随机过程课件

平稳过程的谱分解定理5.5.1

设X={Xt,

-∞<t<+

∞}是均方连续的平稳过程,则其相关函数可以表示为XXe

dF

(j2),

R（）

1其中F（X

）在（

，）上非负，有界，单调不减,右连续，且F（-）

0，F（+）

2

R（X

0）证明

由于

RX

(

)

RX

(0)若RX

(0)

0，则RX

(

)

0,则取FX

()

0即可.若RX

(0)

0，则令f

(

)

RX

(

)RX

(0)由R

X

(

)连续，非负定，可得f

()连续，f

()非负定，且f

(0)

1.所以f(τ)是某个随

量W的特征函数,即存在分布函数G(ω),使XRX

(0)jWjR

(

)e

dG()f

()

=E[e

]

je

dG()X即有R

(X

)

R

(0)Xe d

(2j2

R

(0)G())

1所以取FX

()

2

RX

(0)G()XXe

dF

(j2),

即得R（）

1容易验证FX

()

2

RX

(0)G()满足定理中各条件.XXe

dF

(j2),

称R（）

1为平稳过程X相关函数的谱展开式或谱分解式.称函数FX(ω)为平稳过程X的谱函数.注意：如果平稳过程的相关函数绝对可积，则谱函数FX(ω)可微，且有F□X(ω)=SX(ω)，因此也有：XF

()

XS（

）d

,

事实上，由RX

(

)绝对可积，则由维纳-公式得：XXj

1

2R

(

)

e

S（）dX与R

(

)的谱分解式比较XXj2e

dF

(),R（）

1

FX

()可微，且FX

()

SX

().X

F

()

XS（

）d

,

对平稳时间序列有相类似的结果.设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是平稳时间序列,则其相关函数可以表示为XX2e

jm

dF

(),R（m）

1m

0,

1,

()其中F（X

）是在[-

,+

]上非负，有界，单调不减，右连续.且F（X

-）

0，F（X

+）

2

R（X

0）称FX(ω)为平稳时间序列X的谱函数.称()式为平稳时间序列相关函数的谱展开式,或谱分解式.谱密度SX(ω)和谱函数的有关系XF

()

XS（）d,

例5.5.1

设平稳过程X={Xt,

-∞<t<+

∞}的相关函数为2R

(

)

e

,

0,X试计算X的谱密度和谱函数.XXe

R

(-

j

)de

e

d

(

)2

12

j

4

4

2

2解

S

()

XF

()

4

d

2

arctan

2

2

2

4

2例(补)量,EX=0,DX=1设X,Y是两个相互独立的实随Y的分布函数为F(x),令Zt

Xe

jtY

,

t

,试求Z={Zt,-∞<t<+∞}的谱函数.解

易知Z是平稳过程.Zje

d

(2

F

())

1

2R

(t,

t

)

e

j

dF

()

FZ

()

2

F

()平稳过程的谱分解对确定信号x(t),满足Dirichlet条件且绝对可积,则x(t)存在频谱:xF

()

e

jt

x(t)dtxe F

(jt)dt2则

x(t)

1

说明x(t)可分解为一些复谐波的无限叠加而在很一般的条件下平稳过程也可以表示为无穷多个复谐波的叠加.不失一般性,本节总假定mX=0定理5.5.2

设X={Xt,

-∞<t<+

∞}是零均值均方连续的复平稳过程,其谱函数为FX(ω),则Xt以表示为tX

e

jt

dZ

(),

t

1T2e

jtT)

l.i.mT

1Xt

dt,

jt其中

Z

(称之为X的随机谱函数.

且具有性质:(1)

E[Z

()]

0

1

2

3

4

,

E[(Z

(2

)

Z

(1

))(Z

(4

)

Z

(3

))]

021

2

212XX

112(3)

,

E[

Z

()

Z

(

)]

(F

(

)

F

(

)]定理的实际意义由Xtjt

etTT

dZ

(

)Tjt

即X

l.i.me

dZ

())]将[T，T

]等分为2N个子区间，即有

k

Njt

TNe

[Z

(kT

NT

N

Xt

l.i.m

l.i.mK

N

1(k

1)T

N)

Z(即平稳过程可看成是振幅为Z

(kT

)

Z

((k

1)T

)N

N角频率为

kT

的谐波分量的的有限叠加和的均方极限.NX是谐波分量e

jt

dZ

()无限叠加和.定理5.5.3

设X={Xt,-∞<t<+∞}是零均值均方连续的实平稳过程,其谱函数为FX(ω),则X可以表示为

Xt

0

costdZ1

()

0

sin

tdZ2

(),

t

1TttTT

sin

t

X

dt,

其中

Z

()

l.i.m

12TttTT

Z

()

l.i.m11

cost

X

dt,

称为实平稳过程X的随机谱函数.且具有性质:(1)

E[Z1()]

E[Z2()]

0i,

j

1,

2(2)

若i

j或j=i,则1

2

3

4

,

有E[(Zi

(2

)

Zi

(1

))(Z

j

(4

)

Z

j

(3

))]

0,221

21

12

2

2

1E[Z

((i

j时，独立增量；i

j时，正交增量）(3)

1

2

,

)

Z

()]

E[Z

(

)

Z

(

)]X

2

X

1

1

(F

(

)

F

(

)]n定理5.5.4

设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是零均值的平稳时间序列,其谱函数为FX(ω),则Xn可以表示为X

jne

dZ

(),

n

0,

1,

2,21n01Xn

),

jn0

e

jn其中

Z

()

(X

称为平稳时间序列X

的随机谱函数.且具有性质:(1)

E[Z

()]

0

1

2

3

4

,

E[(Z

(2

)

Z

(1

))(Z

(4

)

Z

(3

))]

02(3)

1

2

,

E[

Z

(2

)

Z

(1) ]

(FX

(2

)

FX

(1

)]12定理5.5.5

设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是零均值的实平稳时间序列,其谱函数为FX(ω),则X可以表示为

Xn

01cosndZ

()

02ndZ

(sin

),

n

0,

1,

2,10nnsin

nX

),

其中

Z

()

1

(X

2nn01

1

cosn

nZ

()

X

),

n0称为实平稳时间序列X

的随机谱函数.且具有性质:(1)

E[Z1

()]

E[Z2

()]

0i,

j

1,2221

21

12

22

1E[Z

(

)](2)

若i

j或j=i,则1

2

3

4

,

有E[(Zi

(2

)

Zi

(1

))(Z

j(4

)

Z

j

(3))]

0,

1

2

,

)

Z

()]

E[Z

()

Z

(X

2

X

1

1

(F

(

)

F

(

)]平稳过程习题讲解例1

设S(t)是周期为T的可积函数.令Xt=S(t+Θ) t∈(-∞,+

∞),其中Θ为随

量且服从U[0,T].称X={Xt,-∞<t<+∞}为随机相位周期过程,试X的平稳性.解mX

(t)

E[Xt

]01TTds(t

)1TttTs(

)d

为常数0Ts(t

)s(t

)dR（Xt,

t

)

E[Xt

Xt

]t1T

1Ts(

)s(t

T

)d只与

有关系.所以X是平稳过程.k例2

对复随机过程Z

t=Xt

+jYt若mZ(t)是复常数，RZ(t,t+τ)=RZ(τ),则称Z={Zt,-∞<t<+∞}为复平稳过程.设Ak和ωk分别是实随

量和实常数(k=1,2…,n),nAej

tk

1

kt令

Z

试分析随

量序列{Ak,k=1,2,…,n}满足何条件时，Z={Zt,-∞<t<+∞}是一个复平稳过程.解mZ

(t)

E[Zt

]]=kknknkA

eE[A

]ej

tj

tk

1k

1

E[

E[Ak

]=0时，上式与t无关.]kknnkA

eA

ej

tj

(t

)k

1

E[

kk

1R（Zt,

t

)

E[Zt

Zt

]=l

klk

lE[

A

A

]eej

(

)t

j

n

nk

1

l

12kk

l

,k

l

E[

A

A

]=

0,

k

l时，上式与t无关.只与

有关.例3

设随机过程X={Xt,

-∞<t<+

∞}由以下三个样本函数组成，且等概率发生x1(t)

1,

x2

(t)

sin

t,

x3

(t)

cos

t试计算X的均值函数和相关函数，并判断X的平稳性.例4

设X={Xt,-∞<t<+∞}Y={Yt,-∞<t<+∞}是零均值的实平稳过程，且有RX

(

)

RY

(

),

RXY

(

)

RYX

(

),令

Zt

Xt

cos0t

Yt

sin

0t证明Z={Zt,-∞<t<+∞}是平稳过程.提示：RZ

(t,t

)

RX

(

)cos0

RXY

(

)sin

0

,例5

设RX(τ)

是实平稳过程X={Xt,

-∞<t<+

∞}的相关函数.证明ta2t

P{

X

X

a}

2[RX

(0)

RX

(

)]a2P{

X

EX

a}

D[X

]提示：切比

不等式例6

设CX(τ)

是平稳过程X={Xt, -∞<t<+

∞}的协方差函数，证明：若CX(τ)绝对可积，则X的均值具有各态历经性.例7设X={Xt=Y,-∞<t<+∞}是一个随机过程，Y是一个非的方差存在的随量，X的各态历经性.例8

设S(t)是周期为T的可积函数.令Xt=S(t+Θ) t∈(-∞,+

∞),其中Θ为随

量