直线方向向量与直线的向量方程PPT学习教案

1、会计学1 直线方向向量与直线的向量方程直线方向向量与直线的向量方程 思考思考1 1：如何确定一个点在空间的位置？如何确定一个点在空间的位置？ 答：空间中任意一个答：空间中任意一个P P的位置可以用向量的位置可以用向量OPOP 来表示。向量来表示。向量OPOP称为点称为点P P的的位置向量位置向量。 思考思考2 2：在空间中给一个定点在空间中给一个定点A A和一个定方向（向量）和一个定方向（向量） ，能确定一条直线在空间的位置吗？，能确定一条直线在空间的位置吗？ 答：空间中任意一条直线答：空间中任意一条直线l l的位置可以由的位置可以由l l上上 一个定点一个定点A A以及一个定方向（向量）确定

2、。以及一个定方向（向量）确定。 思考思考3 3：给一个定点和两个定方向（向量），能确给一个定点和两个定方向（向量），能确 定一个平面在空间的位置吗？定一个平面在空间的位置吗？ 答：空间中平面的位置可以由平面内两条相交直线答：空间中平面的位置可以由平面内两条相交直线 来确定。来确定。 第1页/共12页 ）（为起点作向量为起点作向量以以 ，再给一个实数，再给一个实数和一个向量和一个向量给定一个定点给定一个定点 1atAPA taA ）（，满足等式，满足等式在唯一的实数在唯一的实数 上的充要条件是存上的充要条件是存在直线在直线，点，点对空间任意一点对空间任意一点 2atOAOPt lPO P l a

3、 A. 当任意当任意t t R R，则，则P P轨迹为通过点轨迹为通过点A A且且 平行于向量平行于向量a a的直线的直线l l；反之，在直；反之，在直 线线l l上任取一点上任取一点P P，必存在一个实数，必存在一个实数t t ，使，使(1)(1)成立成立. . .a tl 为该直线的方向向量为该直线的方向向量 为参数的参数方程；为参数的参数方程；以以称作直线称作直线atAP 1.1.用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置 第2页/共12页 .321 31 2al 参数方程参数方程）都叫空间直线的向量）都叫空间直线的向量）（）（）（）（ ）（）（ ）可变形为）可变形

4、为，则（，则（上取上取如果在如果在 OBtOAtOP AB O B A P l a 中点的向量表达式；中点的向量表达式；线段线段）（时，时，ABOBOAOPt 2 1 2 1 第3页/共12页 例例1 1已知点已知点A A(2(2，4 4，0)0)，B B(1(1，3 3，3)3)， 以以AB AB 的方向为正向，在直线的方向为正向，在直线ABAB上建立上建立 一条数轴，一条数轴，P P，Q Q 为轴上两点，且分别为轴上两点，且分别 满足条件（满足条件（1 1）APAP：PBPB=1=1：2 2； （2 2）AQAQ：QBQB= =2 2， 求点求点P P 和点和点Q Q 的坐标。的坐标。 x

5、 y z O A P l B Q APPB2 解：由已知得解：由已知得 )(2OAOPOPOB ) 3 1 3 2 OBOAOP 设设P(xP(x，y y，z),z),则则)3 , 3 , 1( 3 1 )0 , 4 , 2( 3 2 ),( zyx 1, 3 11 , 3 5 zyx )1 , 3 11 , 3 5 (P)6 , 2 , 0(Q同法可求得同法可求得 第4页/共12页 2.2.用向量方法证明空间中有关平行的问题用向量方法证明空间中有关平行的问题 ，和和的方向向量分别为的方向向量分别为和和设直线设直线 2121 vvll ，重合重合与与或或则则 212121 /vvllll l1

6、 1 v l2 2 v （1 1）线线平行与向量的关系）线线平行与向量的关系 （2 2）线面平行与向量的关系）线面平行与向量的关系 ，则，则的一个方向向量为的一个方向向量为一直线一直线 共面，共面，与平面与平面，已知两个不共线向量已知两个不共线向量 vl 21 vv .,!/ 21 vyvxvyxll ，使，使实数对实数对或或 )0( 221 vvv （3 3）面面平行与向量的关系）面面平行与向量的关系 共面，共面，与平面与平面，已知两个不共线向量已知两个不共线向量 21 vv ./ 21 vv且且重合重合与与或或 第5页/共12页 例2如图，已知正方体ABCDABCD，点M，N 分别 是面对

7、角线AB 与面对角线AC的中点，求证：MN/ 侧面AD；MN/AD；并且MN= . 2 1 D A A D C B C D A B N M 第6页/共12页 3.3.用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题 ，和和的方向向量分别为的方向向量分别为和和设直线设直线 2121 vvll . |,cos|cos, 212121 vvvvll 则则 （1 1）线线垂直、线线成角与向量的关系）线线垂直、线线成角与向量的关系 设两条直线所成的角为设两条直线所成的角为(锐角锐角) )，则直线方向向量间，则直线方向向量间 的夹角与的夹角与相等或互补相等或互补 第7页

8、/共12页 ) ( , , 1 111 1111 所成的角为所成的角为与与 那么直线那么直线的中点的中点和和分别为分别为、中中 的正方体的正方体在棱长为在棱长为 CNAM BBBANM DCBAABCD 5 2 arccos D. 5 3 arccos C. 10 10 arccos B. 2 3 arccos A. A1 B1 C1 D1 A B D C N M 例例33 第8页/共12页 , 11 BNCBCNMAAAAM 解：解： )()( 11 BNCBMAAACNAM . 2 1 1 BNAA )()( 1111 MAAAMAAAAM 而而 . 2 5 4 1 1 2 1 2 1 M

9、AAA A1 B1 C1 D1 A B D C N M , 2 5 CN同理同理 . 5 2 4 5 2 1 cos CNAM CNAM 则则 第9页/共12页 A1 B1 C1 B C A M N . )3( cos )2( )1( . , 2,90, 1 ,4. 11 11 111 1 111 MCBA CBBA BN AABA NMAABCACBCA ABCCBAABC 求证求证 的值；的值；求求 的长；的长；求求 的中点的中点、是是 分别分别、棱棱 中中底面底面直三棱柱直三棱柱如图如图例例 x y z . 1 xyzO zyxCCCBCAC 如图空间直角坐标系如图空间直角坐标系 轴建立轴建立、所在直线为所在直线为、为原点，为原点，解：以解：以 ),1 , 0 , 1(),0 , 1 , 0( )1( NB依依题题意意得得 .3)01()10()01( 222 BN 第10页/共12页 ),2 , 1 , 0(),0 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),2 , 0 , 1( )2( 11 BCBA依依题题意意有有 A1 B1 C1 B C A M N x y z , 3),2 , 1 , 0(),2 , 1, 1( 1111 CBBACBBA .5,6 11 CBBA .30 10