2014高考数学 简单几何体模块跟踪训练（打包18套）
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- 1 - 2014 高考数学模块跟踪训练 简单几何体 一、选择题 (85 40 分 ) 1 (教材改编题 )三个平面两两相交，它们的交线条数是 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 1 条或 3 条 答案： D 解析：如图 (平面图 ) 2已知四个命题： (1)三点确定一个平面； (2)若点 P 不在平面 内， A、 B、 C 三点都在平面 内，则 P、 A、 B、 C 四点不在同一平面内； (3)两两相交的三条直线在同一平面内； (4)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，其中正确命题的个数是 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案： A 解析：根据平面的基本性质进行判断 (1)不正确，若此三点共线，则过共线的三点有无数个平面 (2)不正确，当 A、 B、 C 三点共线时， P、 A、 B、 C 四点共面 (3)不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直的三条直线就不共面 (4)不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形故选 A. 3若点 P ， Q ， R ， m，且 Rm， m M，过 P、 Q、 R 三点确定一个平面 ，则 是 ( ) A直线 B直线 C直线 D以上均不正确 答案： C 解析： m M， m ， M . 又 M 平面 M ， 故 M 是 与 的公共点 又 R ， R 平面 R ， R 是 与 的公共点 4设 A、 B、 C、 D 是空间中四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 ( ) A若 面，则 面 B若 异面直线，则 异面直线 C若 若 案： D 解析：若 面，则 A、 B、 C、 D 四点共面，那么 面，所以 A 正确；若 异面直线，那么 A、 B、 C、 D 四点不共面，那么 异面直线，所以 B 正确；若 四点共面，显然 四点不共面，如图，空间四边形中，取 点 M，连接 然 平面 么 以 C 正确综上可知选 D. 5设 a、 b 是异面直线，那么 ( ) A必然存在惟一的一个平面同时平行 a、 b B必然存在惟一的一个平面同时垂直 a、 b C过 a 存在惟一的一个平面平行于 b D过 a 存在惟一的一个平面垂直于 b 答案： C - 2 - 解析： A 错，可以存在无数个平面同时平行于 a， ，不一定存在平面和 a， b 同时垂直 D 错，过 a 也不一定存在平面垂直于 正确 总结评述：本题考查立体几何中线面平行、垂直关系，培养学生空间想象能力 6空间四边形 M， N 分别是 中点，且 4， 6，则 ( ) A 1 5 B 2 10 C 1 D 2 5 答案： A 解析：取 点 P， ， 3， 2，由三角形三边大小关系得： 1 . 7在正方体 1直线 ( ) A. 3010 C. 3015 D. 1510 答案： A 解析：设棱长为 1，取 点，连结 于 求得 452 3010 ， 选 A. 8 (2009 江西， 9)如图所示，在四面体 ，若截面 正方形，则在下列命题中， 错误 的为 ( ) A 截面 异面直线 成的角为 45 答案： C 解析：如右图 面 D A 是对的； 面 B 对； 成的角即为 45 角，故 D 对故选 C. 二、填空题 (45 20 分 ) 9 (2009 青岛质检 )不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定 _个平面；若相交于两点，最多能确定 _个平面；若相交于三点，最多能确定 _个平面 答案： 3 2 1 解析：三条直线相交于一点，最多可确定 3 个平面，如图 (1)；三条直线相交于两点，最多可确定 2 个平面，如图 (2)；三条直线相交于三点，最多可确定 1 个平面，如图 (3) - 3 - 10如图，在正方体 ，则 _，它们所成的角的大小为 _ 答案：异面 4 解析：将所成角转化到 用余弦定理来解 设 2，在 ， 2 2， 5， 3， (2 2)2 32 ( 5)222 23 22 ， 4. 11设 a， b， c 是空间的三条直线，下面给出四个命题： 若 a b， b c，则 a c； 若 a、 b 是异面直线， b、 c 是异面直线，则 a、 c 也是异面直线； 若 a 和 b 相交 ， b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交 若 a 和 b 共面， b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面 其中真命题的个数是 _个 答案： 0 解析： a b， b c a 与 c 可以相交、平行、异面，故 错； 又 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 异面、相交、平行，故 错； 由 a、 b 相交， b、 c 相交，则 a、 c 可以异面，故 错； 同理 错，故真命题个数为 0 个 12 (2009 北京海淀一模 )已知四面体 P ， 90 ，则异面直线 成的角为 _ 答案： 90 解析：如图，因为 直角三角形，所以点 P 在底面的射影一定落在 边的中点上，设为点 M，连结 B 以 直，由三垂线定理可知 C 垂直，所以 成的角为 90. 三、解答题 (410 40 分 ) 13如图所示，正方体 M、 N 分别是 ： (1) 否是异面直线？说明理由； (2) 明理由 解析： (1)由于 M、 N 分别是 1 证明 此 是异面直线 (2)由空间图形可感知 断的方法可用反证法 探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法 (即由条件入手，经过推理、演算、变形等 )，如第 (1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两 - 4 - 直线是异面的 解： (1)不是异面直线理由如下： M、 N 分别是 又 四边形 到 A、 M、 N、 C 在同一个平面内，故 是异面直线 (2)是异面直线理由如下： 假设 则 B 平面 C 平面 面 与在正方体中 平面 假设不成立，故 14如下图所示，在棱长为 1 的正方体 M 为 中点， N 为 O 为面 心 (1)过 O 作一直线与 于 P，与 于 Q(只写作法，不必证明 )； (2)求 长 (不必证明 ) 解析： (1)由 ， 定一个平面 、 C、 M 三点确定一个平面 (如下图所示 ) 三个平面 ， 和 两相交，有三条交线 中交线 交线 相交，记交点为 Q. 与 的交线连结 于 P，与 于 Q， 故 为所作的直线 (2)解三角形 得 143 . 15如图，在直三棱柱 a， 90 ， D、 (1)求异面直线 (2)证明： 异面直线 (3)求异面直线 解析： (1)由于直三棱柱 以 又 a， 90 ， 所以 2a， 2， 即异面直线 . (2)证明：解法一：如图，在矩形 点 E 作 C、 、 结 - 5 - 又 D、 E 分别是 可得 在直三棱柱 由条件 所以 平面 故 平面 以 即 异面直线 解法二：如图，延长 于点 F，连结 条件易证 D 是中点， B 是 中点，又 E 是 以 在 ，由 在直三棱柱 平面 所以 平面 故 平面 以 即 异面直线 (3)由 (2)知线段 长就是异面直线 于 a， 90 ， 所以 22 a. 反思归纳：两条 异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行 16如图所示，在正方体 O， M 分别是 (1)求证： 异面直线 (2)求 异面直线 (3)若正方体的棱长为 a，求异面直线 解析： (1)证明： O 是 O 是正方体的中心， 又 M 为 即 线段 故 连结 可得 同理由点 O 为 O 即 异面直线 (2)由于 所以 在 1，则 3， 所以 33 ， 故异面直线 3 . (3)由 (1)知，所求距离即为线段 长， - 6 - 由于 1232 a， 以 22 a. - 1 - 2014 高考数学模块跟踪训练 简单几何体 一、选择题 (85 40 分 ) 1 (2009 福建， 10)设 m， n 是平面 内的两条不同直线； 内的两条相交直线则 的一个充分而不必要条件是 ( ) A m 且 B m n m 且 n D m 且 n 案： B 解析： m n 内的两条相交直线， ，而当 时不一定推出 m n 能异面 故选 B. 2已知 直线 a， b，平面 ， ，则 a 的一个充分条件是 ( ) A a b， b B a ， C b ， a b D a b， b ， a 答案： D 解析：对于 A，若 a b， b ，则 a 或 a 在 内， A 不合题意；对于 B，若 a ， ，则 a 或 a 在 内， B 不合题意；对于 C，若 b ， a b，则 a 或 a 在 内， C 不合题意；故选 D. 3一条直线 l 上有相异三个点 A、 B、 C 到平面 的距离相等，那么直线 l 与平面 的位置关系是 ( ) A l B l C l 与 相交但不垂直 D l 或 l 答案： D 解析： l 时，直线 l 上任意点到 的距离都相等； l 时，直线 l 上的所有点与 的距离都是 0； l 时，直线 l 上只能有两点到 的距离相等； l 与 斜交时，也只能有两点到 的距离相等 4 (2009 山东潍坊一模 )已知 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A若 ， ，则 B若 m n， m ， n ，则 C若 m n， m ，则 n D若 n ， n ，则 答案： D 解析：选项 A 中， 与 可能垂直，如墙角的三面墙，所以 A 不正确；选项 B 中， 与 可能相交，所以 B 不正确；选项 C 中，可能有 n ，可能有 n ，所以 C 不正确； D 正确 5 (2009 河南调考 )已知 ， a ， B ，则在 内过点 B 的所有直线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一一条与 a 平行的直线 答案： D 解析：设过 a 与 B 的平面与 的交线为 b，由面面平行的性质得 b 与 a 平行，故选 D. 6下列四个正方体图形中， A、 B 为正方体的两个顶点， M、 N、 P 分别为其所在棱的中点，能得到 平面 图形的序号是 ( ) - 2 - A 、 B 、 C 、 D 、 答案： C 解析：如 图中，连结 平面 平面 面 如 图中，平面 平面 面 交，所以 面 相交 如 图中，因为 平面 交，所以 平面 交 如 图中， 么 平面 综上所述，正确答案为 、 . 故选 C. 7 (2009 广东重点中学 )如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“ 平行线面组 ” ，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 平行线面组 ” 的个数是 ( ) A 60 B 48 C 36 D 24 答案： B 解析：在长方体中，含四个顶点的平面有 6 个表面和 6 个对角面，共 12 个平面，而每个表面能构成 6 个 “ 平行线面组 ” ，每个对角面能构成 2 个 “ 平行线面组 ” ，则所有的 “ 平行线面组 ” 的个数有 66 62 48，故选 B. 8如图， ， 夹在平面 与 之间的两条线段， 2，直线 平面 所成的角为 30 ，那么线段 取值范围是 ( ) A (2 33 ， 4 33 ) B 1， ) C (1， 2 33 ) D 2 33 ， ) 答案： D 解析：作 ，连结 BC， 以 0(*)， 因为 ，所以 所成的角， 30 ，依题意： 2， 1， - 3 - 1， 4 3，由 (*)式可得： 1 3 1 4 3 1 0，所以0 11 3，所以 1 13，即 2 33 ； 2 33 (舍去 )，所以 取值范围是 2 33 ， ) 二、填空题 (45 20 分 ) 9正方体 E 为 、 C、 E 的平面的位置关系是_ 答案：平行 解析：取 点 F，连结 此， 面 行关系 10如图所示， a 的正方体， M， N 分别是下底面的棱 P 是上底面的棱 的一点， P， M， N 的平面交上底面于 Q 在 ，则 _. 答案： 2 23 a 解析：如图所示，连接 易知 平面 又 又 23， 232 23 a. 11设平面 ， A、 C ， B、 D ，直线 于S，若 18， 27， 34，则 _. 答案： 685 或 68 解析：利用面面平行的性质，通常构造相似三角形求解，但要注意交点 S 在 、 之间，或在 延长线上两种情况，易得 685 或 68. 12如图，在正四棱柱 E、 F、 G、 H 分别是棱中点， N 是 中点，点 M 在四边形 其内部运动，则 M 满足条件 _时，有 平面 答案： M 线段 析：因为 以平面 平面 平面 平面 H 上任意点 M 与 N 相连，有 平面填 M 线段 三、解答题 (410 40 分 ) 13如图，在四棱锥 P ， 底面 正方形，侧棱 底面 C 的中点，证明 平面 - 4 - 证明：方法一： 连接 O. 底面 正方形， 点 O 是 中点 在 ， 中位线， 而 面 面 所以， 平面 方法二： 如图所示建立空间直角坐标系， D 为坐标原点设 a. 连接 G，连接 (a,0,0)， P(0,0，a)， E(0， 底面 正方形， G 是此正方形的中心，故点 0)，且 (a,0， a)， (0， 2A 而 面 面 平面 14如下图所示，已知 正三棱柱， E、 C、 (1)求证：平面 平面 (2)当该棱柱各棱长都为 a 时，求 (1)中两个平行平面间的距离 解析： (1) E、 C、 又 三棱柱为正三棱柱， E 平面 平面 2)由 (1)可知平面 平面 到平面 为 d. V 又 正三棱柱各棱长都是 a， - 5 - 32 a， V 13 12 3 a 324 而 2a， 52 a， 32 a， 90 ， S 12 12 32 a 52 a 158 d 2458 55 a， 则 (1)中两个平行平面间的距离是 55 a. 15 (2009 河北秦 皇岛一模 )如图所示，在直四棱柱 ， 2，底面是边长为 1 的正方形， E、 F、 G 分别是棱 中点 (1)求证：平面 平面 (2)求证： 平面 证明： (1) E、 F 分别是棱 四边形 平行四边形 又 面 面 平面 又 G 是棱 中点， 又 面 面 平面 又 F， 平面 平面 - 6 - (2)连结 2， 5， 同理 2， 3. 平面 又 面 又 A， 面 面 平面 16 (2009 河北唐山一模 )如图所示，四棱锥 S 底面 正方形，侧面 等腰三角形且垂直于底面， 5， 2， E、F 分别是 中点 (1)求证： 平面 (2)求二面角 F A 的大小 解析：解法一： (1)证明：如图 (1)，取 点 G，连结 12又 12 边形 平行四边形， 面 面 平面 (2)连结 - 7 - 又 平面 平面 平面 E平面 平面 平面 作 H，则 平面 且 H 为 中点 作 K，连结 于是 二面角 F A 的平面角 5， 2， 2， 1. 在正方形 ，作 L，则 2 2 25 45. 1225， 52 . 解法二：如图 (2)，以 E 为原点，建立空间直角坐标系，使 x 轴， A、 S 分别在 y 轴、z 轴上 (1)证明：由已知， E(0,0,0)， D(2,1,0)， S(0,0,2)， F(1， 12， 1)， B(0， 1,0)， C(2， 1,0)， (1， 12， 1)， (2,0,0)， (0,1,2) 12 12， 面 平面 (2)设 m (a， b， c)为平面 法向 量， 则 m ，且 m . (2， 1,0)， (1， 12， 1)， 则 m m 0， - 8 - 2a b 0，a 12b c 0， 取 a 1， b 2， c 2， 则 m (1,2， 2) 又 n (0,0,1)为平面 法向量， 所以 m， n m n|m|n| 231 23， 因为二面角 F A 为锐角，所以其大小为 - 1 - 2014 高考数学模块跟踪训练 简单几何体 一、选择题 (85 40 分 ) 1 (2009 山东， 5)已知 ， 表示两个不同的平面， m 为平面 内的一条直线，则“ ” 是 “ m ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面 、 垂直时， 内的直线m 只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面 ， 充分性不成立，故选 B. 2 (2009 北京宣武一模 )若 a， b 是空间两条不同的直线， ， 是空间的两个不同的平面，则 a 的一个充分不必要条件是 ( ) A a ， B a ， C a b， b D a ， 答案： D 解析：选项 A 中，若 a ， ，直线 a 与平面 可能平行，如图 ，所以 A 不正确；选项 B 中，若 a ， ，直线 a 与 可能平行，可能相交，可能为包含关系，如图 ，所以 B 不正确；选项 C 中， a b， b ，直线 a 与 可能平行，如图 ，所以 C 不正确，故 选 D. 3 (2009 北京海淀一模 )已知 l 是直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中真命题的是 ( ) - 2 - A若 l ， l ，则 B若 ， l ，则 l C若 l ， l ，则 D若 l ， ，则 l 答案： C 解析：选项 A 中，如图 ， 与 可能相交，所以 A 不正确；选项 B 中，如图 ， l 与 可能平行，所以 B 不正确；选项 D 中，如图 ，可能有 l ，所以 D 不正确，故选 C. 4 (2009 东北三省十校一模 )三棱锥 P 90 ， 下列说法正确的是 ( ) A平面 平面 B平面 平面 平面 D 平面 案： A 解析：如图，因为 90 ， 以点 P 在底面的射影落在 斜边的中点 O 处，连结 以 O，所以 面 又 平面 平面 平面 选 A. 5给出下列四个命题： 直 线垂直于一个平面内的无数条直线是这条直线与这个平面垂直的充要条件； 过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直； 不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行是这条直线和这个平面平行的充分条件； 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补 其中真命题为 ( ) A B C D 答案： C 解析： 是必要条件， 相等或互补或不确定，如图 面 面 面 此时二面角 A F 与二面角 G B 的大小关系不确定， - 3 - 故选 C. 6已知二面角 l 的大小为 30 ， m、 n 为异面直线， m 平面 ， n 平面 ，则 m、 n 所成的角为 ( ) A 30 B 60 C 120 D 150 答案： A 解析： m ， n ， m， n 所成的夹角与二面角 l 所成的角相等或互补 二面角 l 为 30 ，故异面直线 m， n 所成的夹角为 30 ，故选 A. 7 (2010 湖北八校联考 )在下列四个正方体中 ，能得出 是 ( ) 答案： A 解析： 平面 ， 平面 斜线，由三垂线定理可得 A. 8 (2009 四川， 5)如图所示，已知六棱锥 P 底面是正六边形， 平面 A 2下列结论正确的是 ( ) A B平面 平面 直线 平面 D直线 平面 成的角为 45 答案： D 解析： 底面的射影为 垂直， 垂直，排除 D 面 D 不在面 ，排除 B. 面 面 平行，排除 成的角为 2 45 ，故答案选 D. 二、填空题 (45 20 分 ) 9如右图所示， 矩形 在的平面，那么以 P、 A、 B、 C、D 五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是 _ 答案： 9 个 解析： 1 10 1 9， (包括 什么说 为 易判断 0. 0 ，只须判断 0. 假设 90 ，设 a， b， c. 90 ， 2- 4 - 而由 ： 这显然不成立 0. 综合而得： 是 ，共有 9 个 10在三棱锥 P ， 90 ， 30 ， 5，又 点 P 到平面 距离是 _ 答案： 5 3 解析： 90 ， 30 ， 5， 10. 又 10， P 在平面 的射影是 外心， 即斜边 点，设为 O，显然 5 3. 11对于四面体 出下列四个命题： 若 若 若 若 其中真命题的序号是 _ (把你认为正确命题的序号 都填上 ) 答案： 解析：本题考查四面体的性质，取 ，则 面 正确设 O 为 A 在面 的射影，依题意 O 为垂心， 正确， 易排除，故答案为 . 12 (2009 江苏， 12)设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： (1)若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； (2)若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行； (3)设 和 相交于直线 l，若 内有一条 直线垂直于 l，则 和 垂直； (4)直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直 上面命题中， 真命题 的序号是 _(写出所有真命题的序号 ) 答案： (1)(2) 解析：由面面平行的判定定理可知， (1)正确 由线面平行的判定定理可知， (2)正确 对于 (3)来说， 内直线只垂直于 和 的交线 l，得不到其是 的垂线，故也得不出 . 对于 (4)来说， l 只有和 内的两条相交直线垂直，才能得到 l . 也就是说当 l 垂直于 内的两条平行直线的话， l 不一定垂直于 . 三、解答题 (410 40 分 ) 13如图，在四棱锥 P ， 底面 60 ， E 是 中点证明： (1) (2)平面 证明： (1)在四棱锥 P ， - 5 - 底面 面 A， 平面 而 平面 (2)由 60 ，可得 E 是 中点， 由 (1)知， C， 平面 而 平面 底面 又 A， 平面 面 又 A，综上可得 平面 14如图，长方体 a， 2a， M 是 点， N 是 (1)求证： M、 C、 N 四点共面； (2)求证： (3)求证：平面 平面 (4)求 平面 成的角 解析： (1)取 ，连结 M， C， N 四点共面 (2)连结 的射影 12 22 ， t 90. (3) 连结 由 平面 平面 平面 (4) 平面 成的角且等于 45. - 6 - 15如图所示，已知正方体 E 为棱 (1)求证： (2)当点 E 恰为棱 证：平面 平面 (3)在棱 ，使二面角 E 的大小为45 ？如果存在，试确定点 E 在棱 果不存在，请说明理由 解析： (1)证明：连结 平面 平面 平面 的射影， 由三垂线定理知： (2)证明：设 O，连结 理可证 二面角 E 的平面角 设正方体的棱长为 2a，由平面几何知识，得 6a， 3a， 3a， 90 ， 即：平面 平面 (3)在正方体 设棱 ，使二面角 E 的大小为 45 ， 由 (2)知 45. 设正方体 a， x， 由平面几何知识，得： 26a， 8(2a x)2， 在 ，由余弦定理得： 2EO： 820(0 x2 a)，解得： x (43 2)a. (4 3 2)a2a， (4 3 2)a0，y0，x y M 的坐标满足上述不等式组，所以在 存在一点 M，使 平面 由点 M 的坐标，得点 M 到 距离分别为 4， 94. 解法二： (1)证明：如图，取 中点为 H，连结 因为点 E， O， G， H 分别是 中点， 所以 因此平面 平面 因为 平面 ， 所以 平面 (2)在平面 ，过点 P 作 点 N，交点 N，过点 F 作 点 M. 由题意，得 平面 所以 又因为 所以 平面 因此 平面 在 ， 125， 245 ， - 8 - 45， OP92 所以点 N 在线段 因为 F 是 中点，所以 M 是 中点 因此点 M 在 ，点 M 到 距离分别为 124，124. - 1 - 2014 高考数学模块跟踪训练 简单几何体 一、选择题 (85 40 分 ) 1在空间四点 O、 A、 B、 C 中，若 、 、 是空间的一个基底，则下列命题中， 不 正确的是 ( ) A O、 A、 B、 C 四点不共线 B O、 A、 B、 C 四点共面，但不共线 C O、 A、 B、 C 四点不共面 D O、 A、 B、 C 四点中任三点不共线 答案： B 2已知 A、 B、 C 三点不 共线，点 O 是平面 一点，则在下列各条件中，能得到点 、 B、 C 一定共面的条件为 ( ) 12 12 12 13 13 2 答案： B 解析：由共面向量定理的推 论知 、 、 的系数之和为 1，选项 B 中 13 ( 13) 1 1符合 3已知空间四边形 结 M、 G 分别是 中点，则 12( )等于 ( ) 答案： A 解析：如图所示， 12( ) . 4对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C，若 (其中 x、 y、 z R)，则 x y z 1 是四点 P、 A、 B、 C 共面的 ( ) A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 解析：若四点 P， A， B， C 共面，根据共面定理知： ( ， R)， ( ) ( )， (1 ) ， 令 x 1 ， y ， z ， 即 ，且 x y z 1. 反之，若 x y z 1，则 x 1 y z，代入已知条件得 - 2 - (1 y z) ， 于是 y( ) z( )， 即 ， 由共面向量定理知 P、 A、 B、 C 四点共面 5若 A、 B、 C、 D 是空间不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则 ( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 答案： B 解析： ( )( ) 20，同理 0， 0，故 锐角三角形因此选 B. 6已知空间四边形 边及对角线长均为 2， E、 F、 G 分别是 中点，则 等于 ( ) B 1 C. 2 D. 22 答案： A 解析：由于 正四面体， E、 F、 G 为中点，因此 等腰直角三角形，所以 | | 1 22 22 . 7如图，空间四边形 ， a， b， c，点 M 在 ，且 2N 为点，则 等于 ( ) 23b 12c B 23a 12b 12c 12b 23c 23b 12c 答案： B 解析： 12( ) 23 12(b c) 23a 23a 12b 12c. 故选 B. 8在正三棱柱 2 1B 所成的角的大小为 ( ) A 60 B 90 C 105 D 75 - 3 - 答案： B 解析：如下图， ，设 | 1， 2 2 1 0. 二、填空题 (45 20 分 ) 9在四面体 O ， a， b， c， D 为 中点， E 为 中点，则 _(用 a、 b、 c 表示 ) 答案： 12a 14b 14c 命题意图：考查空间向量基本定理的应用 解析： a 12 a 12( ) 12a 12 12a 12 12( ) 12a 14b 14c， 故填 12a 14b 14c. 10如图已知点 G 是 重心， O 是空间任一点，若 ，则 的值是 _ 答案： 3 解析：如图 G 为重心， E 为 中点 12( )， 23 23( )， 23( ) 13( )， 3. 11已知平行六面体 A B C D 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1，且两两夹角都是 60 ，则对角线 _ 答案： 6 解析： |2 2 ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 12 2 12 2 12 6. 12在各棱长都等于 1 的正四面体 ，若点 P 满足 x y z (x y - 4 - z 1)，则 |的最小值等于 _ 答案： 63 解析：由于点 P 满足 x y z (x y z 1)，所以点 P 与 A， B， C 共面，即 P 点在平面 ，所以 |的最小值即为点 O 到平面 距离，亦即正四面体的高，可以求得 |的最小值为 63 . 三、解答题 (410 40 分 ) 13如图所示，设 P 是正方形 在平面外一点， O 为正方形 中心， Q 是 知 平面 (1)用基向量 、 、 表示向量 ； (2)用基向量 、 、 表示向量 . 解析： (1) 12( ) 12 12 . (2) 2， 2 . 又 2， 2 . 2 2 (2 ) 2 2 14已知空间四边形 每条边和对角线长都等于 a，点 E、 F、 G 分别是 下列向量的数量积 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解析：在空间四边形 ， | | a， ， 60 ； (1) a 12(2)| a， | a， ， 60. 12(3)| 12a， | a，又 ， ， ， - 5 - 12 12(4)| | 12a， | a， ， ， 60. 12 1415正方体 E、 F 分别是 证： 平面 证明：证法一：设 a， c， b， 则 12( ) 12( ) 12( ) 12( a b c) a b， 12( a b c)( a b) 12( a b a c a b b c) |a|2， |b|2， 0.又 a c b c 0， 0， F . 而 平面 证法二：设正方体的棱长为 2，如图以 D 为原点建立空间直角坐标系， 则 A(2,0,0)， C(0,2,0)， ,2,2)， E(2,2,1)， F(1,1,2)， (1,1,2) (2,2,1) ( 1， 1,1)， - 6 - (0,2,2)， ( 2,2,0) 10 ( 1)2 12 0， ，同理 ， 即 平面 总结评述：证法一利用了向量之间的转化，重在逻辑推理，上面的证法二利用了向量的坐标运算，重点在于计算这两种方法是立体几何 中证明平行或垂直最常用的方法，都应予以掌握 16如图所示，直三棱柱 A B C 中， ， 90 ， D、 E 分别为 的中点 (1)求证： A D； (2)求异面直线 所成角的余弦值 解析： (1)设 a， b， c， 根据题意， |a| |b| |c|且 a b b c c a 0， b 12c， A D c 12b 12a. A D 12120. A D. (2) a c， | | 2|a|， | 52 |a|. ( a c)( b 12c) 1212|a|2， ， 12|a|22 52 |a|2 1010 . 异面直线 所成角的 余弦值为 1010 . - 1 - 2014 高考数学模块跟踪训练 简单几何体 一、选择题 (85 40 分 ) 1已知向量 a (1,1,0)， b ( 1,0,2)，且 b 与 2a b 互相垂直，则 k 的值是 ( ) A 1 案： D 解析： b k(1,1,0) ( 1,0,2) (k 1， k,2)， 2a b 2(1,1,0) ( 1,0,2) (3,2， 2) (k 1， k,2)(3,2 ， 2) 0， k 75，故选 D. 2已知点 A(2,3 ， 1 )关于 x 轴的对称点 A( ， 7， 6)，则 、 、 的值为 ( ) A 2， 4， 5 B 2， 4， 5 C 2， 10， 8 D 2， 10， 7 答案： D 解析：两个点关于 x 轴对称，那么这两个点的横坐标不变，而纵坐标和竖坐标均相差一个符号，也就是这两个点的纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有 2,7 (3 )， 6 ( 1 )，所以 2， 10， 7，应选 D. 3设点 C(2a 1， a 1,2)在点 P(2,0,0)、 A(1， 3,2)、 B(8， 1,4)确定的平面上，则 a 等于 ( ) A 16 B 4 C 2 D 8 答案： A 解析： ( 1， 3,2)， (6， 1,4)，根据共面向量定理，设 (x， y R)则 (2a 1， a 1,2) x( 1， 3,2) y(6， 1,4) ( x 6y， 3x y,2x 4y)， 2a 1 x 6y，a 1 3x y，2 2x 4y，解得 x 7， y 4， a 16. 4已知 A(2， 5,1)、 B(2， 2,4)， C(1， 4,1)，则向量 与 的夹角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案： C 解析：由已知得 (0,3,3)， ( 1,1,0) 所以 ， | 318 2 12， 所以向量 与 的夹角为 60 ，故选 C. 5 (2009 昆明质检 )如图，已知正四棱柱 ，侧棱长等于2， M 是 直线 M 所成角的余弦值为 ( ) A. 23 B. 22 C. 33 D. 32 - 2 - 答案： A 解析：建立坐标系如图，则 A(2,0,0)， ,2， 2)， C(0,2,0)， M(1,2， 2)， (0,2，2)， (1,0， 2)， 、 23 ，故选 A. 6正方体 ， E、 F 分别为 中点，则点 F 到平面 ( ) 10 10 答案： C 解析：取 ， ， 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，并连结 图所示， 则 ,0,1)， E(1,0， 12)， D(0,1,0)， F(12， 1,0)， ,1,1) (1,0， 12)， (0,1,0)， 设平面 一个法向量为 n (x， y， z)，则 n 0n 0，即 x 12z 0y 0，令 z 2，则 x 1. 平面 一个法向量为 n (1,0,2) 又 (12， 1， 1)， 点 F 到平面 距离 d | n|n| |12 2|5 3 510 . 7 (2009 江西， 9)如图所示，正四面体 顶点 A， B，C 分别在两两垂直的三条射线 ，则在下列命题中，错误 的为 ( ) - 3 - A O 正三棱锥 B直线 平面 直线 成的角是 45 D二面角 D A 的为 45 答案： B 解析： 如图， 正四面体， 等边三角形， 又 两垂直 面 过 O 作底面 垂线，垂足为 N， 连结 M， 由三垂线定理可知 M 为 中点， 同理可证，连结 P，则 P 为 点， N 为底面 心， O 正三棱锥，故 A 正确 将正四面体 入正方体中，如图所示，显然 面 平行，故选 B. 8平行六面体 1， 2， 3， 90 ， 60 ，则对角线 长为 ( ) A. 23 B. 17 C. 5 D. 11 答案： C 解析：由题意建立如图坐标系， 作 平面 由 得 22 . 分析可得 2， 32， 3 22 )， C(1,2,0) - 4 - (32 1)2 (32 2)2 (3 22 )2 5，故选 C. 二、填空题 (45 20 分 ) 9在空间直角坐标系 O ，给定点 P(2， 1,3)，若点 A 与点 P 关于 面对称，点 B 与点 P 关于 z 轴对称，则 | _. 答案： 2 14 解析：依题意，得知 A(2， 1， 3)， B( 2,1,3)，则 ( 4,2,6)， | 16 4 36 56 2 14. 10 (2009 安徽， 11)在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)， B(1， 3,1)，点 M 在 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是 _ 答案： (0， 1,0) 解析：设 M(0， y,0)，由 | | (1 0)2 (0 y)2 (2 0)2 (1 0)2 ( 3 y)2 (1 0)2，解得 y 1. M(0， 1,0) 11 (2009 台湾， 11)如图所示，正方体 棱长等于 2(即 | 2)， K 为正方形 中心， M、 N 分别为线段 中点试问下列选项是正确的序号为 _ (1) 12 12 12； (2) 1； (3) 3； (4) 一直角三角形； (5) 面积为 10. 答案： (1)(4) 解析：如图，建立空间直角坐标系 E (1， 1， 1， )， 12 12 12 12(2,0,0) 12(0,2,0) 12(0,0， 2) (1，1， 1)， - 5 - 12 12 12， (1， 1， 1)(2,0,0) 21. (1， 1， 1)， | | 33. | | 3， | 5， | 2|2 |2 |2， 直角三角形， 面积为 2 32 62 10. 故选 (1)(4) 12设 a， b 是直线， ， 是平面， a ， b ，向量 a 上，向量 b 上，(1,1,1)， ( 3,4,0)，则 ， 所成二面角中较小的一个为 _ 答案： 15 解析：由 b1| 1 ( 3) 14 1012 12 12 ( 3)2 42 0215 3315， 所以 ， 所成二面角中较小的一个为 15. 三、解答题 (410 40 分 ) 13 (2009 杭州名校联测 )如图，正三棱锥 P 4， 2， D 为 点，点 P 上，满足 3(1)建立适当坐标系，写出 A、 B、 D、 E 四点的坐标； (2)求异面直线 成的角 解析： (1)建立如图坐标系： O 为 重心，直线 z 轴，
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