2020_2021学年新教材高中数学课时素养评价四十简单随机抽样含解析北师大版必修1202009212160.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包56套北师大版必修1
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2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包56套北师大版必修1,文本
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单元素养评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(2020全国卷)已知集合a=x|x|1,xz,则ab=()a. b.-3,-2,2,3)c.-2,0,2d. -2,2【解析】选d.因为a=xx1,xz=xx1或x-1,xz,所以ab=2,-2.2.命题“x(0,+),exx+1”的否定是()a.x(0,+),exx+1b.x(0,+),exx+1c.x(0,+),exx+1d.x(-,0,exx+1【解析】选c.命题为全称量词命题,则命题“x(0,+),exx+1”的否定是“x(0,+),exx+1”.3.若集合a=x|x-1b.rc.-2,-3d.-3,-1,0,1【解析】选c.因为-2a,-3a,所以-2,-3a.【补偿训练】已知ab,ac,b=-2,0,1,9,c=1,3,6,9,则集合a可以为()a.1,3b.1,9c.-2,0d.-2,3【解析】选b.由已知条件可得:bc=1,9,又ab,ac,所以集合a可以为1,9.4.若a,b,cr且ab,则下列不等式成立的是()a.a2b2b.1ab|c|d.ac2+1bc2+1【解析】选d.选项a:a=0,b=-1,符合ab,但不等式a2b2不成立,故本选项是错误的;选项b:当a=0,b=-1符合已知条件,但零没有倒数,故1ab|c|不成立,故本选项是错误的;选项d:因为c2+10,所以根据不等式的性质,由ab能推出ac2+1bc2+1.5.已知a,br,则“a+2b=0”是“ab=-2”成立的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.ab=-2a+2b=0,反之不成立.所以 “a+2b=0”是“ab=-2”成立的必要不充分条件.6.某市原来居民用电价为0.52元/kwh,换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kwh,谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kwh.对于一个平均每月用电量为200 kwh的家庭,换装分时电表后,每月节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为()a.110 kwhb.114 kwhc.118 kwhd.120 kwh【解析】选c.设每月峰时段的平均用电量为x kwh,则谷时段的用电量为(200-x)kwh;根据题意,得:(0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x)2000.5210%,解得x118.所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118 kwh.7.已知2a+10的解集是()a.x|x-ab.x|x5a或x-ac.x|-ax5ad.x|5ax-a【解析】选a.方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a.因为2a+10,所以a5a.结合二次函数y=x2-4ax-5a2的图象,得原不等式的解集为x|x-a,故选a.8.若0x12,则函数y=x1-4x2的最大值为()a.1b.12c.14d.18【解析】选c.因为0x0,所以x1-4x2=122x1-4x2124x2+1-4x22=14,当且仅当2x=1-4x2,即x=24时等号成立.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.(2020宿迁高一检测)已知集合a=2,5),b=(a,+).若ab,则实数a的值可能是()a.-3b.1c.2d.5【解析】选ab.因为ab,所以axyd.|x+y|2|xy|【解析】选bcd.因为x与1x同号,所以x+1x=|x|+1|x|2,a正确;当x,y异号时,b不正确;当x=y时,x2+y22=xy,c不正确;当x=1,y=-1时,d不正确.11.已知2x3,2y3,则() a.2x+y的取值范围为(6,9)b.2x-y的取值范围为(2,3)c.x-y的取值范围为(-1,1)d.xy的取值范围为(4,9)【解析】选acd.因为2x3,2y3,所以4xy9,42x6,所以62x+y9,而-3-y-2,所以12x-y4,-1x-y0的充分不必要条件是()a.-12x3b.-12x0c.1x2d.-1x0,可得2x2-5x-30,解得-12x3,由此可得:选项a,-12x0成立的充要条件;选项b,-12x0成立的充分不必要条件;选项c,1x0成立的充分不必要条件;选项d,-1x0成立的必要不充分条件.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知集合m=1,m+1,m2+4,如果5m,那么m=.【解析】当m+1=5时,m=4,此时集合m=1,5,20,符合题意,当m2+4=5时,m=1或-1,若m=1,集合m=1,2,5,符合题意,若m=-1,集合m=1,0,5,符合题意,综上所求,m的值为4或1或-1.答案:4或1或-114.二次函数y=ax2+bx+c(xr)的部分对应值如表:x-3-2-101234y60-4-6-6-406则a=;不等式ax2+bx+c0的解集为.【解析】由表知x=-2时y=0,x=3时,y=0,所以二次函数y=ax2+bx+c可化为y=a(x+2)(x-3).又因为x=1时,y=-6,所以a=1,图象开口向上,结合二次函数的图象可得不等式ax2+bx+c0的解集为x|x3.答案:1x|x315.已知a=x|1x2,b=x|x2-2ax+a2-1a-1,所以b=x|a-1xa+1.因为ab,所以a-11a+12,解得1a2.答案:1a216.若正数a,b满足a+b=1,则13a+2+13b+2的最小值为.【解析】由a+b=1,知13a+2+13b+2=3b+2+3a+2(3a+2)(3b+2)=79ab+10,又aba+b22=14(当且仅当a=b=12时等号成立),所以9ab+10494,所以79ab+1047.答案:47四、解答题(共70分)17.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)任何一个实数除以1,仍等于这个数;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(3)xr,(x+1)20;(4)xr,x22.【解析】(1)命题中含有全称量词“任何一个”,故是全称量词命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,是存在量词命题.(3)命题中含有全称量词“”,是全称量词命题.(4)命题中含有存在量词“”,是存在量词命题.18.(12分)已知集合a=x|-5x32,b=x|x2,u=r.(1)求ab,a(ub);(2)若c=x|2m-1x3m+1,且bc=u,求m的取值范围.【解析】(1)因为集合a=x|-5x32,b=x|x2,所以ab=xx32或x2,因为u=r,b=x|x2,所以ub=x|1x2.所以a(ub)=x1x32.(2)依题意得:2m-13m+1,2m-1-2,m1,m13,所以13m0,q:ax-40,其中ar,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题知ba.当a=2时,a=4,检验当a=4时,a=1,2,4,16,b=1,2符合题意.当a=4时,a=16,检验当a=16时,a=1,2,4,256,b=1,4符合题意.当a=a2时,a=0或1,检验当a=0时,a=1,2,4,0,b=1,0符合题意.当a=1时,a=1,2,4,1,由于元素的互异性,所以舍去.综上:a=4或a=16或a=0.(2)设a=x|x2,b=x|ax-40,因为p是q的必要不充分条件,所以b a.当a0时,4a2,所以0a2.当a0,即b=,符合题意.综上:0a0,且xy,因为x+y2-2xyx+y=(x+y)2-4xy2(x+y)=(x-y)22(x+y)0,所以x+y22xyx+y,所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,即乙的购买方式更实惠.证法二(分析法):依题意x,y0,且xy,要证:x+y22xyx+y,只需证:(x+y)24xy只需证:x2+y22xy,只需证:xy(已知).所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,即乙的购买方式更实惠.21.(12分)解关于x的不等式x2+3ax-4a20(ar).【解析】由于x2+3ax-4a20可化为(x-a)(x+4a)-4a,即a0时,解不等式得-4axa;当a-4a,即a0时,解不等式得ax0时,不等式的解集为x|-4axa;当a0时,不等式的解集为x|ax-4a.22.(12分)(2020滨州高一检测)为了缓解市民吃肉难的生活问题,某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1 000元,猪肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速度(km/h)值的2倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)(1)若汽车的速度为每小时50千米,试求运输的总费用.(2)为使运输的总费用不超过1 260元,求汽车行驶速度的范围.(3)若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶?【解析】(1)当汽车的速度为每小时50千米时,运输的总费用为:1205060+1 000+250=1 244(元).(2)设汽车行驶的速度为x km/h,由题意可得:120x60+1 000+2x1 260,化简得x2-130x+3 6000,解得40x90,故为使运输的总费用不超过1 260元,汽车行驶速度不低于40 km/h时,不高于90 km/h.(3)设汽车行驶的速度为x km/h,则运输的总费用为120x60+1 000+2x=2x+7 200x+1 00022x7 200x+1 000=1 240,当2x=7 200x,即x=60时取得等号,故若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时60千米的速度行驶.- 10 -单元素养评价(三)(第三至第五章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.下列函数中定义域与值域相同的是()a.f(x)=21xb.f(x)=lg xc.f(x)=2x-1d.f(x)=lgx【解析】选c.a中,定义域为(0,+),值域为(1,+);b中,定义域为(0,+),值域为r;c中,由2x1,得x0,所以定义域与值域都是0,+);d中,由lg x0,得x1,所以定义域为1,+),值域为0,+).2.已知函数f(x)=log2x(x0),3x(x0)则ff14的值是()a.9b.19c.-19d.-9【解析】选b.因为x0时,f(x)=log2x,所以f14=log214=log22-2=-2,又因为x0时,f(x)=3x,所以f(-2)=3-2=19.所以ff14=f(-2)=19.3.(2019北京高考)下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()a.y=x12b.2-xc.y=log12xd.y=1x【解析】选a.函数y=x12=x,在(0,+)上单调递增,函数y=2-x=12x,y=log12x,y=1x在(0,+)上都是单调递减的.4.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()a.-14,0b.0,14c.14,12d.12,34【解析】选c.因为f14=e14-20,所以f14f120,且a1)与g(x)=-x+a的图象大致是()【解析】选a.因为g(x)=-x+a是r上的减函数,所以排除选项c,d.由选项a,b的图象知,a1.因为g(0)=a1,所以选项a符合题意.6.已知函数f(x)=2x-12x+1,若f(a)=b,则f(-a)=()a.bb.-bc.1bd.-1b【解析】选b.易知函数f(x)=2x-12x+1为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-b.7.(2020北京高考)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)0的解集是()a.(-1,1)b.(-,-1)(1,+)c.(0,1)d.(-,0)(1,+)【解析】选d.结合选项,发现区间端点有-1,0,1,特殊值法,检验f(2)=10,所以解集里有2,排除a,c,f(-1)=120,所以解集里有-1,排除b,选d.8.已知函数y=loga(3-ax)在0,1上单调递减,则a的取值范围是()a.(0,1)b.(1,3)c.(0,3)d.(3,+)【解析】选b.当0a1时,u=3-ax是减函数,y=logau是增函数,所以y=loga(3-ax)在0,1上单调递减,又3-ax在0,1上大于0,所以3-a0,故a3,所以1a1时,可得ymin=1a,ymax=a,那么1a+a=52,解得a=2a=12舍去,当0a0,a1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有()a.a1b.0a0d.b0,a1)的图象经过第一、三、四象限,所以a1,b-11且b8lg22d.b-alg 6,ab=2lg 22lg 5=4lg 2lg 54lg 2lg 4=8lg22.12.如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是 ()a.浮萍每月的增长率为2b.浮萍每月增加的面积都相等c.第4个月时,浮萍面积不超过80 m2d.若浮萍蔓延到2 m2,4 m2,8 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则2t2=t1+t3【解析】选ad.由题干图可知,函数过点(1,3),所以a=3,所以函数解析式为y=3t,所以浮萍每月的增长率为:3t+1-3t3t=23t3t=2,故选项a正确;因为函数y=3t是指数函数,是曲线型函数,所以浮萍每月增加的面积不相等,故选项b错误;当t=4时,y=34=8180,故选项c错误;对于d选项,因为3t1=2,3t2=4,3t3=8,所以t1=log32,t2=log34,t3=log38,又因为2log34=log316=log32+log38,所以2t2=t1+t3,故选项d正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是.【解析】设f(x)=x3-2x-5,则f(2)0,f(4)0,有f(2)f(3)2(a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是.【解析】当x2时,y=-x+64,依题意得3+loga24,a1,解得1a2,即实数a的取值范围是(1,2.答案:(1,215.(2019全国卷)已知f(x)是奇函数,且当x0,所以-ln 20,a1)的图象恒过定点a,若点a也在函数f(x)=3x+b的图象上,求b的值.【解析】当x+3=1,即x=-2时,对任意的a0,且a1都有y=loga1-89=0-89=-89,所以函数y=loga(x+3)-89的图象恒过定点a-2,-89,若点a也在函数f(x)=3x+b的图象上,则-89=3-2+b,所以b=-1.19.(12分)已知函数f(x)=3x,且f(a)=2,g(x)=3ax-4x.(1)求g(x)的解析式;(2)当x-2,1时,求g(x)的值域.【解析】(1)由f(a)=2得3a=2,a=log32,所以g(x)=(3a)x-4x=(3log32)x-4x=2x-4x=-(2x)2+2x.所以g(x)=-(2x)2+2x.(2)设2x=t,因为x-2,1,所以14t2.g(t)=-t2+t=-t-122+14,由g(t)在t14,2上的图象可得,当t=12,即x=-1时,g(x)有最大值14;当t=2,即x=1时,g(x)有最小值-2.故g(x)的值域是-2,14.20.(12分)已知f(x)=(log12x)2-2log12x+4,x2,4.(1)设t=log12x,x2,4,求t的最大值与最小值;(2)求f(x)的值域.【解析】(1)因为函数t=log12x在2,4上单调递减,所以tmax=log122=-1,tmin=log124=-2.(2)令t=log12x,则g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,由(1)得t-2,-1,因此当t=-2,即x=4时,f(x)max=12;当t=-1,即x=2时,f(x)min=7.因此,函数f(x)的值域为7,12.21.(12分)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?【解析】(1)当x6时,y=50x-115,令50x-1150,解得x2.3,因为x为整数,所以3x6,xz.当x6时,y=50-3(x-6)x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-1150,有3x2-68x+1150,结合x为整数得6x20,xz.所以f(x)=50x-115(3x6,xz),-3x2+68x-115(6x20,xz).(2)对于y=50x-115(3x6,xz),显然当x=6时,ymax=185;对于y=-3x2+68x-115=-3x-3432+8113(6185,所以当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.22.(12分)已知函数f(x)=loga(3-ax).(1)当x0,2时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上单调递减,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)因为a0且a1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数.当x0,2时,t(x)的最小值为3-2a.当x0,2时,f(x)恒有意义,即当x0,2时,3-ax0恒成立,所以3-2a0,所以a0且a1,所以a的取值范围是(0,1)1,32.(2)t(x)=3-ax,因为a0,且a1,所以函数t(x)为减函数.因为f(x)在区间1,2上单调递减,所以y=logat为增函数,所以a1,x1,2时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),所以3-2a0,loga(3-a)=1,即a32,a=32.故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上单调递减,并且最大值为1.- 8 -单元素养评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.函数f(x)=1x+1+4-2x的定义域为()a.-1,2b.(-1,2c.2,+)d.1,+)【解析】选b.由x+10,4-2x0,得-11,则f1f(2)的值为()a.-1b.34c.1516d.4【解析】选c.因为f(2)=22+2-2=4,所以f1f(2)=f14=1-142=1516.3.已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)=()a.0b.-1c.1d.2【解析】选a.f(x)=x3+2x是r上的奇函数,故f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.4.(2020南京高一检测)幂函数y=xa2-2a-3是偶函数,且在(0,+)上单调递减,则整数a的值是()a.0或1b.1或2c.1d.2【解析】选c.因为幂函数y=xa2-2a-3是偶函数,且在(0,+)上单调递减,所以a2-2a-30,az,a2-2a-3是偶数.解得a=1.5.函数f(x)=ax3+bx+4(a,b不为零),且f(5)=10,则f(-5)等于()a.-10b.-2c.-6d.14【解析】选b.因为f(5)=125a+5b+4=10,所以125a+5b=6,所以f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.6.已知函数fx+1x=x2+1x2+3,则f(3)=()a.8b.9c.10d.11【解析】选c.因为fx+1x=x2+1x2+3=x+1x2+1,所以f(x)=x2+1(x-2或x2),所以f(3)=32+1=10.7.如果函数f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么()a.f(2)f(1)f(4)b.f(1)f(2)f(4)c.f(4)f(2)f(1)d.f(2)f(4)f(1)【解析】选a.由f(2+t)=f(2-t),可知抛物线的对称轴是直线x=2,再由二次函数的单调性,可得f(2)f(1)f(4).8.定义在r上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x20,+)(x1x2),有f(x2)-f(x1)x2-x10,且f(2)=0,则不等式xf(x)0的解集是()a.(-2,2)b.(-2,0)(2,+)c.(-,-2)(0,2)d.(-,-2)(2,+)【解析】选b.因为f(x2)-f(x1)x2-x12时,f(x)0;当0x0,又f(x)是偶函数,所以当x-2时,f(x)0;当-2x0,所以xf(x)0的解集为(-2,0)(2,+).二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.定义运算ab=a(ab)b(ab),设函数f(x)=12-x,则下列命题正确的有()a.f(x)的值域为1,+b.f(x)的值域为0,1c.不等式f(x+1)f(2x)成立的范围是(-,0)d.不等式f(x+1)0,f(x)的图象为所以f(x)的值域为1,+),a对;因为f(x+1)2x,x+10或2x0,所以x1,x-1或x-1,所以x-1或-1x0,所以x0时,f(x)=x2-2x,则x0时,f(x)=-x2-2x【解析】选abd. f(x)为r上的奇函数,则f(0)=0,a正确;其图象关于原点对称,且在对称区间上具有相同的单调性,最值相反且互为相反数,所以b正确,c不正确;对于d,x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-2x,即d正确.12.关于函数f(x)=|x|-1,有下列结论,正确的结论是()a.函数是偶函数b.函数在(-,-1)上递减c.函数在(0,1)上递增d.函数在(-3,3)上的最大值为1【解析】选abd.函数满足f(-x)=f(x),是偶函数;作出函数图象,可知在(-,-1),(0,1)上递减,(-1,0),(1,+)上递增,当x(-3,3)时,f(x)max=f(0)=1.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知函数f(x),g(x)分别由表给出,则g(f(2)=.x123f(x)131g(x)321【解析】由题表可得f(2)=3,g(3)=1,故g(f(2)=1.答案:114.已知f(x)为r上的减函数,则满足f1xf(1)的实数x的取值范围为.【解析】因为f(x)在r上是减函数,所以1x1或x0.答案: (-,0)(1,+)15.已知函数f(x)是奇函数,当x(-,0)时,f(x)=x2+mx,若f(2)=-3,则m的值为.【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=3,所以(-2)2-2m=3,解得m=12.答案:1216.符号x表示不超过x的最大整数,如3.14=3,-1.6=-2,定义函数:f(x)=x-x,则下列说法正确的是.f(-0.8)=0.2;当1x2时,f(x)=x-1;函数f(x)的定义域为r,值域为0,1);函数f(x)是增函数,奇函数.【解析】f(x)=x-x,则f(-0.8)=-0.8-(-1)=0.2,正确,当1x2时,f(x)=x-x=x-1,正确,函数f(x)的定义域为r,值域为0,1),正确,当0x1时,f(x)=x-x=x;当1x0).从而f(f(x)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=16x+5,所以a2=16,ab+b=5,解得a=4,b=1或a=-4,b=-53(不合题意,舍去).所以f(x)的解析式为f(x)=4x+1.(2)g(x)=f(x)(x+m)=(4x+1)(x+m)=4x2+(4m+1)x+m,g(x)图象的对称轴为直线x=-4m+18.若g(x)在(1,+)上单调递增,则-4m+181,解得m-94,所以实数m的取值范围为-94,+.18.(12分)已知f(x)=f(x+1),-2x0,2x+1,0x0,求实数a的值.(2)求f-32的值.【解析】(1)若0a2,则f(a)=2a+1=4,解得a=32,满足0a2;若a2,则f(a)=a2-1=4,解得a=5或a=-5(舍去),所以a=32或a=5.(2)由题意,f-32=f-32+1=f-12=f-12+1=f12=212+1=2.19.(12分)已知奇函数f(x)=px+qx+r(p,q,r为常数),且满足f(1)=52,f(2)=174.(1)求函数f(x)的解析式.(2)试判断函数f(x)在区间0,12上的单调性,并用函数单调性的定义进行证明.(3)当x0,12时,f(x)2-m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以r=0.又f(1)=52,f(2)=174即p+q=52,2p+q2=174.解得p=2,q=12,所以f(x)=2x+12x.(2)f(x)=2x+12x在区间0,12上单调递减.证明如下:设任意的两个实数x1,x2,且满足0x1x212,则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+12x1-12x2=2(x1-x2)+x2-x12x1x2=(x2-x1)(1-4x1x2)2x1x2.因为0x10,0x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x)=2x+12x在区间0,12上单调递减.(3)由(2)知f(x)=2x+12x在区间0,12上的最小值是f12=2.要使当x0,12时,f(x)2-m恒成立,只需当x0,12时,f(x)min2-m,即22-m,解得m0即实数m的取值范围为0,+).20.(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低,根据实测的结果,上升到12 km为止,温度的降低大体上与升高的距离成正比,在12 km以上温度一定,保持在-55 .(1)当地球表面大气的温度是a 时,在x km的上空为y ,求a、x、y间的函数关系式.(2)问当地表的温度是29 时,3 km上空的温度是多少?【解析】(1)由题意知,可设y-a=kx(0x12,k12时,y=-55.所以所求的函数关系式为y=a-x12(55+a),0x12,-55,x12.(2)当a=29,x=3时,y=29-312(55+29)=8,即3 km上空的温度为8 .21.(12分)已知函数f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,对任意a,b-1,1,a+b0时有f(a)+f(b)a+b0成立.(1)解不等式f(x+12)f(1-2x).(2)若f(x)m2-2am+1对任意a-1,1恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)任取x1,x2-1,1,x10,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x)在-1,1上单调递增,原不等式等价于x+121-2x,-1x+121,-11-2x1,所以0x16,原不等式的解集为0,16.(2)由(1)知f(x)f(1)=1,即m2-2am+11,即m2-2am0,对a-1,1恒成立.设g(a)=-2ma+m2,若m=0,显然成立;若m0,则g(-1)0g(1)0,即m-2或m2,故m-2或m2或m=0.22.(12分)已知函数f(x)=3-x2,x-1,2,x-3,x(2,4.(1)画出f(x)的图象.(2)写出f(x)的单调区间,并指出单调性(不要求证明).(3)若函数y=a-f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)由分段函数的画法可得f(x)的图象.(2)单调区间:-1,0,0,2,2,4,f(x)在-1,0,2,4上递增,在0,2上递减.(3)函数y=a-f(x)有两个不同的零点,即为f(x)=a有两个实根,由图象可得,当-1a1或2a3时,y=f(x)与y=a有两个交点,则a的范围是(-1,12,3).- 10 -单元素养评价(五)(第七章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列事件是随机事件的是()同种电荷,互相排斥;明天是晴天;自由下落的物体做匀速直线运动;函数y=ax(a0且a1)在定义域上是增函数.a.b.c.d.【解析】选c.是随机事件,是必然事件,是不可能事件.2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件:“两球都不是白球;两球恰有一白球;两球至少有一个白球”中的()a.b.c.d.【解析】选a.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,所有的样本点为:白白,白红,白黑,红红,红黑,黑黑.除“两球都不是白球”外,还有其他事件如白红可能发生,故与“两球都为白球”互斥但不对立.除“两球都为白球”和“两球恰有一白球”外,还有其他事件,如无白球,故与“两球都为白球”互斥但不对立.两球至少有一个白球,其中包含两个都是白球,故不互斥.3.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例,勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年,我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a,b,c)称为勾股数.现从(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25),(15,36,39)这几组勾股数中随机抽取1组,则被抽出的这组勾股数满足2b=a+c的概率为()a.25b.79c.78d.910【解析】选a.从这10组勾股数随机抽取1组,共10种抽取方法,其中满足2b=a+c的有:(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(15,20,25),共4种,故所求概率为p=410=25.4.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数,设事件a为“出现奇数点”,事件b为“出现2点”,已知p(a)=12,p(b)=16,则“出现奇数点或2点”的概率为()a.16b.13c.12d.23【解析】选d.因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥,所以p=p(a)+p(b)=12+16=23.5.下列试验属于古典概型的有()从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球,取出的球为红色的概率;在公交车站候车不超过10分钟的概率;同时抛掷两枚硬币,观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数;a.0个b.1个c.2个d.3个【解析】选b.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性,符合两个特征,是古典概型;中的样本点的个数无限多;对于,出现“两正”“两反”“一正一反”的可能性不相等,故不是古典概型.6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()a.23b.25c.35d.910【解析】选d.事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”,从五位学生中选三人的总的样本点的个数为10,“甲和乙都未被录用”只有1种情况,根据古典概型和对立事件的概率公式可得,甲或乙被录用的概率p=1-110=910.7.某运动会期间,从来自a大学的2名志愿者和来自b大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务,至少有一名a大学志愿者的概率是()a.115b.25c.35d.1415【解析】选c.用列举法可得样本空间中样本点的总数为15,所求概率的事件包括的样本点的个数为9,所以p=915=35.8.一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2 min.则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为()a.13b.227c.427d.527【解析】选c.设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件a,因为事件a等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件a的概率为p(a)=1-131-1313=427.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.在一个古典概型中,若两个不同的随机事件a,b发生的概率相等,则称a和b是“等概率事件”,如:随机抛掷一枚骰子一次,事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”,以下判断正确的是()a.在同一个古典概型中,所有的样本点之间都是“等概率事件”b.若一个古典概型的事件总数大于2,则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”c.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”d.同时抛掷三枚硬币一次,则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”【解析】选ad.对于a,由古典概型的定义知,所有样本点的概率都相等,故所有样本点之间都是“等概率事件”,故a正确;对于b,如在1,3,5,7,9五个数中,任取两个数,所得和为8和10这两个事件发生的概率相等,故b错误;对于c,由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的,故c不正确;对于d,同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果,其中“仅有一个正面”包含3种结果,其概率为38,“仅有两个正面”包含3种结果,其概率为38,故这两个事件是“等概率事件”,故d正确.10.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598根据表中数据,下列结论正确的是()a.顾客购买乙商品的概率最大b.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2c.顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3d.顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3【解析】选bcd.对于a,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故a错误;对于b,因为从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000=0.2,故b正确;对于c,因为从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001 000=0.3,故c正确;对于d,因为从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.1830.2,故d正确.11.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表:投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中,“投中两分球”为事件a,“投中三分球”为事件b,“没投中”为事件c,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是()a.pa=0.55b.pb=0.18c.pc=0.27d.pb+c=0.55【解析】选abc.由题意可知,pa=55100=0.55,p(b)=18100=0.18,事件a+b与事件c为对立事件,且事件a,b,c互斥,所以pc=1-pa+b=1-pa-pb=0.27,p(b+c)=pb+pc=0.45.12.一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是()a.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12b.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16c.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12d.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16【解析】选acd.记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.a选项,样本空间=(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a),“恰有1件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率p=36=12,a正确;b选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间=(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1)(a,2),(a,3),因此n()=12,b错误;c选项,“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6,其概率为12,c正确;d选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间=(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),因此n()=16,d正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.若a,b是相互独立事件,且p(a)=12,p(b)=23,则p(ab)=,p(ab)=.【解析】因为p(a)=12,p(b)=23,所以p(a)=1-p(a)=1-12=12,p(b)=1-23=13.因为a,b相互独立,所以a与b,a与b相互独立,所以p(ab)=p(a)p(b)=1213=16,p(ab)=p(a)p(b)=1213=16.答案:161614.九章算术是中国古代数学专著,全书采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题.现拟编试题如下:已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税,则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为.【解析】依题意,所有的样本点为:甲乙丙丁,甲乙丁丙,甲丙乙丁,甲丙丁乙,甲丁丙乙,甲丁乙丙,乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种,故总的样本点数有24种,其中满足条件的样本点为:甲乙丁丙,甲乙丙丁,甲丙丁乙,甲丁丙乙,共4种,故所求概率为424=16.答案:1615.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则3个矩形颜色都相同的概率是,3个矩形颜色都不同的概率是.【解析】以“红黄蓝”表示从左到右三个矩形所涂的颜色,则所有的样本点有:红红红、红红黄、红红蓝、红黄红、红黄黄、红黄蓝、红蓝红、红蓝黄、红蓝蓝、黄红红、黄红黄、黄红蓝、黄黄红、黄黄黄、黄黄蓝、黄蓝红、黄蓝黄、黄蓝蓝、蓝红红、蓝红黄、蓝红蓝、蓝黄红、蓝黄黄、蓝黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、蓝蓝蓝,共27个样本点,事件“3个矩形颜色都相同”所包含的样本点有:红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝,共3个,所以3个矩形颜色都相同的概率是327=19.事件“3个矩形颜色都不同”所包含的样本点有:红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄,共6个,所以3个矩形颜色都不同的概率是627=29.答案:192916.在一次数学考试中,第22题和第23题为选做题,规定每名学生必须且只需在其中选做一题.设4名学生选做这两题的可能性均为12.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为;甲、乙2名学生都选做第22题的概率为.【解析】设事件a表示“甲选做第22题”,事件b表示“乙选做第22题”,则甲,乙2名学生选做同一道题的事件为“ab+ab”,且事件a,b相互独立,所以p(ab+ab)=p(a)p(b)+p(a)p(b)=1212+1-121-12=12.所以甲、乙2名学生选做同一道题的概率为12;因为p(a)p(b)=1212=14,所以甲、乙2名学生都选做第22题的概率为14.答案:1214四、解答题(共70分)17.(10分)某校在教师外出培训学习活动中,在一个月派出的培训人数及其概率如表所示:派出人数2人及以下3456人及以上概率0.10.460.30.10.04(1)求有4个人或5个人培训的概率;(2)求至少有3个人培训的概率.【解析】(1)设“有2人及以下培训”为事件a,“有3人培训”为事件b,“有4人培训”为事件c,“有5人培训”为事件d,“有6人及以上培训”为事件e,所以“有4个人或5个人培训”的事件为事件c或事件d,a,b,c,d,e为互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式可知p(cd)=p(c)+p(d)=0.3+0.1=0.4.(2)“至少有3个人培训”的对立事件为“有2人及以下培训”,所以由对立事件的概率可知p=1-p(a)=1-0.1=0.9.18.(12分)用一台自动机床加工一批螺母,从中抽出100个逐个进行直径(单位:cm)检验,结果如表:直径(单位:cm)个数直径(单位:cm)个数6.88,6.891(6.93,6.9426(6.89,6.902(6.94,6.9515(6.90,6.9110(6.95,6.968(6.91,6.9217(6.96,6.972(6.92,6.9317(6.97,6.982从这100个螺母中任意取一个,检验其直径的大小,求下列事件的频率:(1)事件a:螺母的直径在(6.93,6.95内;(2)事件b:螺母的直径在(6.91,6.95内;(3)事件c:螺母的直径大于6.96.【解析】(1)螺母的直径在(6.93,6.95内的频数为na=26+15=41,所以事件a的频率为41100=0.41.(2)螺母的直径在(6.91,6.95内的频数为nb=17+17+26+15=75.所以事件b的频率为75100=0.75.(3)螺母的直径大于6.96的频数为nc=2+2=4,所以事件c的频率为4100=0.04.19.(12分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若以a表示和为6的事件,求p(a);(2)现连玩三次,若以b表示甲至少赢一次的事件,c表示乙至少赢两次的事件,试问b与c是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【解析】
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