2019-2020学年北京市朝阳区高三上期中数学试卷试题及答案版含答案.pdf

- 1 - 2019-2020 学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1已知集合 2 |4AxZ x， 1B ，2，则(AB ) A 1B 1，2 C 1，0，1，2D 2，1，0，1，2 2已知(, ) 2 ，且 3 sin 5 ，则tan() A 3 4 B 4 3 C 3 4 D 4 3 3下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是() A 3 yx Bsin()yxC 2 log |yxD22 xx y 4关于函数( )sincosf xxx有下述三个结论： 函数( )f x的最小正周期为2； 函数( )f x的最大值为 2； 函数( )f x在区间(, ) 2 上单调递减 其中，所有正确结论的序号是() ABCD 5已知，是两个不同的平面，直线m，下列命题中正确的是() A若，则/ /mB若，则m C若/ /m，则/ /D若m，则 6已知函数( ) |2|1f xxkx恰有两个零点，则实数k的取值范围是() A 1 (0, ) 2 B 1 ( 2 ，1)C(1,2)D(2,) 7已知 * () n anN为等比数列，则“ 12 aa”是“ n a为递减数列”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 8 设 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 95 xy C的两个焦点，M为C上一点且在第二象限若 12 MF F为 等腰三角形，则点M的横坐标为() - 2 - A 3 2 B 15 2 C 15 2 D 3 2 9在ABC中，90BAC，2BC ，点P在BC边上，且()1AP ABAC ，则|AP 的 取值范围是() A 1 (, 1 2 B 1 ,1 2 C 2 (,1 2 D 2 ,1 2 10已知集合A，B满足： （）ABQ ，AB ； （） 1 xA，若 2 xQ且 21 xx，则 2 xA； （） 1 yB，若 2 yQ且 21 yy，则 2 yB 给出以下命题： 若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数； 若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数； 若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数； 若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数 其中，所有正确结论的序号是() ABCD 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11已知向量(1, 1)a ，(3,)bm ，且/ /ab ，则m 12某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，最长棱的长度为 13已知直线20 xya与圆 22 :2O xy相交于A，B两点(O为坐标原点） ，且AOB 为等腰直角三角形，则实数a的值为 - 3 - 14已知a，b是实数，给出下列四个论断：ab； 11 ab ；0a ；0b 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： 15已知函数 2 1 , ( )( , x a xxa f xa x x a e 为常数） 若 1 ( 1) 2 f ，则a ；若函数( )f x存 在最大值，则a的取值范围是 162019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得 到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考 古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本 中碳 14 的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 5730 00 2( t NNN 表示碳 14 原有的 质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的；经过测定，良渚古城遗址文物样 本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在年到 5730 年之间 （参考数据： 2 log 31.6， 2 log 52.3) 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （13 分）在ABC中，2 7AB ，点P在BC边上，且60APC，2BP （）求AP的值； （）若1PC ，求sinACP的值 18 （13 分）已知 * () n anN是各项均为正数的等比数列， 1 16a ， 32 2332aa （）求 n a的通项公式； （）设 2 3log nn ba，求数列 n b的前n项和 n S，并求 n S的最大值 19如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD 平面ABCD，E 为PD的中点，/ /ADBC，CDAD，2BCCD，4AD （）求证：/ /CE平面PAB； （）求二面角EACD的余弦值； - 4 - （） 直线AB上是否存在点Q， 使得/ /PQ平面ACE？若存在， 求出 AQ AB 的值； 若不存在， 说明理由 20 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过两点 2 (1,) 2 P，(2,0)Q （）求椭圆C的标准方程； （）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线l与以线段FP为直径的 圆交于另一点E（异于点)F，求| |ABFE的最大值 21已知函数( )(0) lnx f xa xa （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）当1a 时，证明： 1 ( ) 2 x f x ； （）判断( )f x在定义域内是否为单调函数，并说明理由 22（13 分） 已知无穷数列 n a， n b， n c满足： * nN ， 1 | nnn abc ， 1 | nnn bca ， 1 | nnn cab 记| nn dmaxa，| n b，|( n cmax x，y，z表示 3 个实数x，y，z中 的最大值） （）若 1 1a ， 2 2b ， 3 3c ，求 1 b， 1 c的可能值； （）若 1 1a ， 1 2b ，求满足 23 dd的 1 c的所有值； （）设 1 a， 1 b， 1 c是非零整数，且 1 |a， 1 |b， 1 |c互不相等，证明：存在正整数k，使得 数列 n a， n b， n c中有且只有一个数列自第k项起各项均为 0 - 5 - 2019-2020 学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1已知集合 2 |4AxZ x， 1B ，2，则(AB ) A 1B 1，2 C 1，0，1，2D 2，1，0，1，2 【解答】解：集合 2 |4 1AxZ x ，0，1， 1B ，2， 1AB ，0，1，2 故选：C 2已知(, ) 2 ，且 3 sin 5 ，则tan() A 3 4 B 4 3 C 3 4 D 4 3 【解答】解：已知 3 sin 5 ， 根据 22 sincos1 解得： 4 cos 5 由于：(, ) 2 所以： 4 cos 5 则 sin3 tan cos4 故选：C 3下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是() A 3 yx Bsin()yxC 2 log |yxD22 xx y 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A， 3 yx ，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于B，sin()sinyxx ，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于C， 2 log |yx，有()( )fxf x，是偶函数不是奇函数，不符合题意； - 6 - 对于D，22 xx y ，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增，符合题意； 故选：D 4关于函数( )sincosf xxx有下述三个结论： 函数( )f x的最小正周期为2； 函数( )f x的最大值为 2； 函数( )f x在区间(, ) 2 上单调递减 其中，所有正确结论的序号是() ABCD 【解答】解：函数( )sincos2sin() 4 f xxxx ， 所以函数的周期为：2，所以正确； 函数的最大值为：2，所以不正确； 函数的单调减区间为：2 4 k ，2k，kZ，所以函数( )f x在区间(, ) 2 上单调递 减正确； 故选：B 5已知，是两个不同的平面，直线m，下列命题中正确的是() A若，则/ /mB若，则m C若/ /m，则/ /D若m，则 【解答】解：对于选项A：若，则/ /m也可能m，故错误 对于选项B：若，则m也可能/ /m，故错误 对于选项C：若/ /m，则/ /也可能与相交，故错误 对于选项D，直线m，m，则是面面垂直的判定，故正确 故选：D 6已知函数( ) |2|1f xxkx恰有两个零点，则实数k的取值范围是() A 1 (0, ) 2 B 1 ( 2 ，1)C(1,2)D(2,) 【解答】解：令( )0f x 得，1 |2|kxx ， 设 1 1ykx， 2 |2|yx，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为 1 y的图象，红线为 2 y的图象， - 7 - 且 12 y的图象恒过(0, 1)， 要使( )f x有两个零点，则 1 y和 2 y的图象有两个交点， 当1k 时， 1 yx（红线）与 2 y图象的右侧(1)x 平行， 此时，两图象只有一个交点， 1 2 PA k， 因此，要使 1 y和 2 y的图象有两个交点，则 1 1 2 k， 故选：B 7已知 * () n anN为等比数列，则“ 12 aa”是“ n a为递减数列”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解： n a为等比数列，由 12 aa，不能说明 n a为递减数列，如数列：1， 1 2 ，1 4 ； 反之，由 n a为递减数列，得 12 aa “ 12 aa”是“ n a为递减数列”的必要而不充分条件 故选：B 8 设 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 95 xy C的两个焦点，M为C上一点且在第二象限若 12 MF F为 等腰三角形，则点M的横坐标为() A 3 2 B 15 2 C 15 2 D 3 2 【解答】解：设( , )M m n，0m ，0n ，椭圆 22 :1 95 xy C中3a ，5b ，2c ， 椭圆的左准线方程为： 2 9 2 a x c ， - 8 - 2 3 c e a ， 由于M为C上一点且在第二象限，可得 12 | |MFMF， 12 MF F为等腰三角形，可得 2 | 24MFc， 1 | 2MF ， 由椭圆的第二定义，可得 29 2() 32 m，解得 3 2 m ， 故选：D 9在ABC中，90BAC，2BC ，点P在BC边上，且()1AP ABAC ，则|AP 的 取值范围是() A 1 (, 1 2 B 1 ,1 2 C 2 (,1 2 D 2 ,1 2 【解答】解：以BC的中点O为原点，过O垂直于BC的直线为y轴，建立如图直角坐标系 则( 1,0)B ，(1,0)C，设( ,0)P x，( , )A a b，| 1x ，由1OA ， 22 1ab， 则由()1AP ABAC ，得(xa，)(ba， 1 ) 2 b，化简 1 2 ax ， 所以 2222222 |()2APxabxaxabx ， 由 22 1ab，因为1a ，所以| 1a ，所以 11 | |2 |2 x a ， - 9 - 所以| |APx 的取值范围为 1 ( 2 ，1， 故选：A 10已知集合A，B满足： （）ABQ ，AB ； （） 1 xA，若 2 xQ且 21 xx，则 2 xA； （） 1 yB，若 2 yQ且 21 yy，则 2 yB 给出以下命题： 若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数； 若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数； 若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数； 若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数 其中，所有正确结论的序号是() ABCD 【解答】解： ：由（）ABQ ，AB ； （） 1 xA，若 2 xQ且 21 xx，则 2 xA； （） 1 yB，若 2 yQ且 21 yy，则 2 yB 可判断集合A中的元素都小于集合B中的元素， 若集合A的元素没有最大数，则必然存在一个数x，使得 1 xA， 1 xx； 如果x是有理数，则xB，且 1 yB， 1 yx ，则B有最小数为x； 如果x是无理数，则xB，且 1 yB， 1 yx，则B没有最小数； 故正确； 若集合A的元素有最大数，则必然存在一个有理数x，使得 1 xA， 1 xx； 1 yB， 1 yx，则B没有最小数； 故正确； 故选：B 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 - 10 - 11已知向量(1, 1)a ，(3,)bm ，且/ /ab ，则m 3 【解答】解：/ /ab ， 30m， 3m 故答案为：3 12某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 1 6 ，最长棱的长度为 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥PABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形， 1ABBC，90ABC，高1PO ，则 111 1 1 1 326 PABC V ； 最长棱长为 222 1113PB 故答案为： 1 6 ；3 13已知直线20 xya与圆 22 :2O xy相交于A，B两点(O为坐标原点） ，且AOB 为等腰直角三角形，则实数a的值为5 【解答】解：| |2OAOB； - 11 - 又AOB为等腰直角三角形； 所以2AB ，则三角形AOB斜边上的高为 1； 即圆心O到直线的距离为 1； 2 | 1 12 a d ，即|5a ； 故答案为：5a ； 14已知a，b是实数，给出下列四个论断：ab； 11 ab ；0a ；0b 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若 ab，0b ，则 11 ab （答案不唯一） 【解答】解：ab； 11 ab ；0a ；0b 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a， b满足ab，0b ，则 11 ab ，即由 （答案不唯一） 故答案为：由a，b满足：ab，0b ，则 11 ab 15已知函数 2 1 , ( )( , x a xxa f xa x x a e 为常数） 若 1 ( 1) 2 f ，则a 1 2 ；若函数( )f x存 在最大值，则a的取值范围是 【解答】解： （1）1a 时， 1 ( 1) 2 fa， 1 2 a， 1a时， 2 2 11 ( 1) 2 fe e ， 1 2 a （2） 11 1 () xx xx ee ， 1x x y e 在(,1)递增，在(1,)递减； 又0a 时 2 yax在(,0)递减，( )f x不会存在最大值 0a 时，( )f x的最大值即 1x x y e 的最大值； 0a 时，( )f x的最大值即 1x x y e 的最大值； - 12 - 故答案为：(，0 162019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得 到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考 古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本 中碳 14 的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 5730 00 2( t NNN 表示碳 14 原有的 质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 1 2 ；经过测定，良渚古城遗址文物 样本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在年到 5730 年之间 （参考数据： 2 log 31.6， 2 log 52.3) 【解答】解：生物体内碳 14 的量N与死亡年数t之间的函数关系式为： 5730 0 2 t NN ； 5730t 时， 10 0 2 2 N NN ； 所以每经过 5730 年衰减为原来的 1 2 ； 由于良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ， 5730 13 2 25 t ； 两边同时取以 2 为底的对数，得： 22 1(log 3log 5)0.7 5730 t 40115730t ； 故推测良渚古城存在的时期距今约在 4011 年到 5730 年之间 故答案为： 1 2 ，4011 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （13 分）在ABC中，2 7AB ，点P在BC边上，且60APC，2BP （）求AP的值； （）若1PC ，求sinACP的值 【解答】解： （）因为60APC，所以120APB 在ABP中，2 7AB ，120APB，2BP ， 由余弦定理 222 2cosABAPBPAP BPAPB，得 2 2240APAP - 13 - 所以4AP （）在APC中，4AP ，1PC ，60APC， 由余弦定理 222 2cosACAPPCAP PCAPC，得13AC 由正弦定理 sinsin APAC ACPAPC ，得 413 sinsin60ACP ， 所以 2 39 sin 13 ACP 18 （13 分）已知 * () n anN是各项均为正数的等比数列， 1 16a ， 32 2332aa （）求 n a的通项公式； （）设 2 3log nn ba，求数列 n b的前n项和 n S，并求 n S的最大值 【解答】解： （）设 n a的公比为q，因为 1 16a ， 32 2332aa， 所以 2 2320qq 解得2q （舍去）或 1 2 q 因此 n a的通项公式为 15 1 16( )2 2 nn n a （）由（）得 2 3(5)log 2153 n bnn， 当2n 时， 1 3 nn bb ， 故 n b是首项为 1 12b ，公差为3的单调递减等差数列 则 2 13 12(1)( 3)(9 ) 22 n Snn nnn 又 5 0b ，所以数列 n b的前 4 项为正数， 所以当4n 或 5 时， n S取得最大值，且最大值为 45 30SS 19如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD 平面ABCD，E 为PD的中点，/ /ADBC，CDAD，2BCCD，4AD （）求证：/ /CE平面PAB； （）求二面角EACD的余弦值； （） 直线AB上是否存在点Q， 使得/ /PQ平面ACE？若存在， 求出 AQ AB 的值； 若不存在， 说明理由 - 14 - 【解答】解： （）如图，取PA中点F，连结EF，BF 因为E为PD中点，4AD ， 所以/ /EFAD， 1 2 2 EFAD 又因为/ /BCAD，2BC ， 所以/ /EFBC，EFBC， 所以四边形EFBC为平行四边形 所以/ /CEBF 又因为CE 平面PAB，BF 平面PAB， 所以/ /CE平面PAB （）取AD中点O，连结OP，OB因为PAD为等边三角形，所以POOD 又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 所以PO 平面ABCD 因为/ /ODBC，2ODBC， 所以四边形BCDO为平行四边形 因为CDAD，所以OBOD 如图建立空间直角坐标系Oxyz， - 15 - 则(0, 2,0), (2,0,0),(2,2,0),(0,1, 3), (0,0,2 3)ABCEP 所以(2,4,0),(0,3, 3)ACAE 设平面ACE的一个法向量为 1 (nx ，y，) z， 则 1 1 0, 0, n AC n AE 即 240, 330. xy yz 令2x ，则 1 ( 2,1,3)n 显然，平面ACD的一个法向量为 2 (0n ，0，1)， 所以 12 12 12 36 cos, 4|2 2 n n n n nn 由题知，二面角EACD为锐角， 所以二面角EACD的余弦值为 6 4 （）直线AB上存在点Q，使得/ /PQ平面ACE理由如下： 设AQAB 因为(2,2,0)AB ，(0, 2, 2 3)PA ， 所以(2 ,2 ,0)AQAB ，(2 ,22, 2 3)PQPAAQ 因为PQ 平面ACE，所以/ /PQ平面ACE当且仅当 1 0PQ n 即(2 ,22, 2 3) ( 2,1,3)0，解得2 所以直线AB上存在点Q，使得/ /PQ平面ACE，此时2 AQ AB - 16 - 20 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过两点 2 (1,) 2 P，(2,0)Q （）求椭圆C的标准方程； （）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线l与以线段FP为直径的 圆交于另一点E（异于点)F，求| |ABFE的最大值 【解答】解： （）因为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 2 (1,) 2 P，(2,0)Q ， 所以 22 2, 11 1, 2 a ab 得 2, 1, a b 故椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y， （）由题易知直线l的斜率不为 0，设:1l xty， 由 2 2 1, 1, 2 xty x y 得 22 (2)210tyty ，显然0 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 1212 22 21 , 22 t yyy y tt 又 2 12 |1|ABtyy 以FP为直径的圆的圆心坐标为 2 (1,) 4 ，半径为 2 4 r ， 故圆心到直线l的距离为 22 22 |11| 44 11 tt d tt 所以 2 22 22 1121 | 22 88121 t FErd tt 所以 222 2 121212 2222222 2 2 2224428811 | |()422 1 222(2)22(2)(2) (1)2 1 ttt ABFEyyyyy y tttt t t 因为 2 1 1t ，所以 2 2 1 (1)2 1 t t ，即 2 2 11 1 4 (1)2 1 t t 所以 1 | |21 4 ABFE - 17 - 当0t 时，直线与椭圆有交点，满足题意，且| | 1ABFE ， 所以| |ABFE的最大值为 1 21已知函数( )(0) lnx f xa xa （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）当1a 时，证明： 1 ( ) 2 x f x ； （）判断( )f x在定义域内是否为单调函数，并说明理由 【解答】解：函数( )f x的定义域为(0,)， 2 1 ( ) () a lnx x fx xa （）因为f（1）0， 1 (1) 1 f a ， 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为 1 0(1) 1 yx a ， 即(1)10 xay ； （）证明：当1a 时，( ) 1 lnx f x x 欲证 1 ( ) 2 x f x ， 即证 1 12 lnxx x ， 即证 2 21 0lnxx 令 2 ( )21h xlnxx， 则 22(1)(1) ( )2 xx h xx xx 当x变化时，( )h x，( )h x变化情况如下表： x(0,1) 1 (1,) ( )h x 0 ( )h x 极大值 所以函数( )h x的最大值为h（1）0，故( ) 0h x 所以 1 ( ) 2 x f x ； （）函数( )f x在定义域内不是单调函数理由如下： 令( )1 a g xlnx x ， - 18 - 因为 22 1 ( )0 axa g x xxx ， 所以( )g x在(0,)上单调递减 注意到g（1）10a 且 11 11 1 ()1(1)0 aa aa a g elnea ee 所以存在 1 (1,) a me ，使得( )0g m 当(0,)xm时，( )0g x ，从而( )0fx，所以函数( )f x在(0,)m上单调递增； 当( ,)xm时，( )0g x ，从而( )0fx，所以函数( )f x在( ,)m 上单调递减 故函数( )f x在定义域内不是单调函数 22（13 分） 已知无穷数列 n a， n b， n c满足： * nN ， 1 | nnn abc ， 1 | nnn bca ， 1 | nnn cab 记| nn dmaxa，| n b，|( n cmax x，y，z表示 3 个实数x，y，z中 的最大值） （）若 1 1a ， 2 2b ， 3 3c ，求 1 b， 1 c的可能值； （）若 1 1a ， 1 2b ，求满足 23 dd的 1 c的所有值； （）设 1 a， 1 b， 1 c是非零整数，且 1 |a， 1 |b， 1 |c互不相等，证明：存在正整数k，使得 数列 n a， n b， n c中有且只有一个数列自第k项起各项均为 0 【解答】解： （）由 211 |bca，得 1 | 12c ，所以 1 3c ； 由 322 |cab，得 2 | 23a ，所以 2 5a ， 又 2111 | | 33abcb ，故 2 5a ， 1