2022-2023学年广东省河源市龙川县登云中学八年级（下）开学数学试卷(含解析)

2022-2023学年广东省河源市龙川县登云中学八年级（下）开学数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在2．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为（）A． B． C． D．3．已知＝，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m＝3n B．3m＝4n C．m＝4n D．mn＝124．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）5．如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．﹣1＜x＜0或x＞1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜16．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补7．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）8．一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定9．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交BC，AD于点E，F，则DF的长是（）A． B． C．1 D．10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2 B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则+的值为．12．方程（x﹣1）（x+5）＝3转化为一元二次方程的一般形式是．13．一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是．14．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，如果AD＝8，CF＝3，那么PG+PH的值为．15．甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是．16．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是．17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．（1）解方程：x2+6x﹣7＝0（2）解不等式组．19．解方程：2x2+5x﹣3＝0．20．如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成四、三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，2，3，4，装置B上的数字分别是3，4，5，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同．现在分别同时用力转动A，B两个转盘．（1）A转盘指向偶数的概率是．（2）请用列表法或画树状图的方法，求A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率．21．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．（1）旋转中心是点，旋转角度是度，则△AEF是三角形；（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，求EF的长．22．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．23．如图所示，已知正方形ABCD，直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合，纸板绕点A旋转时，直角三角形纸板的斜边与直线CD交于E，分别过B，D作直线AE的垂线，垂足分别为F，G．（1）当点E在DC延长线上时，如图1，求证：BF＝DG﹣FG；（2）将图1中的三角板绕点A逆时针旋转得图2，此时BF，FG，DG之间又有怎样的数量关系？请给出证明．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝有交点A、B，已知点B（﹣2，﹣2），tan∠AOX＝4．（1）求k的值以及抛物线的解析式；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标（注：这里E，O，C与A，O，B分别为对应点）．（3）点P为抛物线上一动点，从O点出发（含O点）沿着抛物线向左运动，已知在此过程中，△ABP的面积S△ABP恰好有两次取到值m，请直接写出m的取值范围（P与B重合时规定S△ABP＝0）．25．已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（Ⅰ）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE＝CN；②求CN的长；（Ⅱ）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．

参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在【分析】先由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合+＝4m，即可求出m的值．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞﹣1且m≠0．∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵+＝4m，∴＝4m，∴m＝2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m＝2．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．2．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为（）A． B． C． D．【分析】设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a，由△HFD∽△BFA，得＝＝＝，求出FH，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得＝＝＝，求出BG即可解决问题．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝2DF，设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a，∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴＝＝＝，∴HD＝1.5a，＝，∴FH＝BH，∵HD∥EB，∴△DGH∽△EGB，∴＝＝＝，∴＝，∴BG＝HB，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．3．已知＝，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m＝3n B．3m＝4n C．m＝4n D．mn＝12【分析】根据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案．解：由＝，得4m＝3n．A、4m＝3n，故A正确；B、4m＝3n，故B错误；C、m＝，故C错误；D、4m＝3n，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键．4．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标．解：如图，连接BF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为（0，2），故选：C．【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．5．如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．﹣1＜x＜0或x＞1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1【分析】直接利用正比例函数的性质得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．解：∵正比例函y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1．∴B点的横坐标为：﹣1，故当y1＜y2时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜1．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出B点横坐标是解题关键．6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对角线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选：A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直，四条边都相等．7．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）【分析】先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解．解：∵线段AB向左平移一个单位，∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．故选：A．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形变化﹣平移．8．一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出Δ＝0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．解：在方程x2﹣4x+4＝0中，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，∴该方程有两个相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出Δ＝0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．9．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交BC，AD于点E，F，则DF的长是（）A． B． C．1 D．【分析】如图作EH⊥CF于H．首先证明四边形AECF是平行四边形，再证明△ABE≌△EHC，推出BE＝CH，设DF＝BE＝x，在Rt△EHC中利用勾股定理即可解决问题．解：如图作EH⊥CF于H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∠AEB＝∠ECH，∴AF＝CE，DF＝BE，设DF＝BE＝x，在△ABE和△EHC中，，∴△ABE≌△EHC，∴BE＝CH＝x，在Rt△EHC中，∵EH2+CH2＝EC2，∴22+x2＝（3﹣x）2，∴x＝，即DF＝，故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2 B． C． D．【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，∴AB＝＝5．∵OH⊥AB，∴AO•BO＝AB•OH，∴OH＝，故选：D．【点评】本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则+的值为﹣．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2、x1•x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，∴+＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．方程（x﹣1）（x+5）＝3转化为一元二次方程的一般形式是x2+4x﹣8＝0．【分析】方程去括号，移项合并，整理为一般形式即可．解：方程整理得：x2+4x﹣8＝0，故答案为：x2+4x﹣8＝0．【点评】考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．13．一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是12．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解：根据题意知×100%＝20%，解得a＝12，经检验：a＝12是原分式方程的解，所以推算出a的值大约是12，故答案为：12．【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，如果AD＝8，CF＝3，那么PG+PH的值为4．【分析】先证BE＝BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，利用问题情境中的结论可得PG+PH＝EQ，易证EQ＝DC，故只需求出DC即可．解：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝8，CF＝3，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5．由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC＝＝＝4．∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，∴四边形EQCD是矩形，∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ，∴PG+PH＝4，∴PG+PH的值为4．故答案是：4．【点评】本题主要考查矩形的性质，翻折变换（折叠问题），涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和平行线的性质等知识，也考查了运用已有的经验解决问题的能力．15．甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是．【分析】首先根据题意作出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两球标号之和为4的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，取出的两球标号之和为4的有2种情况，∴取出的两球标号之和为4的概率是：＝．故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．16．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是2.4．【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．解：连接CP，如图所示：∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×CP，∴CP＝2.4，即EF＝2.4，故答案为：2.4．【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为65°．【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．故答案为：65°．【点评】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．（1）解方程：x2+6x﹣7＝0（2）解不等式组．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先解不等式组中的每一个不等式，再求其公共解集即可．解：（1）原方程变形为（x﹣1）（x+7）＝0，所以x1＝﹣7，x2＝1；（2），由①得：x≥﹣1，由②得：x＜3，所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．也考查了解一元一次不等式组．19．解方程：2x2+5x﹣3＝0．【分析】先因式分解，再使每一个因式为0，从而得出x的值．解：因式分解得，（x+3）（2x﹣1）＝0∴x+3＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成四、三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，2，3，4，装置B上的数字分别是3，4，5，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同．现在分别同时用力转动A，B两个转盘．（1）A转盘指向偶数的概率是．（2）请用列表法或画树状图的方法，求A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解：（1）A转盘指向偶数的概率是＝．故答案为：；（2）列表如下：1234345674567856789由上图可得出所有等可能的结果有12种，其中A、B转盘指向的数字之和不小于6的情况有9种，则A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率是＝．【点评】此题考查了用树状图列举随机事件出现的所有情况，并求出某些事件的概率，但应注意在求概率时各种情况出现的可能性务必相同．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．（1）旋转中心是A点，旋转角度是90度，则△AEF是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，求EF的长．【分析】（1）直接利用旋转的性质结合等腰直角三角形的判定方法即可得答案；（2）根据旋转的性质可得△ADE≌△ABF，则S△ADE＝S△ABF，以此可推出四边形AECF的面积等于正方形ABCD面积，因此正方形的边长为6，根据勾股定理可求出AE，由（1）知△AEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出EF．解：（1）由题意可知，旋转中心是点A，∵四边形ABCD为正方形，把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，∴∠DAB＝90°，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，∴∠DAE+∠EAB＝∠BAF+∠EAB＝∠EAF＝90°，∴旋转角是90°，△AEF是等腰直角三角形；故答案为：A，90，等腰直角；（2）∵把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，∴△ADE≌△ABF，∴S△ADE＝S△ABF，∴S四边形AECF＝S四边形ABCE+S△ABF＝S四边形ABCE+S△ADE＝S正方形ABCD＝36，∴AD＝AB＝6，在Rt△ADE中，AD＝6，DE＝2，由勾股定理得，由（1）知，△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝．【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．22．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE＝CE，DF＝FC，证明△CGE≌△CGF（ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH＝1，由勾股定理得：DH＝，根据△DHF是等腰直角三角形，可得DH＝FH＝，从而得结论．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE＝EC，DF＝CF，∠EGC＝∠FGC＝90°，DG＝CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG＝∠FCG，∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF（ASA），∴GE＝GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF＝∠DHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，在Rt△DHB中，DH＝＝，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH＝FH＝，∴BF＝BH+FH＝1+．【点评】本题考查了菱形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质以及直角三角形30°角的性质，熟练掌握菱形的判定是关键．23．如图所示，已知正方形ABCD，直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合，纸板绕点A旋转时，直角三角形纸板的斜边与直线CD交于E，分别过B，D作直线AE的垂线，垂足分别为F，G．（1）当点E在DC延长线上时，如图1，求证：BF＝DG﹣FG；（2）将图1中的三角板绕点A逆时针旋转得图2，此时BF，FG，DG之间又有怎样的数量关系？请给出证明．【分析】（1）如图1，由四边形ABCD是正方形，可得AB＝AD，由B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．可得∠AFB＝∠DGA＝90°由角的关系可得∠ABF＝∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF＝AG，AF＝DG，利用AG＝AF﹣FG；即可证得BF＝DG﹣FG；（2）如图2，由四边形ABCD是正方形，可得AB＝AD，由B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．可得∠AFB＝∠DGA＝90°由角的关系可得∠ABF＝∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF＝AG，AF＝DG，利用AG＝FG﹣AF，可得BF＝FG﹣DG．【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．∴∠AFB＝∠DGA＝90°，∵∠BAF+∠GAD＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠GAD，在△ABF和△ADG中，，∴△ABF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF﹣FG；∴BF＝DG﹣FG；（2）如图2，四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．∴∠AFB＝∠DGA＝90°，∵∠BAF+∠GAD＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAG，在△ABF和△ADG中，，∴△ABF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝FG﹣AF；∴BF＝FG﹣DG．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及正方形的性质，解题的关键是得出△ABF≌△ADG．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝有交点A、B，已知点B（﹣2，﹣2），tan∠AOX＝4．（1）求k的值以及抛物线的解析式；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标（注：这里E，O，C与A，O，B分别为对应点）．（3）点P为抛物线上一动点，从O点出发（含O点）沿着抛物线向左运动，已知在此过程中，△ABP的面积S△ABP恰好有两次取到值m，请直接写出m的取值范围0＜m＜3或m＝（P与B重合时规定S△ABP＝0）．【分析】（1）根据B点坐标可以确定K，根据tan∠AOx＝4，求出A点坐标，再由A，B两点坐标，用待定系数法确定a，b．（2）根据△EOC∽△AOB得到：∠COE1＝∠AOB，根据CO＝2OB，∠BOC＝90°得到∠AOE1＝90°，OE1＝2OA，可以求出E1的坐标，再根据对称性求出E2点的坐标．（3）首先画出满足条件的点P所在的位置，再确定m的范围．解：（1）∵B（﹣2，﹣2）在双曲线上，∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，∵tan∠AOx＝4，∴可设A（m，4m），∵A在双曲线上∴m﹣4m＝4，∴m＝1，m＝﹣1（舍去），∴A（1，4），∵抛物线过点A、B，∴解得a＝1，b＝3，∴k＝4，y＝x2+3x．（2）如图，设抛物线与x轴负半轴的交点为D．由（1）知，抛物线的解析式是y＝x2+3x，∵AC∥x轴∴C（﹣4，4），OC＝4．又∵OB＝2，∴＝2．∵∠COD＝∠BOD＝45°，∴∠COB＝90，要使得△BOA∽△COE，必须∠BOA＝∠COE，则点E在直线CO的两旁．①将△BOA绕点O顺时针转90°，得到△B′OA′，此时，点B′（﹣2，2）是OC的中点，点A′（4，﹣1），延长OA′至点E1，使得OE1＝2OA′，连接CE1，此时E1（8，﹣2）．②取点E1关于直线OC的对称点E2（2，﹣8）．（3）过点O作直线AB的平行线交抛物线于N，O1是点O关于直线AB的对称点，过O1作直线AB的平行线交抛物线于M，点K是直线OB下方上的点，且△KAB面积最大，易求S△ABO＝3，设K（m，m2+3m），∵直线AB：y＝2X+2，过点K作y轴的平行线交直线AB于H，∴S△ABK＝S△HKB+S△KHA＝＝