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2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用单元素养检测含解析新人教A版必修第二册202101291172.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册素养检测含解析打包50套新人教A版必修第二册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册素养检测含解析打包50套新人教a版必修第二册,文本
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单元素养检测(一)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.在四边形abcd中,+=()a. b. c.d.【解析】选d.在四边形abcd中,+=+=+=.2.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且a+b=(2,8),则-=()a.5b.-5c.1d.-1【解题指南】根据平面向量的坐标运算,得到方程组求出结果.【解析】选d.因为a=(1,1),b=(0,2),所以a+b=(,+2),因为a+b=(2,8),所以(,+2)=(2,8),所以=2,=3,所以-=-1.3.已知abc中,d为ab上一点,满足=2,且|=2|,则abc的形状为()a.等腰三角形b.等边三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形【解析】选c.因为abc中,d为ab上一点,满足=2,则=,且|=2|,如图,延长cd到e,使=,则acbe是平行四边形,由向量加法的平行四边形法则,得+=2,则|=|,所以平行四边形acbe是矩形,即abc的形状一定为直角三角形.4.在平行四边形abcd中,e,f分别是bc,cd的中点,de交af于h,记=a,=b,则=()a.a-bb.a+bc.-a+bd.-a-b【解析】选b.如图,过点f作bc的平行线交de于g,则g是de的中点,且=,所以=,则ahdfhg,从而=,所以=,=+=b+a,所以=a+b.5.已知正六边形op1p2p3p4p5的边长为1,则(i=1,2,3,4,5)的最大值是()a.1b.c.d.2【解题指南】分别计算出当i=1,2,3,4,5时的值,比较即可得出答案.也可以运用向量的投影比较大小.【解析】选b.方法一:分别作(i=1,2,3,4,5)在方向的投影,易得在方向的投影大于1,所以=(+)=+=1+|cos60=1+=.方法二:如图,当i=1,2,3,4,5时,(i=1,2,3,4,5)的值相应是1,1,0,-,故最大值为.【点睛】本题考查正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识.6.(2019全国卷)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()a.-3b.-2c.2d.3【解析】选c.因为=-=(1,t-3),又因为|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故=2.7.在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,若a=bcos c且c=6,a=,则abc的面积为()a.2b.3c.4d.6【解析】选d.在abc中,由a=bcos c且c=6,a=,由正弦定理,得=2a=2bcos c,所以c=2bsin ccos c=6.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos c,即36=b2cos2c+b2-2b2cos2c=b2(1-cos2c)=b2sin2c,因为sin c0,所以bsin c=6,代入2bsin ccos c=6,得cos c=,由于0c,所以c=,b=-a-c=,所以a=ctan a=2,三角形的面积等于acsin b=261=6.【补偿训练】在abc中,若=2且bac=30,则abc的面积为()a.b.2c.d.【解析】选c.在abc中,若=2且bac=30,得cos30=2,所以=,则abc的面积为s=|sin30=.8.在三角形abc中,=2,=2,bac=45,p为线段ac上任意一点,则的取值范围是()a.b.c.d.【解析】选b.设=,=,01,=(1-)(-),结合题目中的条件得到原式=4(1-)(1-2) =4,01,结合二次函数的性质得到范围是.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.在abc中,根据下列条件解三角形,则其中有一个解的是()a.b=10,a=45,b=60b.a=60,c=48,b=120c.a=7,b=5,a=75d.a=14,b=16,a=45【解析】选abc.若b=10,a=45,b=60,则由正弦定理可得=,求得a=,故abc有一解;若a=60,c=48,b=120,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos b=8 784,求得b只有一解,故abc有一解;若a=7,b=5,a=75,则由正弦定理可得=,求得sin b=,再根据ba,可得ba,所以b可能是锐角也可能是钝角,即角b有2个值,故abc有两解.10.设点o是正方形abcd的中心,则下列结论正确的是()a.=b.c.与共线d.=【解析】选abc.如图,因为与方向相同,长度相等,所以a正确;因为b,o,d三点在一条直线上,所以,b正确;因为abcd,所以与共线,c正确;因为与方向不同,所以,d错误.11.已知ab,=2=6,则的值可能为()a.3b.6c.8d.9【解析】选ad.因为ab,=2=6,则=6,=3.当a,b方向相同时,=+=9;当a,b方向相反时,=3.【易错警示】本题易忽略两个向量方向相反的情形而漏解.当两个非零向量共线时,如果没有明确向量的方向相同或相反,要对两种情形分类讨论求值.12.点g为abc的重心,ab=2,bc=1,abc=60,则下列等式成立的是()a.acb=90b.bg=c.=d.=-【解析】选abcd.因为点g为abc的重心,ab=2,bc=1,abc=60,由余弦定理,得ac2=ab2+bc2-2abbccos 60=3,即ac=,由勾股定理逆定理,得acb=90,所以bac=30.延长bg交ac于点d,则d为ac的中点,cd=,在bcd中,bd2=bc2+cd2=,得bd=,所以bg=bd=,则=(-)(-)=-(+)+=-2+=-2+=-2+21=-2+1=-.延长cg交ab于点e,则e为ab的中点,ce=1,cg=ce=,则=(-)=-=-=-(+)=-(+)=-(+)=-(0+1)=.【拓展延伸】三角形的四心与性质学习向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道三角形“四心”的意义吗?它们与向量的表示是什么?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助.一、三角形“四心”的意义重心:三角形三边中线的交点.垂心:三角形三边高线的交点.外心:三角形三边中垂线的交点.内心:三角形三条内角平分线的交点.二、三角形“四心”的向量表示结论1:若点o为abc所在的平面内一点,满足=,则点o为abc的垂心.证明:由=,得-=0,即(-)=0,.同理可证,故o为abc的垂心.结论2:若点o为abc所在的平面内一点,满足+=+=+,则点o为abc的垂心.证明:由+=+,得+(-)2=+(-)2,所以=.同理可证=.容易得到=,由结论1知o为abc的垂心.结论3:若点g为abc所在的平面内一点,满足+=0,则点g为abc的重心.证明:由+=0,得-=+.设bc边中点为m,则2=+,所以-=2,即点g在中线am上.设ab边中点为n,同理可证g在中线cn上,故点g为abc的重心.结论4:若点g为abc所在的平面内一点,满足=(+),则点g为abc的重心.证明:由=(+),得(-)+(-)+(-)=0,得+=0.由结论3知点g为abc的重心.结论5:若点p为abc所在的平面内一点,并且满足=+(+)(或=+(+),则点p为abc的内心.证明:由于=+(+),可得=(+).设与同方向的单位向量为e1,与同方向的单位向量为e2,则=(e1+e2),因为e1、e2为单位向量,所以向量e1+e2在a的平分线上.由0,知点p在a的平分线上.同理可证点p在b的平分线上.故点g为abc的内心.结论6:若点o为abc所在的平面内一点,满足(+)=(+)=(+)=0,则点o为abc的外心.证明:因为=-,所以(+)=|2-|2.同理得(+)=|2-|2, (+)=|2-|oa|.由题意得|2-|2=|2-|2=|2-|2,所以|2=|2=|2,得|=|=|.故点o为abc的外心.注意:|=|=|2=|2=|2(+)=(+)=(+)=0.以上几个结论不仅展示了三角形的“四心”的向量表示,而且是向量加减法应用的很好典例,值得大家关注.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知a=(2,-2),b=(x,2),若ab=6,则x=_.【解析】因为a=(2,-2),b=(x,2),所以ab=2x-4,又因为ab=6,所以2x-4=6,解得x=5.答案:514.(2019全国卷)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,b=,则abc的面积为_.【解析】因为cos b=,又因为b=6,a=2c,b=,可得c2=12,解得c=2,a=4,则abc的面积s=42=6.答案:615.(2019浙江高考)在abc中,abc=90,ab=4,bc=3,点d在线段ac上,若bdc=45,则bd=_,cosabd=_.【解析】如图,在abd中,由正弦定理有:=,而ab=4,adb=,ac=5,sinbac=,cosbac=,所以bd=.cosabd=cos(bdc-bac)=coscosbac+sinsinbac=.答案:【补偿训练】在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,若cos b=,b=4,sabc=4,则abc的周长为_.【解题指南】先根据cos b=求出sin b,再由sabc=4求出ac,最后再由余弦定理可求出a2+c2,进而可求出a,c的值,即可求出周长.【解析】由cos b=,得sin b=,由三角形面积公式可得acsin b=ac=4,则ac=12,结合余弦定理b2=a2+c2-2accos b,可得16=a2+c2-212,则a2+c2=24,由联立可得a=c=2,所以abc的周长为4+4.答案:4+416.已知点m是abc所在平面内的一点,若满足6-2=0,且sabc=sabm,则实数的值是_.【解析】记2=,因为-+2-2=0,所以=2,如图,得sabn=sabc,又因为sabm=sabn,所以sabc=3sabm,从而有=3.答案:3四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量|a|=2,ab=1,a在b方向上的投影为1.(1)求向量a,b的夹角;(2)求|a-b|.【解析】(1)因为|a|=2,ab=1,由a在b方向上的投影为1,得=1,所以=1,向量a,b的夹角满足cos =,又0,得=.(2)|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=4-21+1=3,所以|a-b|=.18.(12分)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,(1)ka+b与a-3b垂直?(2)ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【解析】由a=(1,2),b=(-3,2),得ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),(1)(ka+b)(a-3b),得(ka+b)(a-3b)=10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解得k=19.(2)(ka+b)/(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2),解得k=-,此时ka+b=(-,)=-(10,-4),所以方向相反.【补偿训练】如图,已知菱形abcd的边长为2,bad=120,动点m,n满足=,=,0.(1)当=时,求|-|的值;(2)若=-2,求+的值.【解题指南】(1)=时,m,n分别为bc,cd的中点,可得=,根据模长的计算公式得到结果;(2)根据平面向量基本定理得到=(+)(+),按照向量点积公式展开得到结果.【解析】(1)当=时,m,n分别为bc,cd的中点,此时易得=且,的夹角为60,则=.(2)=(+)(+)=+,所以-2=22+22+22+22(-),所以4(+)=2,所以2(+)=,故+=.19.(12分)设向量m=,n=,在abc中a,b,c分别为角a,b,c的对边,且2csin c=(2b-a)sin b+(2a-b)sin a.(1)求角c;(2)若mn,边长c=2,求abc的周长l和面积s的值.【解析】(1)由已知可得2c2=(2b-a)b+(2a-b)a,即c2=b2+a2-ab,所以cos c=,所以c=.(2)由题意可知mn,可得a+b=0,所以a+b=ab,由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,则(a+b)2-3(a+b)-4=0,即a+b=4,故周长为4+2=6,面积为s=absin c=4sin=.20.(12分)已知在abc中,三个内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin a-cos a,1-sin a),q=(2+2sin a,sin a+cos a),p与q是共线向量,且a.(1)求角a的大小;(2)若sin c=2sin b,且a=,试判断abc的形状,并说明理由.【解析】(1)因为pq,所以(sin a-cos a)(sin a+cos a)-2(1-sin a)(1+sin a)=-cos2a-2cos2a=0,所以1+2cos2a=0,所以cos2a=-.因为a,所以2a,所以2a=,所以a=.(2)abc是直角三角形.理由如下:由cos a=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.又sin c=2sin b,由正弦定理得c=2b.联立可得解得所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以abc是直角三角形.21.(12分)在abc中,abc=90,ab=,bc=1,p为abc内一点,bpc=90.(1)若pc=,求pa;(2)若apb=150,求
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