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高中数学
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高中数学常用逻辑用语全套课件苏教版选修1,高中数学,常用,经常使用,逻辑,用语,全套,课件,苏教版,选修
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2017/5/2 四种命题及其关系 常用逻辑用语 “ 数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学 . 逻辑用语是我们必不可少的工具 . 通过学习和使用常用逻辑用语 ,掌握常用逻辑用语的用法 ,纠正出现的逻辑错误 ,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性 . 下列语句的表述形式有什么特点 ?你能判断它们的真假吗 ? (1)若直线 a b,则直线 (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 ; (4)若 ,则 x=1; (5)两个全等三角形的面积相等 ; (6)3能被 2整除 . 以上均为陈述句 ,(1)(3)(5)为真 ,(2)(4)(6)为假 . 命题的概念 一般地 ,在数学中 ,我们把用语言、符号或式子表达的 ,可以判断真假的陈述句叫做命题 . 其中判断为真的语句叫做真命题 ,判断为假的语句叫做假命题 . 例 1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集 ; (2)若整数 (3)指数函数是增函数吗？ (4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行 ; (5) ; (6)x15. (7)祝大家新年快乐！ 22 2 真命题 真命题 假命题 假命题 判断 一个语句是不是命题，关键判断： （ 1）是否为陈述句；（ 2）能否判断真假。 例 1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集 ; (2)若整数 (3)指数函数是增函数吗？ (4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行 ; (5) ; (6)x15. 22 2 上面 (2)(4)具有 “若 p,则 q”的形式 种形式的命题是常见的 . “若 p,则 q”也可写成 “如果 p,那么 q”“只要 p,就有 q”等形式 . 其中 件 ,论 . 例 2 指出下列命题中的条件 q; (1)若整数 整除 ,则 (2)若四边形是菱形 ,则它的对角线互相垂直且平分 . 有一些命题表面上不是“若 p,则 q”的形式 ,但可以改写成“若 p,则 q”的形式 ,例如 : 垂直于同一条直线的两个平面平行 . 解： (1)条件 p:整数 整除 ,结论 q：整数 (2)条件 p:四边形是菱形 ,结论 q：四边形的对角线互相垂直且平分 . 若两个平面垂直于同一条直线 ,则这两个平面平行 . 例 3 将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式 ,并判断真假 ; (1)垂直于同一条直线的两条直线平行 ; (2)负数的立方是负数 ; (3)对顶角相等 ; (4)等腰三角形两腰的中线相等 ; (5)偶函数的图像关于 (6)垂直于同一个平面的两个平面平行 . 下列四个命题中 ,命题 (1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系 ? (1)若 f(x)是正弦函数 ,则 f(x)是周期函数 ; (2)若 f(x)是周期函数 ,则 f(x)是正弦函数 ; (3)若 f(x)不是正弦函数 ,则 f(x)不是周期函数 ; (4)若 f(x)不是周期函数 ,则 f(x)不是正弦函数 ; 命题 (1)和 (2)叫做互逆命题 另一个叫做原命题的逆命题 . 如果原命题为 “若 p,则 q”,那么它的逆命题为 “若 q,则 p”. 原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢 ? 命题 (1)和 (3)叫做互否命题 另一个叫做原命题的否命题 . 如果原命题为 “若 p,则 q”, 那么它的否命题为 “若 p,则 q”. 原命题与其否命题的真假是否存在相关性呢 ? 命题 (1)和 (4)叫做互为逆否命题 另一个叫做原命题的逆否命题 . 如果原命题为 “若 p,则 q”, 那么它的逆否命题为 “若 q,则 p”. 原命题与其逆否命题的真假是否存在相关性呢 ? 原命题 ： 逆命题 ： 一、四种命题形式： 否命题： 逆否命题 ： 若 p则 q. 若 q则 p. 若 p 则 q. 若 q 则 p. 4123x A x A C a b A B 例 、 写 出 下 列 原 命 题 的 其 他 三 种 命 题 ，并 判 断 真 假 。（ ） 若 ， 则（ ） 在 中 ， 若 ， 则（ ） 正 偶 数 不 是 质 数1 x A B x A解 ： （ ） 逆 命 题 ： 若 ， 则x A x A B否 命 题 ： 若 ， 则x A B x A逆 否 命 题 ： 若 ， 则42 A B C a b A B 例 、 写 出 下 列 原 命 题 的 其 他 三 种 命 题（ ） 在 中 ， 若 ， 则A B C A （ 2 ） 逆 命 题 ： 在 中 ， 若 ，则A B C a 否 命 题 ： 在 中 ， 若 ，则A B C A 逆 否 命 题 ： 在 中 ， 若 ，则43例 、 写 出 下 列 原 命 题 的 其 他 三 种 命 题（ ） 正 偶 数 不 是 质 数解 ： （ 3 ） 原 命 题 ： 若 一 个 数 是 正 偶 数 ，则 这 个 数 不 是 质 数逆 命 题 ： 若 一 个 数 不 是 质 数 ， 则 这 个 数是 正 偶 数逆 否 命 题 ： 若 一 个 数 是 质 数 ， 则 这 个 数不 是 正 偶 数点拨：要正确表示四种命题首先把条件和结论显化 四种命题之间真假关系： 否命题 的真假性 相同 . 20 , 0m x x m 例 5 、 写 出 下 列 原 命 题 的 其 他 三 种 命 题（ 4 ） 若 则 方 程 无 实 数 根 。2 0,0x x 解 ： （ 4 ） 逆 命 题 ： 若 方 程 无 实 数 根则 。20 , 0m x x m 否 命 题 ： 若 则 方 程 有 实 数 根 。2 0 , 0x x m m 逆 否 命 题 ： 若 方 程 有 实 数 根 则 。二、四种命题间的相互关系： 原命题 若 p则 q 逆命题 若 q则 p 否命题 若 p 则 q 逆否命题 若 q 则 p 互逆 互逆 互否 互否 说明： 四种命题的关系相对的 221 2 3 52,3x y x yx y N x b ac 例 6 、 写 出 下 列 原 命 题 的 其 他 三 种 命 题 ，并 判 断 真 假（ ） 若 且 ， 则（ ） 设 ， 若 是 偶 数 ，则 都 是 偶 数（ ） 若 ， 则000 ，则变形：若点拨：正难则反，看逆否命题 正面叙述的词语及其否定 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 至少有两个 一个也没有 存在 某些 或 且 用反证法证明命题的一般步骤： （ 1） 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（ 2） 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾 ； （ 3） 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 . 理论根据： 原命题与其逆否命题的等价性 . 三、反证法 例 7 证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 . A B C D 已知： 在 ，且 求证： 弦 平分 证明： 假设弦 平分， 则 B、 中点， 连接 由垂径定理的推论，可得： 这与“在平面上过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾 . 弦 平分 . 想一想？ （ 2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。 （ 1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。 总结： 练一练 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） ）个。 答： 0个、 2个、 4个。 如：原命题：若 A B=A, 则 AB=。 逆命题：若 AB=，则 A B=A。 否命题：若 A BA，则 AB。 逆否命题：若 AB，则 A BA。 （假） （假） （假） （假） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错） 课堂小结 让我想一 想 原命题 ： 逆命题 ： 否命题： 逆否命题 ： 若 p则 q. 若 q则 p. 若 p 则 q. 若 q 则 p. 3、四种命题形式： 1、命题的概念 2、能指出命题的条件和结论 1、命题： 可以判断真假的陈述句，可写成：若 p则 q。 小 结 作 业 复 习 新 课 复习引入 原命题 若 p则 q 逆命题 若 q则 p 否命题 若 p 则 q 逆否命题 若 q 则 p 互逆 互逆 互否 互否 2、四种命题间的相互关系： 练一练 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） ）个。 答： 0个、 2个、 4个。 如：原命题：若 A B=A, 则 AB=。 逆命题：若 AB=，则 A B=A。 否命题：若 A BA，则 AB。 逆否命题：若 AB，则 A BA。 （假） （假） （假） （假） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错） 例 1 判断下列命题是真命题还是假命题 ? （ 1）若 xa2+ x2 （ 2）若 ，则 a=0。 （ 3）有两角相等的三角形是等腰三角形。 （ 4）若 a2 ab。 小 结 作 业 复 习 新 课 复习引入 (1)、（ 3）为真命题。 （ 2）、（ 4）为假命题。 如果命题“若 p则 q”为真，则记作 p q（或 q p）。 小 结 作 业 复 习 新 课 新课 定义 :如果 ,则说 p是 q是 2、 下列“若 p，则 q” 形式的命题中，哪些命题中的 p是 (1)若 x=1,则 =0; (2)若 f(x)=x,则 f(x)在 (-,+) 上为增函数 ; (3)若 则 . 新课 解 :命题 (1)(2)是真命题 ,命题 (3)是假命题 . 所以 ,命题 (1)(2)中的 p是 复 习 小 结 作 业 新 课 例 3、下列“若 p，则 q” 形式的命题中，哪些命题中的 q是 (1)若 x=y,则 x2=(2)若两个三角形全等 ,则这两个三角形的面积相等 ; (3)若 ab,则 ac新课 复 习 小 结 作 业 新 课 解 :命题 (1)(2)是真命题 ,命题 (3)是假命题 . 所以 ,命题 (1)(2)中的 q是 如果命题“若 p则 q”为假，则记作 p q。 如果命题“若 p则 q”为真，则记作 p q（或 q p）。 小 结 作 业 复 习 新 课 新课 则说 a c b c a b如 ，a c b c a ba c b c a b所 以 不 是 的 充 分 条 件 ，不 是 的 必 要 条 件 。 p q，相当于 P q ，即 P q 或 P、 q 从集合角度理解： 新课 q,也就是说条件 q是 必须具备的前提。 q q p根 据 四 种 命 题 之 间 的 关 系 ， 命 题 “ ”的 逆 否 命 题 也 是 真 命 题 。 这 就 是 说 ， 如 果不 成 立 ， 那 么 也 不 成 立 。 也 就 是 说 ，若 成 立 ， 则 必 须 成 立 。 所 以 说 是 的必 要 条 件 。例 4、 判断下列命题中前者是后者的什么条件？ （ 1）若 ab,cd，则 a+cb+d。 （ 2） 0的解集为 R，则 0 ab。 复 习 小 结 作 业 新 课 (1) p q , q p (2) p q , q p (3) p q , q p 前者是后者的充分不必要条件 。 前者是后者的必要不充分条件。 前者是后者的既不充分也不必要条件。 新课 例 5 、 判断下列问题中， p是 p q （ 1） 3） x0或 y0 (1)、 (2) p q， q p （ 3） p q， q p （原问题 q p） 复 习 小 结 作 业 新 课 新课 如果 “若 p , 则 q ”是真命题 , 且它的逆命题也是真命题即 且 , 我们 就 说 , p 是 分 必要 条件 , 简称 充要条件 . 记为 显然 , 如果 p 是 q 的充要条件 , 那么 q 也是 p 的充要条件 . 概括地说 , 如果 , 那么 p 与 q 互为充要条件 . 注 : 1 . “ p 是 q 的充要条件 ” 也说成 “ p 与 q 等价” 、 “ p 当且仅当 q ”等 . 2. 充要条件是非常好的一种条件 , 因为可以相互等价转化 . 游数玩形 , 妙在转化 ! 对于 充要条件 的推敲 , 是我们玩耍数学的一 个 重要方向 . 充分 不必要条件 (p q p q 且 緌) 必要 不充分 条件 (p q p q且縬) 既不充分也 不必要条件 (p q p q) 充要条件 ( 按“充分、必要”把条件分类，可以分为四种类型： 例 2填表 课堂练习 1: p q p是 q是 5x 3 且 0)(1( 1 m， 奇数 m+充分不必要 必要不充分 充分不必要 必要不充分 充分不必要 必要不充分 必要不充分 充分不必要 充分 必要 必要 充分 充分不必要 必要不充分 必要不充分 充分不必要 课堂练习 2 : 1 . 在下列电路图中 , 开关 A 闭合 是 灯泡 B 亮的什么条件 : 如图 所示 , 开关 A 闭合 是 灯泡 B 亮的 _ _ _ _ _ 条件 ; 如图 所示 , 开关 A 闭合 是 灯泡 B 亮的 _ _ 条件 ; 如图 所示 , 开关 A 闭合 是 灯泡 B 亮的 _ _ 条件 ; 如图 所示 , 开关 A 闭合 是 灯泡 B 亮的 _ _ 条件 . 继续 1 继续 2 充分不必要 必要 不 充分 充 要 既 不充分 也不 必要 练习 : 1. 设甲、乙、丙是三个命题 , 如果甲是乙的必要条件 ;丙是乙的充分条件 , 那么 ( ) (A ) 丙是甲的充分条件 (B ) 丙是甲的充分条件 , 但不是甲的必要条件 (C ) 丙是甲的充要条件 (D ) 丙不是甲的充分条件 , 也不是甲的必要条件 A 已知 : O 的半径为 r , 圆心 O 到直线 l 的距离为 d . 求证 : 是直线 l 与 O 相切的充要条件 . 分析 : :p , q : 直线 l 与 O 相切 . 分别证明 , 各个击破即可 ! 要证 p 是 q 的充要条件 , 就是要证明两个命题成立 : 充分性 ( ) ; 必要性 ( ) 7.O r O l 已 知 ： 的 半 径 为 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ，求 证 ： d=r 是 直 线 与 相 切 的 充 要 条 件.(1 )( ) .( 2 ) :() P O O P r P lO l d O P 证 明 ： 如 图 ， 作 点 P ， 则 若 d=r, 则 点 P 在 上 线 上 任 取 一 点 异 于 点 ， 连 接则 所 以 ， 除 点 外 直 线 上 的 点都 在 的 外 部 ， 即 直 线 与 仅 有 一 个公 共 点 P. 所 以 直 线 与 相 切若 直 线 与 相 切 ，不 妨 设 切 点 为 P ， 则 充 分 性 ( p q )必因 此要 性复 习 小 结 作 业 新 课 认清条件和结论。 考察 p q和 q 可先简化命题。 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 否定一个命题只要举出一个反例即可。 6 判别步骤： 7 判别技巧： 判别充分与必要条件问题的 新课 如果已知 p q，则说 p是 q是 认清条件和结论。 考察 p q和 q 可先简化命题。 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 否定一个命题只要举出一个反例即可。 定 义： 判别步骤： 判别技巧： 新 课 复 习 作 业 小 结 小结 复习与回顾 1.若 p则 ，记作 _; 2. p是 。 p是 。 p是 。 p是 。 若 p则 ，记作 _. 且 且)( 且 且课本 P 8 习题 1、 2、 3、 4。 新 课 复 习 小 结 作 业 作业 2017年 5月 2日星期二 请大家观察下列几个命题 : (3)10可以被 2或 5整除 . (4)菱形的对角线互相垂直 且 平分 . (5)数 . “或 ” ,“且 ” , “非 ” 称为逻辑联结词 合命题 ,不含逻辑联结词的命题称为 简单命题 . （ 1）负数的平方是正数； （ 2）正方形的四条边相等 思考 ? 下列三个命题间有什么关系 ? (1)12能被 3整除 ; (2)12能被 4整除 ; (3)12能被 3整除且能被 4整除 . 一般地 ,用逻辑联结词 “ 且”把命题 就得到一个新命题 ,记作 作“ 规定 :当 p, 是真命题 ;当 p, 是假命题 . pq假必假 p q 例 1 将下列命题用“且”联结成新命题 ,并判断它们的真假 : (1)p:平行四边形的对角线互相平分 ,q:平行四边形的对角线相等 . (2)p:菱形的对角线互相垂直 ,q:菱形的对角线互相平分 . 例 2 用逻辑联结词“且”改写下列命题 ,并判断它们 的真假 : (1)1既是奇数，又是素数 ; (2)3既是正数，又是奇数。 思考 ? 下列三个命题间有什么关系 ? (1)27是 7的倍数 ; (2)27是 9的倍数 ; (3)27是 7的倍数或是 9的倍数 . 一般地 ,用逻辑联结词“或”把命题 就得到一个新命题 ,记作 规定 :当 p,时 , 是真命题 ;当 p,假命题时 , 是假命题 . pqpqpqp q 当 p, 是真命题 ;当 p, 是假命题 . pq关 p,则整个电路的接通与断开分别对应命题 的真与假 . 真必真 例 3 判断下列命题的真假 (1)2 2; (2)集合 的子集或是 的子集 ; (3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等 . 如果 为真命题 ,那么 一定 是真命题吗 ?反之 ,如果 为真命题 , 那么 一定是真命题吗 ? pqpqpq思考 ? 下列命题间有什么关系 ? (1)35能被 5整除 ; (2)35不能被 5整除 . 一般地 ,对一个命题 就得到一个新命题 ,记作 若 则 必是假命题 ;若则 必是真命题 . ppp读作”非 p”或” 你真我假 “非 ” 命题对常见的几个正面词语的否定 . 正面 = 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定 不是 不都是 至少有 两个 没有一 个 某个 某些 例 4 写出下列命题的否定 ,并判断它们的真假 : s i 1 ） p ： 是 周 期 函 数 ；（ 2 ） p ： 30且 x1; 至少有一次击中飞机恰有一次击中飞机；）两次都没击中飞机两次都击中飞机；（命题”、“非”表示下列及联结词“或”、“且以，试用是“第二次射击击中”命题是“第一次射击击中”射击了两次，设命题游戏中，小李连续、在一次模拟打飞机的例)4()3(2)1(:42121逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集” ,它与日常用语中的“或”的含义不同 ”是两个中任选一个 ,不能都选 ,而逻辑联结词中的“或” ,可以是两个都选 ,但又不是两个都选 ,而是两个中至少选一个 有三种可能的情况 . 逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“交集” ,即两个必须都选 . 对逻辑联结词或、且、非含义的理解 或 且 非 并集 交集 补集 两者至少有一个 两者同时兼有 否定 小结归纳 含逻辑联结词“且”“或”的命题真假的判断 :确定形式 判断真假 判断 p且 一假必假 判断 p或 一真必真 假相反 生活小逻辑 王惠，张红，李欣同学中的一位在放学后把教室打扫干净了，事后，老师问他们三个人是谁做的好事。王惠说： “ 是李欣做的 ” ；李欣说： “ 不是我做的 ” ；张红说： “ 不是我做的 ” 。已知只有一个人说的是实话，你能判断是谁做的吗？ 称量词与存在量词 2017年 5月 2日星期二 考： 下列语句是命题吗？ (1)与 (3)， (2)与 (4)之间有什么关系？ (1)x3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的 x R， x3； (4)对任意一个 x Z， 2x+1是整数 。 语句 (1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句 (3)(4)可以判断真假，是命题。 全称量词、全称命题定义： 短语 “ 所有的 ”“ 任意一个 ” 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “ ” 表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等 。 全称命题举例： 全称命题符号记法： 命题：对任意的 n Z， 2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。 通常，将含有变量 p(x), q(x), r(x), 表示，变量 x 的取值范围用 么， ( ) ,x M p x ，全称命题“对 x，有 p(x)成立 ”可用符号简记为： 读作“对任意 ，有 p(x)成立”。 解： （ 1）假命题； 例 1 判断下列全称命题的真假： （ 1） 所有的素数都是奇数； （ 2） （ 3）对每一个无理数 x， 小 结： 判 断 全 称 命 题 x M , p ( x ) 是 真 命 题 的 方 法 ：判 断 全 称 命 题 x M , p ( x ) 是 假 命 题 的 方 法 ： 需要对集合 x，证明 p(x)成立 只需在集合 得 p(成立即可 （举反例） （ 2）真命题； （ 3）假命题。 练习： 1 判断下列全称命题的真假： （ 1）每个指数函数都是单调函数； （ 2）任何实数都有算术平方根 ； （ 3） 考： 下列语句是命题吗？ (1)与 (3)， (2)与 (4)之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)和 3整除； (3)存在一个 R，使 2x+1=3； (4)至少有一个 Z， 和 3整除。 语句 (1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句 (3)(4)可以判断真假，是命题。 存在量词、特称命题定义： 短语 “ 存在一个 ”“ 至少有一个 ” 在逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号 “ ” 表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 。 特称命题举例： 特称命题符号记法： 命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。 通常，将含有变量 p(x), q(x), r(x), 表示，变量 x 的取值范围用 么， 00 ( ) ,x M p x ，特称命题“存在 p(立 ”可用符号简记为： 读作“存在一个 ，使 p(立”。 解： （ 1）假命题； （ 2）假命题； （ 3）真命题。 例 2 判断下列特称命题的真假： （ 1）有一个实数 =0； （ 2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （ 3）有些整数只有两个正因数。 小 结： 00判 断 特 称 命 题 x M , p ( x ) 是 假 命 题 的 方 法 ： 需要证明集合 p(x)成立的元素 只需在集合 得 p(成立即可 （举例证明） 练 习： 2 判断下列特称命题的真假： （ 1） （ 2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （ 3） 00, 0 ;x R x 解： （ 1）真命题； （ 2）真命题； （ 3）真命题。 练习 （ 1）存在这样的实数它的平方等于它本身。 （ 2）任一个实数乘以 （ 3）存在实数 x， 3、用符号“ ”与“ ”表达下列命题： 小结： 2、全称命题的符号记法。 1、全称量词、全称命题的定义。 3、判断全称命题真假性的方法。 4、存在量词、特称命题的定义。 5、特称命题的符号记法。 6、判断特称命题真假性的方法。 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法： 命题 全称命题 特称命题 所有的 x M， p(x)成立 对一切 x M， p(x)成立对每一个 x M， p(x)成 立 任选一个 x M， p(x)成 立 凡 x M，都有 p(x)成立 存在 M，使 p(x)成立至少有一个 M，使 p(x)成立 对有些 M，使 p(x)成 立 对某个 M，使 p(x)成 立 有一个 M，使 p(x)成 立 , ( )x M p x 0 , ( )x M p x表述方法 作业 1、 、 2、 3题。 2、设 a、 b、 证：方程 bx+c=0， cx+a=0， ax+b=0中至少有一个有实数根。 含有一个量词的命题的否定 2017年 5月 2日星期二 全称命题 “对 x,有 p(x)成立” 符号简记为： xM,p(x) 读作：对任意 ，有 p(x)成立 集合 复习回顾 特称命题“存在 x,使 p(x)成立” 符号简记为： xM ,p(x) 读作：“存在一个 ，使 p(x)成立” 含有全称量词的命题，叫做全称命题 含有存在量词的命题，叫做特称命题 要判定全称命题“ xM, p(x) ” 是真命题， 判断全称命题和特称命题真假 要判定特称命题 “ xM, p(x)” 是真命题， 复习回顾 需要对集合 每个元素 x, 证明 p(x)成立；如果在集合 得 p(成立，那么这个全称命题就是假命题 只需在集合 ,使 p( )成立即可，如果在集合 p(x)成立的元素 特称命题是假命题 0设 p:“平行四边形是矩形” (1)命题 (2)请写出 命题 (3)判断 命题的否定的真值与原来的命题 . 而否命题的真值与原命题 . 相反 无关 矛盾 设 p:“平行四边形是矩形” 情景一 你能否用学过的“全称量词和存在量词”来解决上述问题 可以在“平行四边形是矩形”的前面加上全称量词，变为 p:“所有的 平行四边形 是 矩形” p:“ 并非所有 的平行四边形都是矩形 ” 也就是说， p : “存在 一个 平行四边形 不是 矩形” 假命题 真命题 （平行四边形 不都是 矩形） 情景二 对于下列命题： 1)所有的人都喝水； 2)每一个素数都是奇数 3)对所有实数都有 。 0| a尝试对上述命题进行否定，你发现有什么规律？ 想一想？ 定”。词，“肯定”变为“否为存在量题否定后，全称量词变“有的人不喝水”。命，的人都喝水”，换言之）的否定为“并非所有命题（ 12, （ ） 的 否 定 为 “ 并 非 每 一 个 素 数 都 是 奇 数 ”即 “ 每 一 个 素 数 都 是 奇 数 ” 命 题 否 定 后 ， 全 称量 词 变 为 存 在 量 词 ， “ 肯 定 ” 变 为 “ 否 定 ” 。30 , 0 a a命 题 （ ） 的 否 定 为 “ 并 非 对 所 有 的 实 数 ， 都 有” 即 “ 存 在 实 数 ， 使 ”含有一个量词的全称命题的否定 ,有下面的结论 x M , p ( x )全称命题 :p x M , p ( x )例 1 写 出 下 列 全 称 命 题 的 否 定 ：1 ） p : 所 有 能 被 3 整 除 的 整 数 都 是 奇 数 ； 23 ） p : 对 任 意 x Z ， x 的 个 位 数 字 不 等 于 3 。从形式看，全称命题的否定是特称命题。 新课讲授 2 ） p : 每 一 个 四 边 形 的 四 个 顶 点 公 圆 ；共 情景二 对于下列命题： 存在有理数，使 ； 有些实数的绝对值是正数。 022 x尝试对上述命题进行否定，你发现有什么规律？ 想一想？ 22, 2 0 , 2 0 命 题 （ 1 ） 的 否 定 为 “ 并 非 存 在 有 理 数 使 ”即 “ 对 所 有 的 有 理 数 ” 命 题 否 定 后 ， 存 在量 词 变 为 全 称 量 词 ， “ 肯 定 ” 变 为 “ 否 定 ” 。3, （ ） 的 否 定 为 “ 没 有 一 些 实 数 的 绝 对 值是 正 数 ” 即 “ 所 有 实 数 的 绝 对 值 都 不 是 正 数 ”从形式看 ,特称命题的否定都变成了全称命题 . 含有一个量词的特称命题的否定 ,有下面的结论 x M , p ( x )特称命题 :p x M , p ( x )0x 2例 2 出 下 列 特 命 的 否 定 ：1） p : R , x + 2 x + 3 ；2 ） p : 有 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 ；3 ） p : 有 一 个 素 数 含 有 三 个 正 因 子 。写 称 题 问题讨论 写出下列命题的否定形式 (1)q：四条边相等的四边形是正方形 (2)r：奇数是质数 解答 (1)q：四条边相等的四边形不是正方形 (2)r：奇数不是质数 以上解答是否错误，请说明理由 注：非 “非 p”绝不是“是”与“不是”的简单 演绎。因注意命题中是否存在“全称量词”或“特称量词” 例 2 写 出 下 列 命 题 的 否 定 ， 并 判 断 真 假 ：1 ） p : 任 意 两 个 等 边 三 角 形 都 是 相 似 的 ；x 22 ） p : R , x + 2 x + 2 = 0 ；变式练习 巩固训练 小结 ”。”的否定为“”的否定为“一般地，我们有：)(,)(,)(,)(,含有一个量词的命题的否定 结论：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 江苏省沭阳县修远中学 陈永和 说 课 布鲁纳 :知识的获得是一个主动过程 . 学习者不是信息的被动接受者 ，而是知识获取的主动参与者 . 设 计 依 据 与 理 念 数学课程标准 :数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点 . 3 题等价或非等价转化 四种命题 逻辑联结词 充分、必要、充要条件 地位和作用 教材整合 第一课时： 完成三个定义的学习及 初步运用； 第二课时： 进行应用拓展训练 . 学生原因： 理顺知识间的逻辑联系，让学生在比较、识别中把握三个概念的内涵 . 教材原因： 学生整体素质较好 . 充分条件、必要条件、充要条件概念的理解； 判断给定命题的条件与结论之间的关系 . 教学重点 ： 教学难点 ： 在 中 q 是 要条件的理解； 如何判断 判断命题条件与结论间关系时，条件 究式教学法 教学方法 形成概念 理解概念 深化概念 小结作业 逆向思维探究 感知概念 师生互动探究 教学 手段 多媒体辅助教学 教学目标： 知识与技能： 初步理解三个概念；基本掌握判断充要关系的方法与步骤 . 情感 、 态度与价值观： 培养学生思维的严谨性；激发学生学习数学的热情 . 形成概念 理解概念 深化概念 感知概念 命题的分析 实例探究 集合角度 实例构造 过程与方法： 10 解概念 形成概念 感知概念 深化概念 小结作业 答 : p ： 小明是广州人 ， q ： 小明是中国人 p ： x 5 ， q ： x 0； p ： q ： x = y； p ： AB=A， q ： A B； p ： a b ， q ： 判断下列 “ 若 p则 q” 形式命题的真假， 并研究其逆命题的真假 . 理解概念 形成概念 感知概念 2. 写出 的逆否命题，并判断真假 . 感知概念 深化概念 小结作业 答 : 原命题 逆命题 真 假 真 假 假 真 真 真 假 假 小明不是中国人就一定不是广州人 （ ） 若 则 2. 理解概念 形成概念 感知概念 感知概念 深化概念 小结作业 问题： 能否改变 中的条件 p，使 结论 出课题 p： 小明是广州人 ， q： 小明是中国人 理解概念 形成概念 感知概念 感知概念 深化概念 小结作业 让学生阅读教材 34页第一段 ,用 “ ”和 “ ” 符号表示题组 1中的原命题与逆命题 . 答 : 理解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 原命题 逆命题 (真 ) (假 ) (真 ) (假 ) (假 ) (真 ) (真 ) (真 ) (假 ) (假 ) 师生互动探究活动 pqpqqpqp在 、 、 中 ， ， 即只要有条件 p 就一定能 “ 充分 ” 保证 q 成立 ， 这时称 p是 理解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 p ： 小明是广州人 q ： 小明是中国人 p ： x 5 ， q ： x 0； p ： q ： x = y； p ： AB=A ， q ： A B； p ： a b ， q ： ： 小明是广州人 ： 小明是中国人 ： ， ： ； ： ， ： ；理解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 p ： 小明是广州人 q ： 小明是中国人 p ： x 5 ， q ： x 0； p ： q ： x = y； p ： AB=A ， q ： A B； p ： a b ， q ： ： 小明是广州人 ： 小明是中国人命题 ,根据逆否命题 , 即如果没有 就一定没有 必须要有 ”的条件 ,称 要条件 . 如果 ，那么 p是 q 成立的充分条件，同时， 分、必要条件定义 ： 理解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 探究问题： 尝试初步运用 探究结论： 因此要判断是否有 或 . qp 如果 p是 要 条件？那么应该有 还是 如何判断 p是 解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 原命题 逆命题 (真 ) (假 ) (真 ) (假 ) (假 ) (真 ) (真 ) (真 ) (假 ) (假 ) 充分非必要 充分非必要 必要非充分 既充分又必要 非充分非必要 p是 q是 既充分又必要理解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 p ： 小明是广州人 ， q ： 小明是中国人 p ： x 5 ， q ： x 0； p ： q ： x = y； p ： AB=A ， q ： A B； p ： a b ， q ： pqqpqppq如果 同时又是 称 p是 q 的充分必要条件 ,简称 充要条件 . 记作： 要条件定义 理解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 原命题 逆命题 (真 ) (假 ) 充分非必要条件 (假 ) (真 ) 必要非充分条件 (真 ) (真 ) 充要条件 (假 ) (假 ) 既非充分又非必要 归纳总结 pqqpqp解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 A B 的什 么条件 的什么条件 两个角相等 两个角是对顶角 ab ab x A且 x B x AB a0 的倍数 的倍数 例 1： 判别步骤： ) 认清条件和结论 . ) 考察是否有 A A 即原命题与逆命题的真假 理解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 图 1 例 2： A C 开关 理解概念 形成概念 感知概念 形成概念 深化概念 小结作业 逆向思维探究活动 理解概念 形成概念 感知概念 理解概念 深化概念 小结作业 发散练习 1： 参照例 2 设计两组电路图 ， 满足开关 参考设计： 图 2 A C 参考设计： 图 3 A 理解概念 形成概念 感知概念 理解概念 深化概念 小结作业 理解概念 形成概念 感知概念 理解概念 深化概念 小结作业 练习 2： 举出生活中或数学知识中符合充分条件或必要条件关系的实例 . 1. 用图形可以表示为： 或 2. 用图形可以表示为： ” 就 是 “ ” ”Q P P、 Q P、 Q x P x Q “ ”即 “ P =Q”， 理解概念 形成概念 感知概念 深化概念 小结作业 深化概念 探究问题： 探究结论： ”, 如何用集合间的关系理解 的含义？ x1 的一个充分不必要条件是 （ ） A. ； B. x3 ; C. ； D. x0 ； B 分析： 确定谁是定义中的条件 p 利用集合思想画数轴解决问题 例 3： 理解概念 形成概念 感知概念 深化概念 小结作业 深化概念 要、充要条件的概念 ; ) 认清条件和结论 . ) 考察是否有 p q 和 q p 即原命题与逆命题的真假 小结： 理解概念 形成概念 感知概念 深化概念 小结作业 小结作业 教材 1、 2、 3 作业： 已知 是 的充要条件 ， 的必要 条件同时又是 的充分条件 ， 试确定 与 的关系 . 理解概念 形成概念 感知概念 深化概念 小结作业 小结作业 s 分析： 32 pq 分条件与必要条件 一 三 二 34 观察法评价 、 操作性评价 评价方式： 四 种 命 题 由哪几部分构成的？ 什么叫原命题的逆命题？ 3. 初中内容：原命题与逆命题 你能举出一个例子吗？ 什么叫原命题？ 四种命题之间有何关系？ 逆否命题： 原命题： 同位角相等，两直线平行。 两直线平行，同位角相等。 逆命题： 同位角不相等，两直线不平行。 否命题： 两直线不平行，同位角不相等。 四种命题之间的 关系 原命题 若 p则 q 逆命题 若 q则 p 否命题 若非 否命题 若非 p 互逆 互否 互否 互逆 、 互否命题： 如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。 、 互为逆否命题： 如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。 、 互逆命题： 如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。 三个 概念 例题 1、把下列各命题写成“若 ”的形式： （ 1）正方形的四边相等。 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 分线上 , 则它到这条线段两端点的距离相等。 （ 2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 2、分别写出下列各命题的 逆命题 、 否命题和逆否命题 ： （ 1）正方形的四边相等。 逆命题： 如果一个四边形四边相等，那么它是正方形。 否命题： 如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。 逆否命题： 如果一个四边形四边不相等，那么它不是正方形。 原命题： 如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。 2、分别写出下列各命题的 逆命题、否命题和逆否命题： （ 1）正方形的四边
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