解三角形中相关的取值范围问题讲课教案

1、文档编码 : CL1U10P6F8W3 HC1T5L7J10S8 ZP8Z9X10P10K4此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除解决与三角形相关的取值范畴问题例 1：在锐角 ABC中,A 2 B,就c b的取值范畴是例 2：如 ABC的三边 a b c 成等比数列,a b c 所对的角依次为 A B C ,就 sinBcosB 的取值范畴是a b c ,且acos , cos , cosA例 3：在ABC 中,角A B C 的对边分别为成等差数列；（1）求 B 的大小；（2）如b5,求ABC周长的取值范畴；3 2,就ABC中,a2b2c22ab ,如 ABC 的外接圆半径为例 4：在32A

2、BC的面积的最大值为只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除例 5：（2022,江苏）中意AB2,AC2BC 的ABC的面积的最大值是例 6：已知角A B C 是ABC 三个内角,a b c 是各角的对边,向量m1cos ABA , cos2B,n5,cosA2B,且m n988（1）求 tanAtanB的值；（2）求aabsinC c的最大值；2b2通过以上例题,我们发觉与三角形相关的取值范畴问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等学问综合考查； 这一类问题有利于考查同学对学问的 综合运用才能, 是高考命题的热点； 理顺这些基本

3、学问以及技巧和方 法可以提高我们解题的才能；期望本文能对同学们复习备考有所帮 助；巩固练习1在ABC中,a2,c1,就C 的取值范畴为2如钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边 长的比值为 m ,就 m 的取值范畴是只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除3在 Rt ABC 中,C2,且A B C 所对的边a b c 中意 abxc,就实数 x 的取值范畴为4在锐角ABC中,A2B,AC1,就 BC 的取值范畴是cosAcos C ,ABC 中,三个内角A B C 成等差数列,记M5在锐角就 M 的取值范畴是6已知锐角三角形的边长分别为1,3, a ,就 a 的取

4、值范畴是7 已 知ABC 外 接 圆 的 半 径 为 6 , 如 面 积SABCa2 bc2且sinBsinC4,就 sin A,SABC的最大值为38在ABC中,msinA ,cosC,ncosB,sinA ,且m nsinBsinC（1）求证：ABC为直角三角形（2）如ABC外接圆的半径为 1,求ABC 的周长的取值范畴9在ABC中A B C 所对的边分别为a b c,已知2 sinA3cosA（1）如a2c2b2mbc ,求实数 m 的值（2）如a3,求ABC面积的最大值；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除解决与三角形相关的取值范畴问题例 1：在锐角 ABC中,A 2

5、 B,就c b的取值范畴是解析：由 0 A 2 B 且0 C A B2 2得 B,所以 c sin C sin 3 B sin2 B cos B cos2 B sin B 4cos 2 B 1,6 4 b sin B sin B sin B又 cos B 2, 3 所以 c4cos 2B 1 1,22 2 b点评：此题易错在求 B 的范畴上,简洁忽视“ABC是锐角三角形”这个条件；此题涉及三角形边角之间的关系,考察边角互化,化多元为一元,表达明白题的通性通法；例 2：如ABC的三边a b c 成等比数列,a b c 所对的角依次为A B C ,就 sinBcosB 的取值范畴是理知解析：由题设

6、知b2ac,又余弦定cosBa2c2b2a2c2ac2 acac12ac2ac2ac2所 以 1 2所 以 0B3, 又s i nc o s2 s i n 4 4B 742 s i n 4即 sinB2 cosB 的取值范畴是 1, 2 ；点评：此题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等学问结合起来,有利于提高同学解题的综合才能；例 3：在ABC 中,角A B C 的对边分别为a b c ,且acos , cos , cosA成等差数列；（1）求 B 的大小；（2）如 b 5,求 ABC周长的取值范畴；解析：（1）由题意知 a cos C c cos A 2 cos B ,只供学习沟通用此文

7、档来源于网络,如有侵权请联系网站删除由正弦定理得 sin A cos C sin C cos A 2sin B cos B所以 sin A C 2sin B cos B ,于是 cos B 1, B2 3（2）由正弦定理 a b c 10,所以sin A sin B sin C 310 10 10 2 10a b c sin A 5 sin C 5 sin A sin A 5 10sin A 3 3 3 3 3 6又由 0 A 得 A 2,所以2 6 6 3a b c 5 10sin A 10,15；6点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形,达到

8、化简、求值域的目的；例 4：在ABC中,a2b2c22ab ,如 ABC 的外接圆半径为3 2,就32ABC的面积的最大值为解 析 ：又a2b2c22ab及余弦定理得cos Ca2b2c2a1,所以32ab3sinC2 2,2b22 ab3又由于c2RsinC4,所以c2a2b22 abcosC 即162ab3所以ab12,又由于S1absinC2ab4 2,故当且仅当ab2 323时,ABC的面积取最大值42点评：先利用余弦定理求cosA的大小,再利用面积公式结合基本不等式,求面积的最大值,要留意正弦定理与余弦定理的综合应用；例 5：（2022,江苏）中意AB2,AC2BC 的ABC的面积的

9、最大值是解析：设 BCx,就AC2x,只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除依据面积公式得SABC1AB BCsinBx12 cosB4x2x2 22,2由余弦定理得cosBAB22BC2AC242 x2 24AB BC4xx代入式得SABCx1 44x 22128 x2122x16,所以2 22由三角形三边关系有2xx2 且x22x故当x2 3时,SABC取得最大值 2 2 ；点评：此题结合函数的学问,以同学熟识的三角形为载体,考察了面积公式、余弦定理等学问,是一道考察解三角形的好题；例 6：已知角 A B C 是 ABC 三个内角,a b c 是各角的对边,向量m 1 co

10、s A B , cos A B,n 5 ,cos A B ,且 m n 92 8 2 8（1）求 tan A tan B的值；（2）求a 2 ab sinb 2 Cc的最大值；解析：由 m 1 cos A B ,cos A B ,n 5 ,cos A B ,且 m n 9 得2 8 2 85 1 cos A B cos 2 A B 9,所以 4cos A B 5cos A B ,8 2 8即 cos A cos B 9sin A sin B,所以 tan A tan B 19（2）由余弦定理得 2 ab sin2 C2 ab sin C 1 tan C,而a b c 2 ab cos C 2t

11、an A tan B 9 9 3tan A B tan A tan B 2 tan A tan B1 tan A tan B 8 8 4即tan A B 有最小值3 4,又 tan C tan A B ,所以 tanC 有最大值 34（当且仅当 tan A tan B 13 时取等号）所以a 2 ab sinb 2 Cc的最大值为 38通过以上例题,我们发觉与三角形相关的取值范畴问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除次函数、向量等学问综合考查； 这一类问题有利于考查同学对学问的 综合运用才能, 是高考命题的

12、热点； 理顺这些基本学问以及技巧和方 法可以提高我们解题的才能；期望本文能对同学们复习备考有所帮 助；巩固练习1在ABC中,a2,c1,就C 的取值范畴为2如钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边 长的比值为 m ,就 m 的取值范畴是3在 Rt ABC 中,C2,且A B C 所对的边a b c 中意 abxc,就实数x 的取值范畴为4在锐角ABC中,A2B,AC1,就 BC 的取值范畴是cosAcos C ,5在锐角ABC 中,三个内角A B C 成等差数列,记M就 M 的取值范畴是6已知锐角三角形的边长分别为1,3, a ,就 a 的取值范畴是7 已 知ABC 外 接 圆

13、 的 半 径 为 6 , 如 面 积SABCa2 bc2且sinBsinC4,就 sin A,SABC的最大值为38在ABC中,msinA ,cosC,ncosB,sinA ,且m nsinBsinC（1）求证：ABC为直角三角形（2）如ABC外接圆的半径为 1,求ABC 的周长的取值范畴9在ABC中A B C 所对的边分别为a b c,已知2 sinA3cosA（1）如a2c2b2mbc ,求实数 m 的值（2）如a3,求ABC面积的最大值；只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除参考答案1sinC1sinA1,C0,6222 2,3 1, 2BC4同例1知6B4,由正弦定理s

14、in 2 BB3cosAcos2A 1故ACsinA2cos2,sinBsinB3,AC2,就McosAcos C5易知B331cos2A3sinAcosAcosA13sin 2A1sin2A62244240A2,所以62A7由于,636M1siAn 61 241 214,26. 设 1,3,a 所 对 的 角 分 别 为A B C , 由 三 角 形 三 边 关 系 有1 3 a ,1 a 3 且 3 a 1,故 2 a 4,易知 B A ,要保证 ABC 为锐角2 2 2 2 2 2三角形,只需 cos B 0, cos C 0,即 1 a 30 且 1 3 a0,解得2 1 a 2 1

15、32 2 a 107由 S ABC a 2 b c 2,得 a 2b 2c 2bc sin A 22由余弦定理得 a 2b 2c 22 bc cos A,故有 2 sin A2cos A,易得 A为22锐角,且 4 2sin A sin A4cos 2 A ,即 17sin 8sin 2A 0 A,故有 sin A 8,4 17就 b c 2 sin B sin C 12 4163S ABC 1 bc sin A sin A b c 2 4 64 256（当且仅当 b c 8 时取等2 2 2 17 17号）只供学习沟通用此文档来源于网络,如有侵权请联系网站删除即SABC的最大值为256 17

16、sinC8（1）由msinA ,cosC,ncosB ,sinA ,且m nsinB得 sinAcosBsinAcos CsinBsinC ,由正弦定理得acosBacos Cbc,由余弦定理得aa22 cb2aa2b2c2bc2ac2abA0,整理得bc a2b2c20又由于bc0,故a22 bc ,即ABC 是直角三角形（或者：由 sinAcosBsinAcos CsinBsinC 得,sinAcosBsinAcosCsinACsinAB化简得 cosA sinBsinC0,由于 sinBsinC0,故 cos即ABC是直角三角形）2,（2）设ABC 内角A B C 所对的边分别为a b c由于ABC外接圆的半径为 1,A2,所以a2 sinA所以bc2 sinBcos 2sinBcos 2 2 sinB42又 0B2,故4B43,