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2020_2021学年新教材高中数学课时素养评价3.2.2.2双曲线方程及性质的应用含解析新人教A版选择性必修第一册20201219174.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包32套新人教A版选择性必修第一册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包32套新人教a版选择性必修第一册,文本
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二十五双曲线方程及性质的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知m1且m0,则二次曲线-=1与+=1必有()a.不同的顶点b.不同的焦距c.相同的离心率d.相同的焦点【解析】选d.若m-m0,则二次曲线-=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时c2=a2-b2=1-m-(-m)=1,故焦点坐标为(1,0),因此与椭圆+=1具有相同的焦点.当0m0,b0),a(x1,y1),b(x2,y2),则-=1,-=1,x1+x2=-24,y1+y2=-30,由得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以e的方程为-=1.3.设f是双曲线-=1(a0,b0)的右焦点,过点f作斜率为3的直线l与双曲线左、右支均相交,则双曲线离心率的取值范围为()a.(1,)b.(1,)c.(,+)d.(,+)【解析】选c.双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点,且与双曲线左、右支各有一个交点,则3,即b29a2,c210a2,可得e.4.(2019全国卷)双曲线c:-=1的右焦点为f,点p在c的一条渐近线上,o为坐标原点,若|po|=|pf|,则pfo的面积为()a.b.c.2d.3【解析】选a.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;在pfo中|po|=|pf|,过点p作phof.因为tanpof=,of=,oh=of,所以ph=;所以spfo=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若m是2和8的等比中项,则m=,圆锥曲线x2+=1的离心率是.【解析】因为m是2和8的等比中项,所以m2=28=16,解得m=4.当m=4时,曲线x2+=1,即x2+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,因为=4且=1,所以a1=2,c1=,椭圆的离心率e1=;当m=-4时,曲线x2+=1,即x2-=1,表示焦点在x轴上的双曲线,同理可得a2=1,c2=,双曲线的离心率e2=.综上所述,m的值为4;圆锥曲线x2+=1的离心率是或.答案:4或6.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点a,b,若线段ab的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.【解析】由消去y得x2-2mx-m2-2=0.=4m2+4m2+8=8m2+80.设a(x1,y1),b(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段ab的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知双曲线的渐近线方程为y=2x,且过点(-3,4).(1)求双曲线的方程.(2)若直线4x-y-6=0与双曲线相交于a,b两点,求|ab|的值.【解析】(1)由双曲线的渐近线方程为y=2x,则设所求双曲线的方程为x2-=(0),把(-3,4)代入方程,整理得:9-=,解得:=1,即双曲线的方程为:x2-=1.(2)由题意设a(x1,y1),b(x2,y2),由整理得:3x2-12x+10=0,所以x1+x2=4,x1x2=,由弦长公式可知:|ab|=,所以|ab|的值为.8.已知双曲线c:-=1(a0,b0)的离心率为,虚轴长为4.(1)求双曲线的标准方程.(2)过点(0,1),倾斜角为45的直线l与双曲线c相交于a,b两点,o为坐标原点,求oab的面积.【解析】(1)依题意可得解得a=1,b=2,c=,所以双曲线的标准方程为x2-=1.(2)直线l的方程为y=x+1,联立消去y得3x2-2x-5=0,设a(x1,y1),b(x2,y2)由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=-,则|ab|=|x1-x2|=,原点到直线l的距离为d=,所以soab=|ab|d=.所以oab的面积为.(15分钟30分)1.(5分)已知双曲线c:-=1(a0,b0)的左右焦点分别为f1,f2,点p是双曲线c右支上一点,若|f1f2|=|pf2|,pf1f2=30,则双曲线c的离心率为()a.+1b.c.+1d.【解析】选b.在等腰三角形pf1f2中,|f1f2|=|pf2|=2c,pf1f2=30,可得|pf1|=2c,由双曲线的定义可得|pf1|-|pf2|=2c-2c=2a,即有e=.2.(5分)双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为f1(2,0),点a的坐标为(0,1),点p为双曲线左支上的动点,且apf1周长的最小值为8,则双曲线的离心率为()a.b.c.2d.2【解析】选d.由右焦点为f1(2,0),点a的坐标为(0,1),|af1|=3,三角形apf1的周长的最小值为8,可得|pa|+|pf1|的最小值为5,设f2为双曲线的左焦点,可得|pf1|=|pf2|+2a,当a,p,f2三点共线时,|pa|+|pf1|取得最小值,且为|af2|=3,即有3+2a=5,即a=1,c=2,可得e=2.3.(5分)如果双曲线-=1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是.【解析】如图,因为oa=af,f(c,0),所以xa=,因为a在右支上且不在顶点处,所以a,所以e=2.答案:(2,+)4.(5分)已知双曲线c的方程为-=1(a0),过原点o的直线l与双曲线c相交于a,b两点,点f为双曲线c的左焦点,且afbf,则abf的面积为.【解析】双曲线c的方程为-=1(a0),过原点o的直线l与双曲线c相交于a,b两点,点f为双曲线c的左焦点,且afbf,设af=m,bf=n,可得m-n=2a,m2+n2=4c2,可得:m2+n2-2mn=4a2,可得:mn=c2-a2=b2=9.答案:95.(10分)已知双曲线c:-=1.(1)求与双曲线c有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程.(2)p为双曲线c右支上一动点,点a的坐标是(4,0),求|pa|的最小值.【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为-=(0),当0时,方程为-=1,令4=得=,即双曲线方程为-=1,当0,b0)的左、右焦点分别为f1,f2,点p在双曲线的右支上,且|pf1|=4|pf2|,则双曲线的离心率e的最大值为.【解析】由双曲线定义知|pf1|-|pf2|=2a,又已知|pf1|=4|pf2|,所以|pf1|=a,|pf2|=a,在pf1f2中,由余弦定理得cosf1pf2=-e2,要求e的最大值,即求cosf1pf2的最小值,因为cosf1pf2-1,所以cosf1pf2=-e2-1,解得e,即e的最大值为.答案:2.已知椭圆c1的方程为+y2=1,双曲线c2的左、右焦点分别是c1的左、右顶点,而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点,o为坐标原点.(1)求双曲线c2的方程.(2)若直线l:y=kx+与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b,且2,求k的取值范围.【解析】(1)设双曲线c2的方程为-=1(a0,b0)
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