山东省青岛市崂山区第四中学2021年高三数学文模拟试题含解析

山东省青岛市崂山区第四中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是虚数单位,等于(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.设复数z满足，其中i为虚数单位,z=(A)1+i

(B)1-i

(C)2+2i

(D)2-2i参考答案：B3.已知直线交椭圆于A，B两点，若C，D为椭圆M上的两点，四边形ACBD的对角线CD⊥AB，则四边形ACBD的面积的最大值为A． B． C． D．

参考答案：B由题意可得，解得或不妨设，则，直线的方程为可设直线的方程为联立，消去，得到直线与椭圆有两个不同的交点则解得设，，当时，取得最大值四边形ACBD的面积的最大值为故选

4.已知，则等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C5.已知两点，向量，若，则实数的值为

A.-2

B．-l

C．1

D.2参考答案：B略6.非零向量，满足2?=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cosθ=||?||，再由基本不等式，可得cosθ≤，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值．解答： 解：非零向量，满足2?=，|即有2||?||?cosθ=||2?||2，即2cosθ=||?||，由||+||=2，则||?||≤（）2=1，即有cosθ≤，由于0≤θ≤π，则≤θ≤π，则当||=||=1时，，的夹角θ取得最小值为．故选C．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题．7.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A8.如果执行右边的程序框图,输入正整数(≥2)和实数,,,,输出,,（）A．+为,,,的和

B．为,,,的算术平均数C．和分别为,,,中的最大数和最小数D．和分别为,,,中的最小数和最大数参考答案：9.已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（）A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】令g（x）=x2f（x），求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，求出答案即可．【解答】解：令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立则x＞0时，g′（x）＜0，x＜0时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，故g（x）max=g（0）=0，故选：C．10.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为抛物线的焦点，点在抛物线上，O为坐标原点，若，且，则抛物线的焦点到准线的距离等于

.参考答案：4略12.已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为

．参考答案：【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，所以高，所以．故答案为：．13.设、分别是曲线和上的动点，则、的最小距离是______参考答案：14.若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为

．参考答案：15.已知等差数列{an}的公差不为0，且a1，a3，a9成等比数列，则=

参考答案：答案：

16.设随机变量服从正态分布,若,则

.参考答案：2试题分析：正态分布曲线关于对称，，得.考点：正态分布的应用.17.在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。【解析】在△ABC中，利用余弦定理

，化简得：，与题目条件联立，可解得参考答案：在△ABC中，利用余弦定理

，化简得：，与题目条件联立，可解得【答案】4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，AB⊥BC，BB1⊥平面ABC，D为AC的中点，E为CC1的中点．（1）求证AC1∥平面BDE；（2）求证：AC1⊥平面A1BD．参考答案：考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由已知根据中位线定理可得DE∥AC1，又DE?平面BDE，AC1?平面BDE，由线面平行的判定定理即可证明．（2）D为AC的中点，可证∠AA1D=∠CAC1，∠CAC1+∠ADA1=90°，从而可得AC1⊥A1D，又AC1⊥BD，即可证明AC1⊥平面A1BD．解答： 证明：（1）∵D为AC的中点，E为CC1的中点，∴DE∥AC1，又DE?平面BDE，AC1?平面BDE，∴AC1∥平面BDE；…6分（2）D为AC的中点，则tan∠AA1D=，tan，则∠AA1D=∠CAC1，那么∠CAC1+∠ADA1=90°，AC1⊥A1D，又AC1⊥BD，所以AC1⊥平面A1BD…12分点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19.（本题满分14分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，．①证明：当（）时，成立；②请再选一个与①不同的且大于1的整数，证明：也成立．参考答案：（1）设，是上的任意两个数，则．函数在上是“凸函数”．（2）对于上的任意两个数，，均有成立，即，整理得若，可以取任意值．若，得，，．综上所述得．（3）①当时由已知得成立．假设当时，不等式成立即成立．那么，由，得．即时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．②比如证明不等式成立．由①知，，，，有成立．，，，，，从而得．20.（本小题满分14分）已知函数，（）.(1)若时，函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；(2)在（1）的结论下，设函数的最小值；(3)设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定.B11B12G4(1)(2)当当(3)C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.解析：（1）依题意：∵上是增函数，∴恒成立，∴∵∴b的取值范围为

…………4分（2）设，即，∴当上为增函数，当t=1时，当

…………7分当上为减函数，当t=2时，综上所述，当当

………8分（3）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为

C-2-在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，即则，

设…………①令则∵

∴

所以上单调递增，故，

则，这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

.……13分【思路点拨】(1)根据时，函数在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；(2)先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；(3)先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若