广东省深圳市皇御苑学校2021-2022学年高一数学文下学期期末试卷含解析

广东省深圳市皇御苑学校2021-2022学年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆（x﹣1）2+y2=4内一点P（2，1），则过P点最短弦所在的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x+y﹣3=0 C．x+y+3=0 D．x=2参考答案：B【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．【解答】解：圆心坐标D（1，0），要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，此时DP的斜率k=，则弦BC的斜率k=﹣1，则此时对应的方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0，故选：B2.下列说法错误的是()A.若＋＝，则－＝B.若＋＝，则-＝C.若＋＝，则－＝D.若＋＝，则＋＝参考答案：D【分析】由向量的减法就是向量加法的逆运算判断，由相反向量的定义判断.【详解】由向量的减法就是向量加法的逆运算可知正确；由相反向量的定义可知，所以若＋＝，则－＝，正确；若＋＝，由相反向量定义知，＋＝-＝＋，故错误，故选D．【点睛】本题主要考查向量的运算，以及相反向量的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.3.的展开式中的常数项为（

）A.12 B.﹣12 C.6 D.﹣6参考答案：A【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于0,求出的值,进而求得常数项.【详解】解:展开式中的通项公式为,令,解得,故展开式中的常数项为,故选:A【点睛】本题考查二项式展开式的常数项,属于基础题.4.在数列{an}中，，则的值是（

）A.11 B.13 C.15 D.17参考答案：A【分析】先根据等差数列定义以及通项公式求解.【详解】因为，所以为公差为2的等差数列，因此选A.【点睛】本题考查等差数列定义以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5.如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面△SCD内及其边界

上运动，并且总是保持．则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有

是图中的

()参考答案：A略6.定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=lg（3x+1），则f（﹣3）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】直接利用函数的奇偶性求解函数值即可．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=lg（3x+1），则f（﹣3）═﹣f（3）=﹣lg（3×3+1）=﹣1，故选：A．7.函数的最小值是(

)A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】设=t，t≥0，则x=t2+2，将原函数式转化为关于t的二次函数式的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可．【解答】解：设=t，t≥0，则x=t2+2，则函数等价于：y=2t2+t+3，t≥0，∵y=2t2+t+3在[0，+∞）上是增函数，∴ymin=2×02+0+3=3．∴函数的最小值是3．故选A．【点评】本题主要考查了利用换元法函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题．8.定义域为的函数满足条件:①；②；③.则不等式的解集是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D9.两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为（）A．1：9 B．1：27 C．1：3 D．1：3参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式，直接求解即可．【解答】解：两个球的半径之比为1：3，又两个球的表面积等于两个球的半径之比的平方，（球的面积公式为：4πr2）则这两个球的表面积之比为1：9．故选：A．10.函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在上具有性质，现给出如下命题：①在上的图像时连续不断的；②在上具有性质；③若在处取得最大值1，则，；④对任意，有。其中正确的序号是（

）A．①②

B．①③

C．②④

D．③④参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个扇形周长为4，面积为1，则其中心角等于

(弧度)参考答案：212.（5分）2log510+log50.25=

．参考答案：2考点： 对数的运算性质．专题： 计算题．分析： 根据对数运算法则nlogab=logabn和logaM+logaN=loga（MN）进行求解可直接得到答案．解答： ∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故答案为：2．点评： 本题主要考查对数的运算法则，解题的关键是对对数运算法则的熟练程度，属于基础题．13.给出下列命题：（1）存在实数α，使sinαcosα=1（2）存在实数α，使sinα+cosα=（3）函数y=sin（+x）是偶函数（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确命题的序号是．参考答案：（3）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】（1）由sinαcosα=1化为sin2α=2，由于sin2α≤1，可知：不存在实数α，使得sin2α=2；（2）由于sinα+cosα=＜，即可判断出；（3）函数y=sin（+x）=﹣cosx是偶函数；（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取，，即可判断出．【解答】解：（1）由sinαcosα=1化为sin2α=2，∵sin2α≤1，∴不存在实数α，使得sin2α=2，因此不正确；（2）∵sinα+cosα=＜，因此不存在实数α，使sinα+cosα=，故不正确；（3）函数y=sin（+x）=﹣cosx是偶函数，正确；（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取，，则sinα＞sinβ不成立，因此不正确．其中正确命题的序号是（3）．故答案为：（3）．【点评】本题综合考查了三角函数的性质、倍角公式、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．14.若，，则

。参考答案：略15.函数y=3cos2x﹣4sinx+1的值域为

．参考答案：[﹣3，]【考点】HW：三角函数的最值；3W：二次函数的性质．【分析】化简函数y，利用换元法设sinx=t，再结合二次函数的图象与性质，即可求出函数y的值域．【解答】解：化简可得y=4﹣3sin2x﹣4sinx，设sinx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=﹣3t2﹣4t+4=﹣3（t+）2+，由二次函数的性质得，当t=﹣时，函数y取得最大值，当t=1时，函数y取得最小值﹣3，所以函数y的值域为[﹣3，]．故答案为：[﹣3，]．16.已知函数的图象如图所示，则__________。参考答案：17.若对任意x∈（0，），恒有4x＜logax（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是

．参考答案：[，1）

【考点】指、对数不等式的解法．【分析】对任意的x∈（0，），4x≤logax恒成立，化为x∈（0，）时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出两个函数的图象，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当x∈（0，）时，函数y=4x的图象如下图所示：∵对任意的x∈（0，）时，总有4x＜logax恒成立，若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=，故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足≤a＜1．故答案为：[，1）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0且a≠1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较与f（﹣2.1）大小，并写出比较过程．参考答案：【考点】指数函数综合题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数y=f（x）的图象经过P（3，4），∴a2=4．又a＞0，可得a的值．（2）分a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分别利用函数的单调性比较f（lg）与f（﹣2.1）的大小．【解答】解：（1）∵函数y=f（x）的图象经过P（3，4），∴a2=4．又a＞0，所以a=2．…（2）当a＞1时，f（lg）＞f（﹣2.1）；

当0＜a＜1时，f（lg）＞f（﹣2.1）．证明：由于f（lg）=f（﹣2）=a﹣3；，f（﹣2.1）=a﹣3.1．当a＞1时，y=ax在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵﹣3＞﹣3.1，∴a﹣3＞a﹣3.1．即f（lg）＞f（﹣2.1）．…当0＜a＜1时，y=ax在（﹣∞，+∞）上为减函数，∵﹣3＞﹣3.1，∴a﹣3＜a﹣3.1，故有f（lg）＜f（﹣2.1）．…【点评】本题主要考查指数函数的性质的综合应用，属于中档题．19.已知函数

(

为常数)在上的最小值为，试将用

表示出来，并求出的最大值．参考答案：∵y＝(x－a)2＋1－a2，∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是．

（1）当时，,当时，该函数取最小值；

(2)当时,,当时，该函数取最小值；

(3)当a＞1时,,当时，该函数取最小值

综上,函数的最小值为

（1）当时，(2)当时，(3)当a＞1时，，

综上所述，．20.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价为40元，两侧墙砌砖，每米造价为45元，顶部每平方米造价为20元，计算：（1）仓库面积S的最大允许值是多少？（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？参考答案：解：（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S＝xy依题意40x＋2×45y＋20xy≤32003200≥40x＋90y＋20xy≥2＋20xy＝120＋20S∴S＋6≤160，即(－10)(＋16)≤0解得－10≤0，∴S≤100∴S的最大允许值是100平方米．............................8分（2）由（1）知S取最大值时的条件是40