天津市红桥区九年级上期中数学试卷含答案解析

20222023天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=02．将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、数项分别为（ ）A．4，5，81B．4，5，﹣81 C．4，5，0 3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的值范围是（ ）A．m＞ B．m= C．m＜ D．m＜﹣A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（ ）A．90°B．95°C．100° D．120°在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得的对应点P′的坐标为（ ）A．（3，2）B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）7．函数y=﹣x2+1的图象大致为（ ）A． B．1/28C D．抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（ ）A． B．C． D．y=ax2+bx+cxy的对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（ ）抛物线的开口向下x＞﹣3时，yx的增大而增大二次函数的最小值是Dx=﹣A、BCOABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（ ）A．12.5° B．15°C．20°x1xax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M 大小关系的下列说法中，正确的是（ ）△＞MC．△＜M

△=MD．无法确定△与M的大小2/28y=ax2+bx+cxA（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x=3时，y=0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）已知方程x2+100x+10=0 的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于 ．y=﹣x2+2x+41的最大值为．Rt△ABC（∠B=25°）A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知产量为1yx间的关系式为（万件）．2 1 L1∥LOLLABMNL1L2上的动点，MNL1L2O1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM2 1 3/28y=x2+bx+与yAAx轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴交于点D．平移抛物线，使其经过点 A、D，则平移后的抛物线的解析式为 ．三、解答题（共7小题，满分66分）用适当的方法解下列方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）如图所示，BC为⊙OAD⊥BCE，∠C=60°．求证：△ABD为等边三角形．y=ax2+bx﹣3x=1xA、B两yCB点的坐标为（3，0）．A点的坐标；y=ax2+bx﹣3的解析式．4/2822xx2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0k取何值，这个方程总有实数根；若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c根，求△ABC的周长．6050在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．设通道的宽度为x米，则a= （用含x的代数式表示）；2430平方米．请问通道的宽度为多少米？如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．D的坐标；判断△ABC的形状，证明你的结论；Mx轴上的一个动点，当△DCMM的坐标．5/282OABCA、Cy轴、xOOABCO点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BCxN（如图）．MNACOABC旋转的角度；试证明旋转过程中，△MNOMN上的高为定值；折△MBNp，在旋转过程中，pp的值．6/2820222023天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A．x2﹣2x﹣3=0 B．x2﹣2y﹣1=0 C．x2﹣x（x+3）=0 D．ax2+bx+c=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】xA4x2+5x=81数项分别为（）A．4，5，81B．4，5，﹣81 C．4，5，0D．4x2，5x，﹣81【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】4x2+5x=814x2+5x﹣81=0，4，5，﹣81，故选：B．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；7/28B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．故选C．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的值范围是（ ）m＞ B．m= C．m＜ D．m＜﹣【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选C．A，B，C是⊙O上的三点，已知∠ACB=50°，那么∠AOB的度数是（ ）A．90°B．95°C．100°【考点】圆周角定理．

D．120°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，∴∠AOB=100°．故选C．8/28在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得的对应点P′的坐标为（ ）A．（3，2）B．（2，﹣3）【考点】坐标与图形变化-旋转．

C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）【分析】PO180°P关于原点的对称点的坐标．【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，∵P点坐标为（﹣3，2），P′的坐标故选：D．函数的图象大致为（ ）A． B．C． D．【考点】二次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b=0，∴对称轴为y轴，∵常数项c=1，∴图象与y轴交于（0，1），故选B．9/28抛物线y=﹣x2+x﹣1，经过配方化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（ ）A． B．C． D．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：=﹣（x2﹣2x）﹣1=﹣ [（x﹣1）2﹣1]﹣1=﹣（x﹣1）2﹣．故选：C．y=ax2+bx+cxy的对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（ ）抛物线的开口向下x＞﹣3时，yx的增大而增大二次函数的最小值是Dx=﹣【考点】二次函数的性质．【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．解：将点（﹣40）、（﹣10）、（04）y=ax2+bx+c中，10/28得： ，解得： ，y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣ =﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4= ﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣ =﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确故选D．A、BCOABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于（ ）A．12.5° B．15°C．20°【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；垂径定理．【分析】先根据平行四边形的性质得出AB=BC，故可得出△OAB是等边三角形，所以∠AOB=60°，再由OF⊥OA可知∠AOF=90°，OF⊥BC，故可得出∠BOF的度数，进而得出∠COF的度数，由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=BC，OA∥BC．∵OA=OC，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°．∵OF⊥OA，∴∠AOF=90°，OF⊥BC，11/28∴∠BOF=∠COF=90°﹣60°=30°，∴∠CBF= ∠COF=15°．故选B．x1xax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，记△=b2﹣4ac，M=（2ax1+b）2，则关于△与M 大小关系的下列说法中，正确的是（ ）△＞MC．△＜M

△=MD．无法确定△与M的大小【考点】根的判别式．【分析】根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和△的关系，本题得以解决．【解答】解：∵x1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+bx1+c=0，∴ax12+bx1=﹣c，∴M=（2ax1+b）2=4ac=△，故选B．

=4a（ax12+bx1）+b2=4a÷（﹣c）+b2=b2﹣y=ax2+bx+cxA（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x=3时，y=0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的有（ ）12/28A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合ABB正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=﹣ =1，b=﹣2ab=﹣2a3a+ba＜0即可得出②不正确；③由yc的取值范围，将（﹣1，0）b=﹣2aa线的顶点坐标的纵坐标为 ，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．【解答】解：①由抛物线的对称性可知：xB的坐标为（3，0），∴当x=3时，y=0，①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴抛物线的对称轴为x=﹣ =1，∴b=﹣2a，3a+b=a＜0，②不正确；③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3．令x=﹣1，则有a﹣b+c=0，13/28又∵b=﹣2a，∴3a=﹣c，即﹣3≤3a≤﹣2，解得：﹣1≤a≤﹣，③正确；④∵抛物线的顶点坐标为（﹣ ， ），∴n= =c﹣ ，又∵b=﹣2a，2≤c≤3，﹣1≤a≤﹣，∴n=c﹣a，≤n≤4，④正确．综上可知：正确的结论为①③④．故选C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于110 ．【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系找出x1+x2=﹣100、x1•x2=10，将代数式x1x2﹣x1﹣x2变形为只含x1+x2、x1•x2的代数式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣100，x1•x2=10，1∴x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x+x2）=10﹣（﹣100）=110．故答案为：110．1将二次函数y=﹣x2+2x+4的图象向下平移1个单位后，所得图象对应函的最大值为4 ．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，将该函数的图象向下平移1个单位14/28后，所得图象对应函数解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，所以该抛物线顶点坐标是（1，4），故答案是：4．如图，将Rt△ABC（∠B=25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于115° ．【考点】旋转的性质．【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1=∠C+∠B=115°，即可得出结论．【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C=90°，∠B=25°，∴∠BAB1=∠C+∠B=115°，故答案为：115°．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知产量为1万件，那么产量y与x间的关系式为y=（1+x）2 （万件）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】x1yx间的关系式为y=（1+x）2．【解答】解：∵某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，产量为1万件，∴产量为：1×（1+x）；yx间的关系式为：y=1×（1+x）×（1+x）=（1+x）2；即：y=（1+x）2．故答案为：y=（1+x）2．2 1 L1∥LOLLABM2 1 15/28分别是L1和L2上的动点，MN沿L1和L2平移，圆O的半径为1，∠1=60°，当MN与圆相切时，AM的长度等于 或 ．【考点】切线的性质；平行线的性质；平移的性质．【分析】MN在左侧与⊙OOM、OAOM平分∠1Rt△OAMAMMN在右侧与⊙OOM、OAOM平分∠AMN，在Rt△OAM中可求得MA的长，可求得答案．【解答】解：当MN在左侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图1，∵MA、MN是⊙O的切线，∴OM平分∠AMN，OA⊥MA，∴∠AMO=30°，∴OM=2OA=2，在Rt△OAM中，MA= = ；当MN在右侧与⊙O相切时，连接OM、OA，如图2，16/28∵∠1=60°，∴∠AMN=120°，同上可知∠AMO= ∠AMN=60°，∴OM=2AM，在Rt△OAM中，MA2=OM2﹣OA2，即MA2=4MA2﹣1，解得MA= ；综上可知MA的长度为或 ，故答案为：或 ．y=x2+bx+与yAAx轴的直线相B（B在第一象限）．COBx交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+ ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】AC的纵坐标，然后利bDy=x2+mx+nA、D的坐标代入进行计算即可得解．【解答】解：∵令x=0，则y=，A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴顶点C的纵坐标为×=，17/28即 = ，解得b1=3，b2=﹣3，由图可知，﹣∴b＜0，∴b=﹣3，

＞0，∴对称轴为直线x=﹣ = ，D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为则 ，解得 ，所以，y=x2﹣x+．故答案为：y=x2﹣x+．三、解答题（共7小题，满分66分）用适当的方法解下列方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）将原方程移项、合并同类项即可得出（x﹣1）（x+3）﹣0即可得出结论；（2）利用完全平方公式将原方程边形为2（x﹣1）2﹣3=0，开方后即可得出结论．【解答】解：（1）x（x﹣1）=3﹣3x=3（1﹣x），18/28移项、合并同类项，得：（x﹣1）（x+3）﹣0，解得：x1=﹣3，x2=1；（2）2x2﹣4x﹣1=2（x2﹣2x）﹣1=2（x﹣1）2﹣3=0，∴（x﹣1）2= ，解得：x﹣1=± ，∴x1=1+ ，x2=1﹣ ．如图所示，BC为⊙OAD⊥BCE，∠C=60°．求证：△ABD为等边三角形．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定．【分析】根据垂径定理求出AE=DE，根据线段垂直平分线性质得出BA=BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据等边三角形判定推出即可．【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，∴AE=DE，∴BD=BA，∵∠D=∠C=60°，∴△ABD为等边三角形．y=ax2+bx﹣3x=1xA、B两yCB点的坐标为（3，0）．A点的坐标；y=ax2+bx﹣3的解析式．19/28【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据抛物线的对称性直接写出点A的坐标；（2）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求它们的值．【解答】解：（1）∵y=ax2+bx﹣3x=1xA、B两点，其中B点的坐标为（3，0），∴A点横坐标为： =﹣1，∴A点的坐标为：（﹣1，0）；（2）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3得：，解得： ．故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3．22xx2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0k取何值，这个方程总有实数根；若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c根，求△ABC的周长．【考点】根的判别式；等腰三角形的性质．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，然后解方程得到20/28b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或x=4k=x2﹣6x+8=0x1=4，x2=2，a=b=4，c=2a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣）=4k2+4k+1﹣16k+8，=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k=，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；a=b=4a=c=4x=416﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，解得k= x2﹣6x+8=0x1=4，x2=2a=b=4，c=2a=c=4，b=2，所以△ABC的周长=4+4+2=10．6050在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．设通道的宽度为x米，则a= （用含x的代数式表示）；2430平方米．请问通道的宽度为多少米？21/28【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a= 故答案为：（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．2米．

=2430，如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．D的坐标；判断△ABC的形状，证明你的结论；Mx轴上的一个动点，当△DCMM的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；（2）利用点ABC的坐标来求线段ABACBC的长度，得到AC2+BC2=AB2，则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；22/28（3）CxC′C'（0，2）．C′DxM，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CDMC+MDCDMC′Dy=0线方程，求得．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线 上，∴ ，解得 ，∴抛物线的解析式为 ．∵ ，∴顶点D的坐标为 ；△ABCx=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），则OC=2．当y=0时， ∴x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），∴OA=1，OB=4，∴AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；CxC