 如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭用心 爱心 专心 - 8 - 圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形 3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范 围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等 考场思维调练 1 已知椭圆的中心 ， P、 ,， 下列比值中等于椭圆离心率的有 ( ) | |)5(;| |)4(;| |)3(;| |)2(;| |)1( B 2个 D 5个 答案： C 解析：对 (1)， (4)的正确性容易判断；对 (3)，由于 | =e，故 (3)正确；对 (5)，可求得 | ,2| 2 , | |故 ,故 (5)正确； (2)显然不对，所选 C 2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、 轴长为20，焦距为 2c，静放在点 (小球的半径不计 )，从点 椭圆壁反弹后第一次回到点 球经过的路程是 ( ) A 4a B 2(C.2(a+c) D 以上答案均有可能 答案： D 解析： (1)静放在 点 小球的半径不计 )从点 椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点 球经过的路程是 2(则选 B； (2)静放在点 小球的半径不计 )从点 椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点 球经过的路程是 2(a+c)，则选 C； (3)静放在点 小球的半径不计 )从点 椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点 球经过的路程是 4a，则选 A. 用心 爱心 专心 - 9 - 于是三种情况均有可能，故选 D. 令 V=V = =O 当时 t， V 0；当 02，则 00， b0)的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点 A， 2a (，则两条渐近线的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 【错误解答】 B 【错解分析】 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角 即 45 0 解不等式得 45 5，所以 e 的取值范围是 525,5 【错解分析】 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e1 【正确解答】 解法：直线 =1，即 bx+ 由点到直线的距离公式，且 a1，得到点 (1， 0)到直线 .)1( 22 同理得到点（ 0）到直线 .)1( 22 s=d1+2 由 42,54 2222222 于是得即得 解不等式，得 , 取值范围是所以由于 用心 爱心 专心 - 11 - 【特别提醒】 1注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调 e1，必须明确焦点与准线的对应性 2由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当 焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏 3掌握参数 a、 b、 c、 近线及其几何意义，并注意灵活运用 【变式训练】 答案：由 四边形 平 行 四 边 形 ， 又 由| 11 形，设半焦距为 c，由 | 1 c 知 |,22|,| 1121 又，即 c+ , e=2(e= (2)若此双曲线过点 N(2， 3 )，求双曲线方程： 答案： e=2= , c=2a, 双曲线方程为 )3,2(,13 2222 将点 入， 有 3a,14 34 222 即所求双曲线方程为 93 22 =1. (3)设 (2)中双曲线的虚轴端点为 1在 y 轴正半轴上 )，求 B 与双曲线交用心 爱心 专心 - 12 - 于 A、 B 两点，求 1 时，直线 答案：依题意得 0， 3）， 0， ,设直线 方程为 y=(x1,B(x2,则由 (32222曲线的渐近线为 y= 当 k= 3 时， 即 k 3 . x1+8,3 6 2212 y1+y2=k(x1+6= 2318k ,x1+9=9 又 3 ） , (x2,3), 09)(3 212121 093 18393 18 22 即 , k= 5 . 故所求 直线 y= 5 y=- 5 3 设双曲线 42x 的右顶点为 A、 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 为坐标原点 )分别交于 Q 和 R 两点 (1)证明：无论 P 点在什么位置，总有| 2 ； 答案：设 y=R： y=联立)2(21 ,21 2,21 2( 同理可得 ),21 2,21 2( 所以 | ,|41| 44 22 设 | 2=（ m,n） ,则由双曲线方程与 程联立解得 ,41 4,41 4 2222 所以 | 2=m2+|41 44 22 点在双曲线上， 1); 用心 爱心 专心 - 13 - (2)设动点 )(21 ，求点 答案： ),(21 C（ x,y） , 则有 22412412去 k,可得所求轨迹方程为 (x 0). 易错点 3 对抛物线相关知识的考查。 ( )当直线 时，求 l在 【错误解答】 ( )，设 l在 b，依题意得 y=2x+b，过点 A、B 的直线方程可写为 y= ,21 与 y=2221 得 41 ；设 中 点 N 的 坐 标 为 ( 则1 (x1+21 x0+m=161 +m 由 N l,得 161 +m=b，于是 b= 165165 m 即得 l在 ,165 . 【错解分析】 没有借助“ 0”来求出 m 321 ，无法进一步求出 好胡乱地把 【正确解答】 (1)F l | A、 用心 爱心 专心 - 14 - 抛物线的准线是 0， 0，依题意 ， 上述条件等价于 yl=x1+0； 上述条件等价于 x1+ 即当且仅当 x1+ 时， 抛物线的焦点 F。 ( )设 l在 b，依题意得 y=2x+、 l在 329 ， + ) 3 (2012 精选模拟题 )如图，过抛物线 px(p0)上一定点 p()，作两条直线分别交抛物线于 A ( B( (1)求该抛物线上纵坐标为 2P 的点到其焦点 ( )当 0 21y 的值，并证明直线 【错误解答】 (1)当 y=2p 时， x=8p 又抛物线的准线方程为x=抛物线定义得，所求距离为 8 ( )设直线 线 减得 (y1+2P(故 012 ( 同理可得 012 ( 2 (yl+ 1 y 设直线 用心 爱心 专心 - 15 - 由 减得 (y2+2P( ).()( 2 212112 12 将 y1+21 y0()代入得 04 【错解分析】 没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确 【正确解答】 (1)当 y=2p 时， x=8p ，又抛物线 2x=2p ， 由抛物线定义得，所求距离为 8p -(= ( )设直线 线 斜率为 减得 (yl+2P( 故 0101 01 2 yy ( 同理可得 012 yy p ( 由 即 012 yy p =- 022 yy p ， 所以 yl+2 故 0 21y = 设直线 减得 (y2+2p( 所以 ).(2 212112 12 B 将 yl+2y0()代入得 ,2 021 B 所以 4 (2012精选模拟题 )在平面直角坐标系 物线 y=的两不同动点 A、 O 图所示 ) (1)求 (即三角形三条中线的交点 )的轨迹方程； ( ) 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 【错误解答】（）设 重心为 G(x,y)A(x1,(x2,心 爱心 专心 - 16 - 则 )1(332121 (2) 又点 A 、 B 在 抛 物 线 上 ， 有 y1= y2=入 (2) 化 简 得 或 y= 31)(313 222121 （ x1+232 或 3 故重心为 y=3y=32 . 【错解分析】没有考虑到 时， 【特别提醒】 用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。 凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注 意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 【变式探究】 1 已知抛物线 x 的准线与 点，过 、 线段 (0) 用心 爱心 专心 - 17 - (1)求 答案：由题意易得 M（ 0） 设过点 M 的 直 线 方 程 为 y=k(x+1)(k 0) 代入 x 得 2x+ (1) 再设 A(x1,B(x2, 则 1,24 2121 2 2)()1()1( 212121 ( 2 2 kk k 那么线段 垂直平分线方程为 得令 0),2(12 2 2 yk 2222 即 又方程（ 1）中 =（ 220， 0 1， 2 02 (2) 若能求出 不能，说明理由 答案：若 有点 |23 =(1+=(1+(x1+.)1)(1(16 4 22k 点以 距离 d= 22222121221|2|据 4222 )1(1643)1(4:|43 k 得 4k4+,()(40, 3 ,满足 00) (2)若直线 l 的斜率 k2，且点 M 到直线 3x+4y+m=0 的距离为 51 ，试确定 m 的取值范围 3 在以 O 为坐标原点的直角坐标系中，已知 点 T(0)，点 M 在 y 轴上，点 N 在 x 轴的正半轴上，且满足 .,0 (1)当 M在 点 ； 答案：设点 P（ x,y）由 知 P 是 M、 N 中点，又 M 在 y 轴上， N 在 x 轴正半轴上，故 0， 2y） ,N 个坐标为（ 2x,0） .(x0) ,0),(),2,8( 8即 x(x0) 故点 0， 0）为顶点，以（ 2， 0）为焦距的抛物线 .(除去原点 ) (2)若动直线 (4， 0)，交曲线 、 是否存在垂直于 x 轴直线 l用心 爱心 专心 - 19 - 被以 直径的圆截得的弦长恒为定值 ?若存在，求出 l的方 程，若不存在，请说明理由 答案：设 点为 H，垂直于 l的方程为 x=a. 以 l于 E、 因为 |21 |1 2121 )4( （其中（ x1,坐标）， | |2 4| 1 所以 |=|=41 （ 2+41 (+4 =41 (+441 (+8(16=41 46a =（ a+3） a 所以当 a=3时 ， 以 直径的圆截得的弦长恒为定值 ， l 的方程 x=3. 易错点 4 对直线与圆锥曲线的关系的考查 1设双曲线 C： 1222 a0)与直线 l： x+y=1相交于两个不同的点 A、 B， (1)求双曲线 ( )设直线 l与 ，且 25 ，求 以 2222222 1 2125,1 21217 消去 13176028922 【错解分析】 (1)没有考虑到 10( )没有注意到题目本身的条件 a0 用心 爱心 专心 - 20 - 【正确解答】 (1)由 C与 知方程组 1,1222 消去 12 所以 0)1(8401224226 且 e 2 ， 即离心率 26 ) ( 2 ) ( )设 A( B( P(0， 1) 25 (x1,125 (x2,此得 25 由于 的根 ， 且 10， 所以 x= 222 122 |=222 122 +l = 222 12)1(2 |= 222222 12)1(2122 用心 爱心 专心 - 21 - 43,34)0(912)1(212)1(2412)1(212)1(2|22222222错解分析】 ( )没有理解反余弦的意义 ( )思路不清晰 【正确解答】 (1)C 的焦点为 F(1， 0)，直线 ，所以 y= 将 y=程 x， 并整理得 =0 设 A( B( 则有 xl+， =( (x2,1= 所以 角的大小为 1413 ( )由题设 得 ( (1 即 12 12 ),1(1 yy 由 得 2 2 联立 、 解得 ， 依题意有 0， B( ， 2 )或 B ( ， )， 又 9(1， 0)， 得直线 -1)y= ( ( -1)y=2 ( 当 4， 9时 ， 2或 - 12 设点 用心 爱心 专心 - 22 - 则 1)1(213220220|得 ce 1)2( 22 2+ 222 2 41)1(2 ce 两边同时除以 4简得 22 22 1)1( 从而 1 于是 e (2)当 |，同理可得 222222 1)3(1)3( ce 解得 于是 =12 (3)当 |，同理可得 222222 1 )3(1)3( ce =4解得 于是 =1 综上所述，当 =32 或 时 证法二：因为 A、 B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、 y 轴的交点，所以 A、 B 的坐标分别是 ( 0)， (0， a)，设 由 得 ( 0 )， 所以 .)1(00因为点 以 220220 =1， 用心 爱心 专心 - 23 - 即 (,1)()1(22222222 所以 12=0， 解得 即 =1 ( )解法一 ： 因为 l， 所以 0 + 要使 必有 |即 21 |c. 设点 d，由 21 |d， = 22 1 |1 |0)(| , 得 2211 =e 所以 1 ， 于是 =12 . 即当 =32 时， 解法二：因为 l，所以， 0 + 钝角，要使 等腰三角形，必有 |设点 则 (2,13220220| 22 2222 1 )1(21)3( e 4 两边同时除以 4化简得 1)1( 12从而 1 于是 =2 即当 =32 时 ， 4 (2012 精选模拟题 )抛物线 C 的方程为 y=)的离心率分别为 ( ) A B 直线l2:y=间的阴影区域 (不含边界 )记为 W，其左半部分记为 半部分记为 (1)分别用不等式组表示 2； ( )若区域中的动点 p(x,y)到 距离之积等于 的方程； ( )设不过原点 )中的曲线 l， 与 证 【错误解答】 (1)(x,y)|y kx ( )直线 l1: 直线 l2:kx+y=0由题意得 1| 2k 1| 2k | 2 222 k () 故动点 的方程为 () ( )略 【错解分析】 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成 用心 爱心 专心 - 29 - 32 a， 0)，即它们的重心
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