高中数学：《三角函数的诱导公式》课件（精品打包共九套）（苏教版必修4）
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高中数学：《三角函数的诱导公式》课件（精品打包共九套）（苏教版必修4）,高中数学,三角函数,诱导,引诱,公式,课件,精品,打包,共九套,苏教版,必修
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新课导入 6s 6c o s613s 613c o s )6s )6c o s (65s 65c o s 67s 67c o s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 角的终边关于 轴对称、 轴对称、原点对称三角函数值之间有何关系呢？ x 的终边角 的终边 轴对称 、)s c o s P )s c Q s i ns i n c t a nt a n 如图： ， 思考： 与 角终边有什么关系？ 轴对称 、 s i n)s i n ( c o s)c o s ( t a n)t a n( ， ） )6s )6c o s ( _ _ 练习： 2123角的终边关于 轴对称 、)s c o s P )s c Q s i ns i n c t a nt a n 如图： ， 的终边角 的终边 思考： 与 角终边有什么关系？ 角的终边关于 轴对称 、 s i n)s i n( c os)c t a n)t a n( ， ） 65c o s _ _ 2165s 练习： 23角的终边关于原点对称 、)s c o s P )s c Q s i ns i n c t a nt a n 如图： ， 的终边角 的终边 思考： 与 角终边有什么关系？ 角的终边关于原点对称 、 s i n)s i n ( c os)c t a n)t a n( ， 公式（四） 练习： 67s 67c o s _ _ 2321函数名不变，符号看象限 的三角函数值等于 的同名三角函数值，前面加上一个把 看成锐角时原三角函数值的符号。 公式如何记忆？ ,2 例 34411c )1 5 6 0t a n ( 233s i n)3s i n (34s i n 224co s)4co s (43co s)432co s (411co s )1203604t a n (1 5 6 0t a n)1 5 6 0t a n ( 360t 0180t 120t 解： 例 1表明，利用上面的公式可将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。 小结：解题步骤 用公式二或一 用公式一 0 2 用公式三或四任意 负角 的三角函数 任意 正角 的三角函数 的角 的三角函数 锐角 的三角函数 练习： )316s )2040c o s ( 2321例 2 (1)化简： )180c o s ()180s i n()360s i n()180c o s (2)证明： t a n)5s i n (c o s)6c o s ()2s i n ()2t a n ( 例 3：判断下列函数的奇偶性： c s i n)( 解： 因为函数 的定义域为 ，且 )(c o s1)c o s (1)( 所以 是偶函数。 )()( 的定义域为 ，且 所以 是偶函数。 )()()s i n()s i n()s i n ()()(断奇偶性 |s ( c i n)( 课堂小结 值、化简、证明）； 一、基本内容： 二、思想方法： 三角函数的 复习回顾 1 任意角的三角函数值定义： ),( t o ss 终边相同的角的表示： ,2 复习回顾 2 任意角的三角函数值定义： )s c 1co s,1s i 时 三角函数值在各象限的符号： O xy 复习回顾 4 _3t i n求值：23213问题情境 37c o s问题 :求出 的值。 思考 1：请同学们观察， 与 的余弦值有什么关系？ 37思考 2：为什么会有这样的关系？ 思考 3：这种余弦值相等的结论能推广到任意角吗？ 思考 4：如何用数学语言来表述这个结论？ 思考 5：“终边相同的角的余弦值相等”能推广到其它三角 函数值吗？ 新知探究 问题：求出 的值。 )3s 思考 1： 与 的正弦值有什么关系？ 3思考 2：它们的终边又有怎样的关系？ 思考 4：正弦值的关系能推广到任意角 吗？ 思考 5：终边关于 轴对称的其他三角函数值有何关系？ ： 与 的终边的对称关系能推广到任意角 吗？ 33新知探究 思考 6：正切值的关系如何得出？ t a nc o ss i n)c o s ()s i n ()t a n ( 转化化归思想 合作探究 活动 1、请同学们研究 与 之间的三角函数值的关系。 活动 2、请同学们研究 与 之间的三角函数值的关系。 合作探究 思考：公式四可以由公式二、三推出吗？ s i n)s i n ()(s i n ()s i n (公式二、三、四可以互推 转化化归 知识运用 角度 函数名 1366567例 5、请同学们完成下列表格： 212333212333212333212333 212333知识运用 思考 1：观察表格的每一行，同学们看看什么不完全相同，什么完全相同？ 绝对值相等，符号不完全相同。 思考 2：符号由什么确定？ 角的终边所在象限。 思考 3：若我们将诱导公式中的角 视为 锐角，我们可以发现什么规律？ 作锐角，函数名不变，符号看象限 知识运用 例 6、求值 ： )316s i n (知识运用 思考：为什么把这个公式称为诱导公式？ 因为诱导公式的作用在于把求任意角的三角函 数值问题一直诱导到变为求锐角的三角函数值 问题。 化未知为已知 课堂反馈练习 311t a n)2(225c o ）（求值： 课堂小结 1、如何记忆公式？ 2、求任意角三角函数值的步骤？ 3、在我们探究公式的过程中，主要运用了哪些策略与方法？ 数形结合 由特殊到一般 转化化归 先猜想再证明 课后作业 必做： 20 习题 1、 2、 3 选做：思考题：已知 ， 其中 为第三象限角， 求 31)75c o s ( o)1 0 5c o s ()1 0 5c o s ( 0 o 敬请指导 敬请指导三角函数的诱导公式 （一） 填写下列表格 : 9030 750 330边相同的角的 同一 三角函数 值相等 根据表格中数据，你能推广得到一般结论吗？ 问题情境 学生探究 它们的三角函数值具有怎样的关系呢？ y x O 点对称，你能否得到类似的公式呢？ y x O 学生探究 的终边角 y x O 的终边角 的终边角 的终边角 诱导公式 )Zk(t a n)2k(t a n)Zk(c o s)2k(c o s)Zk(s k(s （公式一） si n si nc os c n ta n （公式二） os c n ta n （公式三） o s c o n ta n （公式 四 ） 建构数学 方法： ， ， ， 的 三角函数值等于 的同名函数值，前面加 上一个把 看成锐角时原函数值的符号。 求值 ： 数学应用 413c ( )1560ta n ()2( 诱导 公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤： 任意负角的 三角函数 锐角三 角函数 02角的 三角函数 任意正角的 三角函数 公式一或二 公式一 公式三或四 问题思考 ，你能推导出公式四吗？ 、四中的任意两组公式， 你能推导出另外一组公式吗？ 1、四组诱导公式的发现、推导过程； 2、利用诱导公式可将求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。 回顾小结 3、本课运用了：问题转化、数形结合、特殊到一般、一般到特殊等数学思想。 1、课本第 23页 习题 13， 14 2、补充： )t a n ()5c o s ()s 1 ）化简：（)()1c ()1s ()c )s :,2选做题化简）设（考题： 根据公式二、三、四中的任意两组公式推导另外一组公式。 课外作业 例 2 判断下列函数的奇偶性： s i n)()2(c o 1 ）（数学应用 _ _ _ _ _ _1020t a n)4(_)750s i n ()3(_ _ _ _ _ _ _ _ _67c o s)2(_ _ _ _ _ _)4s i n ()1(求值： 2223213 动动手： 请用单位圆中有向线段的数量来表示 30s i n 和 3 9 0s i n 。 终边相同角的同一三角函数值相等。 考考你： 你能提炼为一般性的公式吗？ 一个角的终边除了与角 终边相同之外，还有哪些相对特殊的位置关系呢？ 你知道吗？ s i n s i nc o s c o st a n t a n 与 判断下列函数的奇偶性： ( 1 ) 1 c o sf x x； ( 2 ) s i ng x x x。 牛刀小试 ： s i n s i nc o s c o st a n t a n s i n s i nc o s c o st a n t a n (公式二 ) s i n s i nc o s c o st a n t a n (公式三 ) s i n s i nc o s c o st a n t a n (公式四 ) 终边 公式 关于 关于 对称 关于原点对称 s i n 2 s i nc o s 2 c o st a n 2 t a nk k Zk k Zk k Z (公式一 ) 重合 几何关系 代数表示 数缺形时少直观， 永远联系，莫分离！ 华罗庚 数 形 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事休。 切莫忘， 几何代数统一体， y x o 有何猜想？ s i n s i nc o s c o st a n t a n (公式二 ) s i n s i nc o s c o st a n t a n (公式三 ) s i n s i nc o s c o st a n t a n (公式四 ) 终边 公式 关于 关于 对称 关于原点对称 有何猜想？ 你能总结出任意角三角函数运用以上公式诱导为锐角三角函数的一般步骤吗？ 点将台： 试一试 : s i n s i nc o s c o st a n t a n s i n s i nc o s c o st a n t a n s i n s i nc o s c o st a n t a n s i n 2 s i nc o s 2 c o st a n 2 t a nk k Zk k Zk k Z (公式二 ) (公式三 ) (公式四 ) (公式一 ) 例 1 求值： (1 ) 7s i (2 ) 11c o (3 ) t a n 1 5 6 0。 s i n 2 s i nc o s 2 c o st a n 2 t a nk k Zk k Zk k Z ( 公式一 ) s i n s i nc o s c o st a n t a n ( 公式二 ) s i n s i nc o s c o st a n t a n （公式三） s i n s i nc o s c o st a n t a n ( 公式四 ) 函数名不变，符号看象限。 1 求值： ( 1 )s i ； ( 2 ) c o s 6 0； ( 3 )7t a ( 4 ) s i n 2 2 5 . 2 求值： ( 1 ) s i n 1 5 0 ； ( 2 ) t a n 1 0 2 0 ； ( 3 )3s i ； ( 4 ) s i n 7 5 0. 演练场： 学会四组公式 总结大家谈： 体现三种思想 把握一个规律 感受两个过程 转化、类比、数形结合 公式探究、概括步骤 函数名不变，符号看象限 要求掌握并能应用 作业： 必做： 第 22页，习题 、 4、 5题 思考： 除了本节课已经研究的情形外，你还能发现不同角的终边有 其它 特殊的对称关系吗？ 如发现了，请你探究一下它们的同一三角函数值之间是否也有着特殊关系，争取再提炼出新的公式。 作业： 必做： 第 22页，习题 、 4、 5题 思考： 除了本节课已经研究的情形外，你还能发现不同角的终边有 其它 特殊的对称关系吗？ 如发现了，请你探究一下它们的同一三角函数值之间是否也有着特殊关系，争取再提炼出新的公式。 角函数的诱导公式 (1) 三角函数的定义： 设 终边上任一点 (x,y)，它与原点的距离是 r(r 0) 复习 s i nc o st a O x ( , )P x yy 1r 当 时 ， s i n , c o 即( c o s , s i n )P ( c o s , s y 的终边(1,0) O 17c o s ( )6s i n ( )3c o s (1 3 5 )4t a n ( )3求下列三角函数值 提出问题 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 作 出 下 列 角 的 终 边 6 与66 与 与66与 2+62 ( ) ,k k z 探 究 ：， - ，+ 与 终 边 位 置 关 系 ？s i n ( 2 ) s i nc o s ( 2 ) c o s k )t a n ( 2 ) t a （公式一 由三角函数的定义知 ,它们的三角函数值相等 s in)s c os)c )t a n( 1. 与 的 终 边 什 么 关 系 ？2. 与 的 终 边 与 单 位 圆的 交 点 的 有 什 么 关 系 ？3. 它 们 的 坐 标 有 什 么 关 系 ？动一 M( c o s , s i n )P （ 公式二 ） 的终边的终边x y O (1,0) ( c o s ( ) , s i n ( ) )P 与 的三角函数值有何关系 ? O s i n)s i n ( c os)c t a n)t a n( （ 公式三 ） 活动二 问题 : MM x y 的终边 的终边)s c o s )s ),( c o s ( (1,0) 与 的三角函数值有何关系 ? 问题 : s i n)s i n ( c c t a n)(t 公式四 ） 活动三 M x y 的终边 的终边s c o s )s ),( c o s ( (1,0) P )k(t a n)2k(t a n)k(c o s)2k(c o s)k(s i n)2k(s i （公式一） t a n)(t a nc o s)c o s (s i n)s i n (（公式二） t a n)t a n (c o s)c o s (s i n)s i n (（公式三） s i n ( ) s i nc o s ( ) c o st a n ( ) t a n （公式四） 这四组公式都叫做 三角函数的 诱导公式 解决问题 17c o s ( )6s i n ( )3c o s (1 3 5 )4t a n ( )3算法 :负角化正角 ,大角化小角 ,化到锐角就成了 ! 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数 ,一般按下面步骤进行 : 公式二 或一 公式一 用公式三或四 任意正角的 三角函数 到 的角 的三角函数 o0 角函数 归纳总结 任意负角的三角函数 求下列三角函数值 （ 1） 5s i 2） 11c o 0561(t a n （ 3） 练习 1. 本节课我们利用角的终边的对称关系共同推导了诱导公式，初步掌握诱导公式简单的求值 . 形结合思想 ,联系的观点 . 课后思考 根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？ 作 业 课本 20页，练习题 1， 2， 问题情境 求 下列角 的正弦值 ？ ,3(1) ,37(2) 38(3) 探究一 角 锐角 的三角函数值之间有什么关系？ x y O 角 的终边 角 的终边 M 角 + 与锐角 ，角 锐角 的 三角函数值之间有什么关系？ 探究二 x y O x y O 角 的终边 角 的终边 角 的终边 角 的终边 探究三 x y O 角 的终边 角 的终边 对于任意角 的终边是否总关于 (1) ； (2) ； (3) ； 例 1、 求值： 数学应用 411c 7 5 6 0t a n ( 讨论交流 观察四组诱导公式有什么结构特征？ 函数名不变，符号看原角的象限 例 2 、判断下列函数的奇偶性： （ 2） . （ 1） ； c o s （ 1）四组三角函数的诱导公式 （ 2）三角函数的诱导公式的特征 “ 函数名不变，符号看原角的象限 ” （ 3）化归和数形结合的思想方法 回顾小结 思考题 根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？ 由公式二你能联想到三角函数的什么性质？ 作业 课本第 20页练习 2， 3 2)= k Z） )= k Z） 2)= k Z） 由三角函数定义： 江苏省兴化市楚水实验学校 赵苏琴 课题：三角函数的诱导公式 2)= k Z） )= k Z） (公式一 ) 2)= k Z） 由三角函数定义： x y O 问题 2：圆的这种对称性反映到三角函数上， 三角函数应该具有怎样的性质呢？ x y O 的终边 的终边 P P 若 、 角的终边关于 则 、 角的三角函数有怎样的关系？ 、 角之间有怎样的关系？ )= ()= )= )=)= （公式二） x y O 的终边 的终边 x y O 的终边 的终边 问题 3：若 、 角的终边关于 点对称， 则 、 角的三角函数有怎样的关系？ 、 角之间有什么关系呢？ 你能得出什么结论？ x y O 的终边 的终边 P P 若 、 角的终边关于 则 、 角的三角函数有怎样的关系？ 、 角之间有什么关系呢？ （公式三） x y O 的终边 的终边 P P 若 、 角的终边关于原点对称， 则 、 角的三角函数有怎样的关系？ 、 角之间有什么关系呢？ +)= +)= +)=（公式四） )3s )1(661c o s)2(1 5 0t a n)3(例求值： 67s i n)4(411c o s)5( 1 5 6 0t a n)6( 例求值： 如何求一个 任意角 的三角函数值？ 转化方法： 负角化正角、大角化小角、 化为锐角再求值。 转化为 锐角 的三角函数值。 一般情况下是怎样转化的？ 课后思考： 根据公式二、三、四中的任意两组公式，推导出另外一组公式。 例 2 ： 判断下列函数的奇偶性 : (1)f(x)=1(2)g(x)=解： (1)xR ， f(x) 是偶函数。 =f(x) = 1 f(1 (2)xR ， g(x) 是奇函数。 =-g(x) = -x+ g( =-（ = 4s ( 60c o s)2( 67t a n)3(225s (22 2133 22练一练： 练一练： 150s (1020t a n)2( 43s ( 7 5 0s i n)4( 2132221 s )1( c i n)()2( 练一练： 偶函数 奇函数 本节课你学到了哪些知识 ?觉得有什么收获 ? 课堂小结 翻译 ” 成三角函数之间的代数关系。 1. 发现了四组三角函数的诱导公式。 化 为锐角的三角函数 大角化小角 ,负角化正角 ,化为锐角再求值 . 习题 1 2 感受与理解 3、 4 附思考题： 课后作业 （ 1） 根据公式二、三、四中的任意两组公式， 推导出另外一组公式。 （ 2）如果两个角的终边关于直线 y= 那么它们的三角函数值有什么关系呢？ （ 3）如果两个角的终边关于直线 y= 那么它们的三角函数值有什么关系呢？ 三角函数的诱导公式 , ) , , ?P x y当 任 意 角 终 边 上 一 点 满 足 单 位 圆 时 正 弦函 数 值 余 弦 函 数 值 会 有 什 么 样 的 结 果1c o s;1s i n 引入 :,0.公 式 的 作 用可 以 把 任 意 角 的 正 弦 、 余 弦 函 数 值 分 别 化 为到 的 角 的 同 一 三 角 函 数 值诱导公式一： (k z) 新授 s i n ( 2 ) s i nc o s ( 2 ) c o st a n ( 2 ) t a 2400 y x =1800+600 1800+600） =y 1800+600） = 理： 1800+600） = 00 ( , )P x y 一般地： 和s i n y c o s x t a n s i n ( ) y c o s ( ) x t a n ( ) s i n ( ) s i n c o s ( ) c o s t a n ( ) t a n 公式二 111),( ),( :.注 无 论 是 锐 角 还 是 任 意 角 公 式 均 成 立 ；公 式 四 它 的 用 途 可 将 求 负 角 的 三 角 函 数 值转 化 为 求 正 角 的 三 角 函 数 值t a n)(t a nc o s)c o s (s in)s s i n ( ) s i n c o s ( ) c o s t a n ( ) t a n 公式三 公式四 例 1判断下列函数的奇偶性 ： （ 1） ( ) 1 c o sf x x（ 2） ( ) s i ng x x x解：因为函数的定义域是 R，且 所以 是偶函数。 ( ) 1 c o s ( ) 1 c o s ( )f x x x f x )(，且 所以 是奇函数。 ( ) s i n ( )( s i n ) ( s i n )()g x x xx x x )() o s( ) c o n ( ) ta n 公式二： ) o s( ) c o n ( ) ta n 公式三： ) o s( ) c o n ( ) ta n 公式四： 公式一： 2 ) 2 ) c ta n( 2 ) ta n(kk k 函数名不变，符号看象限 7s i 1c o t a n ( 1 5 6 0 )（ 1） （ 2） （ 3） 例 解 ： 71( 1 ) s i n s i n ( ) s i 6 2 1 1 3 3( 2 ) c o s c o s ( 2 ) c o 42c o s ( ) c o 2 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数一般可按下面步骤进行 : 02角的三角函数 锐角三角函数 用公式一 或公式四 用公式一 用公式二、 或三 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 小结： 课后作业 : 1页练习 13、 14 三角函数的诱导公式 （ 第 1课时 ） 角 的 终 边 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 的 坐 标 可 以 表 示 为M( c o s , s i n )P 1yx( 1)r ( 1)r ( c o s , s i n )P ( , )P x 朝阳公园摩天轮（世界最高） 文件名s i n ( 2 ) ( )c o ss i nc o st a n( 2 ) ( )t a n ( 2 ) ( ) 公 式 一s i ns i n ( ) ( )c o s ( ) (c o st a n)t a n ( ) ( ) 角的三角函数 0 2文件名文件名 角 的 终 边 与 角 的 终 边 轴 对 称 s i nc o st a nta n 公 式 二文件名 的 终 边 角 的 终 边M 关 于 轴 对 称 终 边 关 于 原 点 对 称对 于 平 面 内 角 与 的 终 边 具 有 的 另 外 两 种 对 称 关 系 ，它 们 的 三 角 函 数 值 之 间 又 有 怎 样 的 关 系 ？ 的 终 边角 的 终 边M s i nc o st a n c o s 的 终 边 角 的 终 边M 若 角 的 终 边 与 角 的 终 边那 么 它 们 的 三 角 函 数 值 之 间 会 有 怎关 于 轴 对 称 ,样 的 关 系 ？ 公 式 三() 角 的 终 边 与 角 的 终 边 轴 对 称( c o s , s i n )P c o s , s i c o s c o s s i n s i ns i nt a nc o sta n s i nc o s s i nc o st a n c o s 若 角 的 终 边 与 角 的 终 边那 么 它 们 的 三 角 函 数 值 之 间 会 有关 于 原怎 样点 对 称 ,的 关 系 ？() 角 的 终 边 与 角 的 终 边关 于 原 点 对 称 公 式 四( c o s , s i n )P c o s , s i c o s c o s s i n s i ns i nt a nc
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