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2020_2021学年新教材高中数学单元素养评价第三章圆锥曲线的方程含解析新人教A版选择性必修第一册20201219148.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包32套新人教A版选择性必修第一册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包32套新人教a版选择性必修第一册,文本
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第三章圆锥曲线的方程(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为()a.b.c.(1,0)d.(0,1)【解析】选a.因为抛物线过点(1,4),所以4=2a,所以a=2,所以抛物线方程为x2=y,焦点坐标为.2.(2017浙江高考)椭圆+=1的离心率是()a.b.c.d.【解析】选b.因为椭圆方程为+=1,所以a=3,c=.所以e=.3.已知f是抛物线y=x2的焦点,p是该抛物线上的动点,则线段pf中点的轨迹方程是()a.x2=2y-1b.x2=2y-c.x2=y-d.x2=2y-2【解析】选a.设p(x0,y0),pf的中点为(x,y),则y0=,又f(0,1),所以所以代入y0=得2y-1=(2x)2,化简得x2=2y-1.4.已知双曲线x2-=1的左顶点为a1,右焦点为f2,p为双曲线右支上一点,则的最小值为()a.1b.0c.-2d.-【解析】选c.设点p(x0,y0),则-=1,由题意得a1(-1,0),f2(2,0),则=(-1-x0,-y0)(2-x0,-y0)=-x0-2+,由双曲线方程得=3(-1),故=4-x0-5(x01),可得当x0=1时,有最小值-2.5.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()a.b.c.1d.【解析】选b.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,则焦点到渐近线的距离d1=或d2=.6.若双曲线c:-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+相切,则c的离心率为()a.b.c.2d.【解析】选a.由题意得,联立直线与抛物线得x2-kx+=0,由=0得k=,即=,所以e=.7.已知f是椭圆c的一个焦点,b是短轴的一个端点,线段bf的延长线交椭圆c于点d,且=2,则椭圆c的离心率为().a.b.c.d.3【解析】选a.如图,设椭圆方程为+=1(ab0),b(0,b)为上顶点,f(c,0)为右焦点,设d(x,y),由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),即解得所以d.因为点d在椭圆上,所以+=1,解得a2=3c2,即e2=,所以e=.8.已知点e是抛物线c:y2=2px(p0)的对称轴与准线的交点,点f为抛物线c的焦点,点p在抛物线c上,在efp中,若sinefp=sinfep,则的最大值为()a.b.c.d.【解析】选c.过p(x轴上方)作准线的垂线,垂足为h,则由抛物线的定义可得|pf|=|ph|,由sinefp=sinfep,则在pfe中由正弦定理可知:|pe|=|pf|,所以|pe|=|ph|,设pe的倾斜角为,则cos =,当取得最大值时,cos 最小,此时直线pe与抛物线相切,设直线pe的方程为x=ty-,则联立直线与抛物线即y2-2pty+p2=0,所以=4p2t2-4p2=0,所以t=1,即tan =1,则cos =,则的最大值为.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为()a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1【解析】选bd.2c=6,所以c=3,2a+2b=18,a2=b2+c2,所以所以椭圆方程为+=1或+=1.10.设双曲线-=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程可以为()a.y=xb.y=-xc.y=xd.y=-x【解析】选cd.因为2b=2,2c=2,所以b=1,c=,所以a2=c2-b2=3-1=2,所以a=,故渐近线方程为y=x.11.设圆锥曲线的两个焦点分别为f1,f2.若曲线上存在点p满足|pf1|f1f2|pf2|=432,则曲线的离心率等于()a.b.c.d.2【解析】选ac.设圆锥曲线的离心率为e,由|pf1|f1f2|pf2|=432,知若圆锥曲线为椭圆,由椭圆的定义,则有e=;若圆锥曲线为双曲线,由双曲线的定义,则有e=.综上,所求的离心率为或.12.已知双曲线c:-=1,给出以下4个命题,真命题的是()a.直线y=x+1与双曲线有两个交点b.双曲线c与-=1有相同的渐近线c.双曲线c的焦点到一条渐近线的距离为3d.双曲线的焦点坐标为(-13,0),(13,0)【解析】选bc.a错误,因为直线y=x+1与渐近线y=x平行,与双曲线只有一个交点;b正确,两曲线渐近线方程均为y=x;c正确,右焦点为(,0)到渐近线y=x的距离为3.d错,因c2=a2+b2=13,所以双曲线焦点坐标为(,0)和(-,0).三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知椭圆c:+=1的左、右焦点分别为f1,f2,p是椭圆上一点,且满足|pf2|=|f1f2|,则|pf1|=,pf1f2的面积等于.【解析】由+=1知,a=5,b=4,所以c=3,即f1(-3,0),f2(3,0),所以|pf2|=|f1f2|=6.又由椭圆的定义,知|pf1|+|pf2|=10,所以|pf1|=10-6=4,于是=|pf1|h=4=8.答案:4814.已知p为抛物线y2=4x上的任意一点,记点p到y轴的距离为d,对于定点a(4,5),|pa|+d的最小值为.【解析】抛物线y2=4x的焦点为f(1,0),准线l:x=-1.由题意得d=|pf|-1,所以|pa|+d|af|-1=-1=-1,当且仅当a,p,f三点共线时,|pa|+d取得最小值-1.答案:-115.设椭圆的两个焦点分别为f1,f2,过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p,若f1pf2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.【解析】设椭圆的方程为+=1(ab0),f2的坐标为(c,0),p点坐标为(不妨取第一象限内点p),由题意知|pf2|=|f1f2|,所以=2c,a2-c2=2ac,+2-1=0,解得=-1,负值舍去,所以e=-1.答案:-116.设双曲线-=1的右顶点为a,右焦点为f.过点f且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点b,则afb的面积为.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c=5,且a(3,0),f(5,0).因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x.所以直线bf的方程为y=(x-5).若直线bf的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于点b,此时safb=|af|yb|=2=;若直线bf的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点b.此时safb=|af|yb|=2=.因此,afb的面积为.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)给定抛物线c:y2=4x,f是抛物线c的焦点,过f的直线l与c相交于a,b两点.若|fa|=2|bf|,求直线l的方程.【解析】显然直线l的斜率存在,故可设直线l:y=k(x-1),联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x2=1,故x1=,又|fa|=2|bf|,所以=2,则x1-1=2(1-x2)由得x2=(x2=1舍去),所以b,得直线l的斜率为k=kbf=2,所以直线l的方程为y=2(x-1).18.(12分) (2019全国卷)已知f1,f2是椭圆c:+=1(ab0)的两个焦点,p为c上一点,o为坐标原点.(1)若pof2为等边三角形,求c的离心率.(2)如果存在点p,使得pf1pf2,且f1pf2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.【解析】(1)连接pf1,由pof2为等边三角形可知在f1pf2中f1pf2=90,|pf2|=c,|pf1|=c,于是2a=|pf1|+|pf2|=c,故c的离心率e=-1.(2)由题意可知,满足条件的点p(x,y)存在,|y|2c=16,=-1,即c|y|=16,x2+y2=c2,+=1,由及a2=b2+c2得y2=,又由知y2=,故b=4.由得x2=(c2-b2),所以c2b2,从而a2=b2+c22b2=32,故a4.当b=4,a4时,存在满足条件的点p.所以b=4,a的取值范围为4,+).19.(12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为73,求椭圆和双曲线的方程.【解析】焦点在x轴上,设椭圆方程为+=1(ab0),且c=.设双曲线为-=1(m0,n0),m=a-4.因为=,所以=,解得a=7,m=3.因为椭圆和双曲线的半焦距为,所以b2=36,n2=4.所以椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.焦点在y轴上,椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.20.(12分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点p(4,m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程.(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点a,b,且ab中点横坐标为2,求k的值.【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,p0,其准线方程为x=-,因为p(4,m)到焦点的距离等于p到其准线的距离,所以4+=6,所以p=4,所以此抛物线的方程为y2=8x.(2)由消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0,设直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点a(x1,y1),b(x2,y2),则有解得k-1且k0,且x1+x2=4,解得k=2或k=-1(舍去),所以所求k的值为2.21.(12分)设有三点a,b,p,其中点a,p在椭圆c:+=1(ab0)上,a(0,2),b(2,0),且+=.(1)求椭圆c的方程.(2)若过椭圆c的右焦点的直线l倾斜角为45,直线l与椭圆c相交于e,f,求三角形oef的面积.【解析】(1)由题意知,b=2,设p(x,y),a(0,2),b(2,0),由+=,得(2,2)=(x,y),则椭圆方程为+=1,可得+=1,即a2=8.所以椭圆方程为+=1.(2)c=2.所以直线l的方程为y=x-2,代入椭圆方程+=1,整理得:3x2-8x=0,则x=0或x=.所以交点坐标为(0,-2)和,所以|ef|=,o到直线l的距离d=.所以soef=.22.(12分)已知抛物线c:y2=2px的焦点为f.(1)过点f且斜率为的直线交抛物线c于p,q两点,若|pq|=,求抛物线c的方程.(2)过点f的直线交抛物线c于
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