2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换学案含解析新人教A版必修第一册202011141182.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包55套新人教A版必修第一册
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55.2简单的三角恒等变换目标 1.记住三角恒等变换常用公式；2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明重点 三角恒等变换常用公式难点 三角恒等变换的化简与求值知识点一 降幂公式与半角公式 填一填 答一答1半角公式中“”号如何选取？提示：符号由所在象限决定2已知sin，且3，则sin，cos，tan2.解析：sin，3，cos，sin.cos.tan2(或tan2)知识点二 常见的三角恒等变换 填一填1asinbcos(sincos)sin()(其中令cos，sin)2sin2，cos2，sincossin2.答一答3如何确定上述辅助角公式中的值？提示：可以由sin和cos的符号来确定所在的象限，由sin或cos的值确定角的大小4填空：(1)sincossin.(2)sincos2sin.(3)sincos2sin.类型一 半角公式的应用 例1(1)设56，cosa，则sin等于()a bc d(2)若sin()且，则sin_.解析(1)由题知，56，cosa，则，则sin.故选d(2)sin()，sin，cos，又，sincos.答案(1)d(2)已知的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可.变式训练1已知(，0)，cos，则tan(d)a3 b3c d解析：因为(，0)，且cos，所以(，0)，tan，故选d类型二 三角恒等式的化简与证明 例2已知，化简：.解原式，.cos0.原式cos.三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：(1)发现差异观察角、名、形三方面的差异；(2)寻找联系根据式子的结构特征，找出差异间的联系；(3)合理转化选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化.变式训练2化简得(a)asin2 bcos2csin dcos解析：4sin2tan4cos2tan4cossin2sin2cos2，原式sin2.类型三 三角恒等变换的应用 命题视角1：三角恒等变换与三角函数性质的结合例3函数f(x)sin2xsinxcosx1的最小正周期是_，单调递减区间是_解析由题意知，f(x)sin2x(1cos2x)1sin，所以最小正周期t.令2k2x2k(kz)，得kxk(kz)，故单调递减区间为(kz)答案k，k(kz)讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为yasin(x)，yacos(x)，yatan(x)的形式才能进行讨论.变式训练3已知函数f(x)sinxcos，则函数的值域为1,1，对称轴方程为xk(kz)解析：f(x)sinxcossinxcosxsinxsinxcosxsin，则函数f(x)的值域是1,1令xk，kz，得xk，kz.所以函数f(x)的对称轴方程为xk(kz)命题视角2：三角恒等变换的实际应用例4有一块以o为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形abcd开辟为绿地，使其一边ad落在半圆的直径上，另外两点b，c落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点o对称的点a，d的位置，可以使矩形abcd的面积最大？分析解画图如图所示，设aob(0，)，则abasin，oaacos.设矩形abcd的面积为s，则s2oaab，即s2acosasina22sincosa2sin2.(0，)，2(0，)，当2，即时，smaxa2，此时，a，d距离o点都为a解决实际问题应首先设定主变量角以及相关的常量与变量，建立含有角的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.变式训练4某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)解：如图，连接oc，设cob，则045，oc1.aboboacosadcossin，s矩形abcdabbc(cossin)sinsin2sincos(1cos2)sin2(sin2cos2)cos.当20，即时，smax(m2)割出的长方形桌面的最大面积为 m2.1已知cos，则sin等于(d)a bc d解析：，0，cos0.cossin.cos2cos2sin2(cossin)(cossin).5证明：tan.证明：左边tan右边等式成立本课须掌握的三大问题1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式asinxbcosxsin(x)，其中满足：与点(a，b)同象限；tan(或sin，cos)3研究形如f(x
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