2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册202011141129.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包55套新人教A版必修第一册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包55套新人教a版必修第一册,文本
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22基本不等式第1课时基本不等式目标 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式重点 基本不等式的内容及证明难点 运用基本不等式证明简单的不等式知识点两个不等式 填一填1重要不等式：a，br，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式：如果a，br，那么，当且仅当ab时，等号成立其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数答一答1下面是基本不等式的一种几何解释，请你补充完整如图所示，ab为o的直径，aca，cbb，过点c作cdab交o上半圆于d，连接od，ad，bd.(1)由射影定理可知，cd，而od；(2)因为odcd，所以，当且仅当c与o重合，即ab时，等号成立；(3)基本不等式的几何意义是半径不小于半弦2不等式a2b22ab和基本不等式成立的条件有什么不同？提示：不等式a2b22ab对任意实数a，b都成立；中要求a，b都是正实数3(1)基本不等式中的a，b可以是代数式吗？(2)与2ab是等价的吗？提示：(1)可以但代数式的值必须是正数，否则不成立(2)不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，br.类型一 用基本不等式比较大小例1若0a1,0b1，且ab，试找出ab，a2b2,2，2ab中的最大者解0a1,0b2，a2b22ab，四个数中最大的应从ab，a2b2中选择而a2b2(ab)a(a1)b(b1)，0a1,0b1，a(a1)0，b(b1)0，a2b2(ab)0，即a2b20，b0.变式训练1(1)已知a，br，且ab0，则下列结论恒成立的是(d)aa2b22ab bab2c. d.2解析：对于a，当ab时，a2b22ab，所以a错误；对于b，c，ab0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，b，c错误；对于d，因为ab0，所以0，0，所以2，即2成立(2)已知a，b是不相等的正数，x，y，试比较x，y的大小解：a，b是不相等的正数，由x得x2ab，又y，即y2ab，x2y2，即x.(2)已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.分析(1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1，可由此变形入手证明(1)a0，b0，c0，ab20，bc20，ca20.2(abc)2()，即abc.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abc.(2)a，b，c为正实数，且abc1，1，同理1，1.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得8.当且仅当abc时，等号成立利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果2注意多次运用基本不等式时等号能否取到3解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式变式训练2已知a，b，c为正数，且abc1，证明：9.证明：3()()()32229.当且仅当abc时，等号成立1给出下列条件：ab0；ab0，b0；a0，b0，y0，且1，若x2ym恒成立，则实数m的取值范围是(d)am|m6 bm|m6cm|m8 dm|mm恒成立，只需(x2y)minm.所以ma0，且ab1，则四个数，2ab，a2b2，b中最大的是(a)ab ba2b2c2ab d.解析：因为ba0，所以a2b22ab.又因为ab1，所以b.又bb(ba)b2abb2a2，所以b最大，故选a.4若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(写出所有正确命题的序号)ab1；a2b22；a3b33；2.解析：因为a0，b0，ab2，所以ab()21，所以恒成立；22，所以不恒成立；a2b22，所以恒成立；当ab1时，a3b320，0，22，即2，当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立本课须掌握的两大问题1两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取”这句话的
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