材力 第4章弯曲内力

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力1.以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁受力特点受力特点：作用在杆上的所有外力都垂直于杆轴。变形特点变形特点：变形前为直线的杆轴线，变形后为曲线。4-1 4-1 工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题下承式拱桥下承式拱桥起重机大梁起重机大梁摇摇臂臂钻钻的的伸伸臂臂车削工件车削工件火车轮轴火车轮轴跳板跳板具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成外力所在对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成外力所在对称面内的平面曲线2. 平面弯曲平面弯曲纵向对称平面杆轴挠曲线FFAFBm1). 支座的简化支座的简化固定

2、铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端 3. 受弯杆件的简化受弯杆件的简化支座的简化支座的简化2). 载荷的简化载荷的简化集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA3). 静定梁的基本形式静定梁的基本形式吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷例： 短滑动轴承，可简化为简支梁。火车轮轴简化火车轮轴简化工件的简化工件的简化FAyFQM 0yF1QAyFFF0CM)(1axFxFMAy FQ 剪力剪力，平行于横截面的内力合力，平行于横截面的内力合力, , M 弯矩

3、弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。34-2 4-2 剪力与弯矩剪力与弯矩 1.1.基本法基本法M解：解：1. 确定支反力确定支反力FAyFBy0BM320AyFaFF a0yF 20AyByFFF3FFBy35FFAy例例4-1 4-1 求图示简支梁求图示简支梁E截面的内力截面的内力. .MFAy3FFBy5,3AyFF2. 用截面法求内力用截面法求内力ME 0yF5203EQFFF0OM5320232EaFaMF( )3EQFF 23FaMEFQEFAyFByOFByFQEMEO,3ByFF35FFAy分析右段得到：分析右段得到： 0yF0EQByFF(

4、 )3EFQ 0oM302EByaMFFa23FaMEMFAyFBy 截面上的剪力对梁上任截面上的剪力对梁上任意一点的矩为意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之为负。反之为负。+_ 截面上的弯矩使得梁截面上的弯矩使得梁呈呈凹形凹形为为正；正；反之为负。反之为负。+_ 左上右下左上右下为正；为正；反之为负反之为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之为负反之为负FAyMEOFByFQEMEOFQEFAyFBy,3ByFF35FFAy截面上的剪力等于截面任截面上的剪力等于截面任一侧横向外力的代数和。一侧横向外力的代数和。FAyFQE53EQFF2FFQEF23FFAyFBy,

5、3ByFF35FFAy 截面上的弯矩等于截面任一侧截面上的弯矩等于截面任一侧横向外力对截面形心力矩的代数和。横向外力对截面形心力矩的代数和。MEFAy2335aFME22aF Fa232FME(1)梁内任一截面的剪力FQ: 左上右下的外力引起正左上右下的外力引起正 值剪力值剪力,反之负值剪力反之负值剪力。QiFF一侧(2) 梁内任一截面的弯矩M: 左顺右逆的外力矩引起左顺右逆的外力矩引起 正值弯矩正值弯矩,反之引起负值弯矩反之引起负值弯矩。oiMmF一侧1m1m1m1m1m2mAP1=1kNP3=3kNP2=2kNm1=2kNmm2=1kNmq=2kN/m1 11 11mB求图示悬臂梁11截面

6、的内力。112132154217kN m2MPPmPmq 1123 10QFPPPq ABlxFBFAq求：距A端x的截面内力(1) 求反力 ()2ABqlFF对称(2)求内力( )QFx)( xMFQ(x) 称为剪力方程， M(x)称为弯矩方程。xAFAqxQFMx 02xQqlFqxxllxxqxqlMx0 2224-3 4-3 剪力剪力图和图和弯矩图弯矩图( )2 0QqlFxqxxllxxqxqlxM0 22)(2ABlxFBFAq+82qlM+2ql2qlFQ根据剪力方程和弯矩方程画内力图：ABlxFBFAq+82qlM+2ql2qlFQ 对齐平行原梁。 控制点的坐标必须标上。 剪力

7、图标明正负号；弯矩图画在受压侧（土木专业画在受拉侧）。 8/2qlq例例4-34-3 悬臂梁受均布载荷作悬臂梁受均布载荷作用用, ,试写出剪力和弯矩方程试写出剪力和弯矩方程，并，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x，写出剪写出剪力和弯矩方程力和弯矩方程x 0QFxqxxl lxqxxM02/2由方程画出剪力由方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll最大剪力和弯矩分别为：最大剪力和弯矩分别为：max,QFql2/2maxqlMqx xM QFx 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：(1) 求反力, ABFbFaFFLL(2) 列剪力方程和弯矩方

8、程AC段( ), 0QAFbFxFxaL( ), 0AFbM xF xxxaLCB段( ),QAFbFaFxFFF axlLL ( )()(),AFbM xF xF xaxF xa axlLFABCFAFBLabxxFACFAFBLab(3) 绘图BMFabLFQFbLFaLAC段( ) 0QFbFxxaL( ) 0FbM xxxaLCB段( )QFbFaFxFLL axl ( )()FbM xxF xaL axlFABCFAFBLFQFbLabMFabLFaLC点为集中力作用点，剪力图在C点发生突变，即C点左、右两侧截面上的剪力值不同，两者的代数差等于该集中力的值。(4) 讨论 画图示梁的内

9、力图。解： 求反力 列内力方程00, ABmmFFLL0( ), 0QRAmFxFxLL剪力方程弯矩方程)(xM0, 0AmF xxxaL000, AmF xmxmaxLLabm0ABLFAFBxxabm0ABLFAFBFQLm0bLm0aLm0 绘图M)(xM0 0mxLxa00 mxmLaxL0( ) 0QmFxLxL)(xMabm0ABLFAFBFQLm0bLm0aLm0M0m0m 讨论 集中集中力偶作用点，力偶作用点，弯矩值发生突弯矩值发生突变变，突变值等于集中力偶矩(顺上逆下)。( )2QqlFxqx22)(2qxxqlxM( )2QdMqlqxFxdxQdFqdx (方向向下)引例

10、引例4-4 4-4 剪力剪力、弯矩与载荷集度间的关系弯矩与载荷集度间的关系ABlxFBFAq+82qlM+2ql2qlFQ证明：证明：载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：22( )( )( )QdFxd M xq xdxdx( ) ( )( )( )0QQQFxFxdFxq x dx( )( )QdFxq xdx22( )( )d M xq xdx( )( )( )( )( )02QdxM xdM xM xFx dxq x dx q = 00,QdFqdx QFc 水平线,QdMFcdxdcxM 斜直线 qc,QdFcdx,QFcxd 斜直线,dMcxddxexdcxM22 抛

11、物线抛物线的凹凸性由M的二阶导数确定。qdxMd220q0q22( )( )( )QdFxd M xq xdxdxFq x xqMFs集中力作用点将发集中力作用点将发生剪力突变生剪力突变，突变方向，从左向右与集中力方向一致，突变值等于集中力的数值。在集中力作用点，弯矩图上出现尖点。22( )( )( )QdFxd M xq xdxdx3.3.直接绘图法直接绘图法- -利用微分关系画内力图利用微分关系画内力图根据载荷及约束力的作用位置，确定根据载荷及约束力的作用位置，确定控控制面制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。值。建立建立FQ- -x和和M- -

12、x坐标系，并将控制面上坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图与弯矩图( (控制截面法控制截面法) )。 BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例例4-64-6 简支梁受力的大小和简支梁受力的大小和方向如图示。方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。试画出其剪力图和弯矩图。 解解1 1：1 1确定约束力确定约束力0,0AyMF求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89

13、kN , FBy1.11 kN 由由 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 (+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 FQx 和和 Mx 坐标系坐标系 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线4 4应用直接外力法确定应用直接外力法确定控制截面上的剪力值和弯控制截面上的剪力值和弯矩值，并将其标在矩值，并将其标在 FQ x和和 Mx 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3351.

14、67(-)(-)0.335xFQ(kN)O0.89 kN=1.11 kNqBAFAyFBy例例4-74-7试画出梁剪力图和弯试画出梁剪力图和弯矩图。矩图。 解解1 1：1 1确定约束力确定约束力00,ABMM ,9434AyByFqaFqaqa2 2确定控制面确定控制面 由于由于AB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A、B两个两个截面为控制面，约束力截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。 C（+）（-）qBAFAyFByC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FQx和和Mx坐坐标系标系 O

15、FQxOMx4 4确定控制面上的剪确定控制面上的剪力值，并将其标在力值，并将其标在F FQx中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的弯确定控制面上的弯矩值，并将其标在矩值，并将其标在Mx中。中。qa49qa43（+）00220009( )0,41()81/322QAyAyF xFqxxaM xF xqxqa M （+） （-）qBAaFAyFBy FQ 9qa/4 7qa/4qa4/9a 81qa2/32qa24.4.叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图ql/8 = 2qa是竖标相加是竖标相加,不是不是图形的简单拼合图形的简单拼合.所求是抛物线的所求是抛物线的中值而不是极值中值而不是极值.qa/2（-）（-）（+）（+）（-） FQ例例4-84-8 试画出图示有中间试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。铰梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开FDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qaMqa2