人教版数学八年级下册全册教案

16.1二次根式⑴

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

知识与技能目标：理解二次根式的概念，并利用G（。20）的意义解答具体题目.

过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，

发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重难点关键

1.重点：形如右（。20）的式子叫做二次根式的概念.

2.难点与关键：利用“&（ae0）”解决具体问题.

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。

2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法

后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策

略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题:

3

问题1：已知反比例函数，=二，那么它的图象在第一象限，横、纵坐标相等的点的坐标

x

是.

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,NC=90°,那么AB边的长是

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即乂=",所以X2=3.因为点在第一象限，所以x=G，所以

所求点的坐标（6,G）.

问题2：由勾股定理得AB=Ji5.

二、探索新知

很明显6、灰，都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，

我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如右（心0）的式子叫做二次根式，“、厂”

称为二次根号.

议一议：

1.：有算术平方根吗？

2.。的算术平方根是多少？

3.当。<0,&有意义吗？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：亚、6、->G（x>0）、、历、

X

正、-0、-----、Jx+y（x20,y^O）.

x+y

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号"V第二，被开方数是正数

或0.

解：二次根式有：&、y[x(x>0)>J5、・血、Jx+y(x，0,yNO)；不是二次

根式的有：矽、6、」一.

xx+y

例2.当X是多少时，J3X-1在实数范围内有意义?

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x；》0,V3X-1

才能有意义.

解：由3X-120,得x》L

3

当x'l时，J3x—1在实数范围内有意义.

3

三、应用拓展

例3.当x是多少时，j2x+3+—!—在实数范围内有意义?

X+1

分析：要使j2x+3+」一在实数范围内有意义,必须同时满足j2x+3中的2x+320和

X+1

I…,

----中的X+1W0.

x+1

,2x+3>0

解：依题意，得4

[x+lwO

3

由①得：x2—.

2

由②得：x#-l.

31

当X2--且xW-l时，j2x+3+——在实数范围内有意义.

2x+1

r\

例4(1)已知片J2—X+Jx—2+5,求二的值.(答案：4)

y5

⑵若GTT+JG1=0,求02。18+62。18的值.(答案：2)

四、归纳小结

本节课要掌握：

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式，称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

五、布置作业

一、选择题

1.下列式子，是二次根式的是（）

A.-V?B.-V7C.VxD.X

2.下列式子，不是二次根式的是（）

A."B.V16C.aD.-

X

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）

A.5B.石C.1D.以上皆不对

二、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面积为。的正方形的边长为.

3.负数平方根.

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为Irr?的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，底面应做

成正方形，试问底面边长应是多少？

2.当x是多少时，+3+x2在实数范围内有意义?

X

3.若石二+J有有意义，则.

4.使式子J-（X-5）2有意义的未知数x有（）个.

A.0B.1C.2D.无数

5.已知。、b为实数，且Ja-5+2J10-2a=b+4,求。、b的值.

答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.\[a（。20）2.4a3.没有

三、1.设底面边长为X,则0.2x2=1,解得：X=A/5.

2x+3>0-3

2.依题意得:2

xw0

xw0

...当x>-3且x#0时，-2-+3+x2在实数范围内没有意义.

2x

3.—4.B5.a=5,b=-4

3

板书设计：

16.1二次根式(1)

情境引入例2学生板演

二次根式的定义例3

例1例4小结

16.1二次根式(2)

教学内容

1.4a(aNO)是一个非负数；

2.(>[a)2=a(心0).

教学目标

知识与技能目标：理解&(a♦0)是一个非负数和(、石)2=。(。，0),并利用它们进行

计算和化简.

过程与方法目标：复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出，T(a^O)是一个非负数,

用具体数据结合算术平方根的意义导出(&)2=a(0^o)；最后运用结论严谨解题.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，

发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重难点关键

1.重点：4a(a^O)是一个非负数；()2=o(a^O)及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出&(aNO)是一个非负数；用探究的方法导

出(\[a)2=a(o20).

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；

2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲,

并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生理解&(。20)是一个非负数和

(6)2=。(a^O),形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程

一、复习引入

(学生活动)口答

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，&叫什么？当a<0时，G有意义吗？

老师点评(略).

二、探究新知

议一议：8(。20)是一个什么数呢？

老师点评:

4a(a20)是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

(V4)2=；(72)2=；(V9)2=；(G)2=；

心2=—；I/"——；(邪———'

老师点评："是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，"是一个平方等于4的

非负数，因此有(")2=4.

同理可得：(&)2=2,(V9)2=9,(73)2=3,(4j(A)2=(,(To)

2=0,所以

(\[a)2=a(心0)

例1、计算

1.(4)22.(36)23.(g)24.(W)2

分析：我们可以直接利用(G)2=。(a'o)的结论解题.

解：(4)J:，2=32(6)2=32•5=45，

(昌金(立)2二埠

V662224

三、巩固练习

计算下列各式的值：

(何阊圉的阑

(3⑸-(5四

四、应用拓展

例2、计算

1.(y/x+l)2(xNo)2.(V?)23.(《a2+2a+l)2

4.(，4/49+)2

分析：(1)因为x20,所以x+l>0；(2)o2^0；(3)a2+2a+l=(a+1)三0；

(4)4x2-12x+9=(2x)2-2•2x•3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4题都可以运用(JZ)2=a(a2o)的重要结论解题.

解：(1)因为x20,所以x+l>0,

(y/x+1)2=X+1.

(2)Va2>0,(V?)2=a2.

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,(a+1)2^0,a2+2a+1^0,y/a2+2a+\=a2+2a+l.

(4),.,4x2-12x+9=(2x)2-2•2x-3+32=(2x-3)2,(2x-3)2^O,

.".4X2-12X+9^0,；.(“X2-12x+9)2=4X2-12X+9.

例3、在实数范围内分解下列因式：

(1)x2-3(2)xM⑶2x2-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.4a(a^O)是一个非负数;

2.(s[a)2=a(a^O);反之:a=(>Ja)2(a20).

六、布置作业

一、选择题

1.下列各式中而、技、扬-1、扬+从、1病+20、。144,二次根式

的个数是().

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算术平方根，则。的取值范围是().

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空题

1.(-A/3)2=.

2.已知有意义，那么是一个数.

三、综合提高题

1.计•算

(1)(V9)2(2)-(V3)2(3)(y76)2

⑸(26+30)(26-3五)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3,4(3)-(4)x(xNO)

6

3.已知“-y+1+Jx-3=0,求炉的值.

4.在实数范围内分解下列因式：

(1)x2-2(2)/-9⑶3x2-5

答案：一、1.B2.C

二、1.32.非负数

三、1.(1)(囱)2=9(2)-(6)2=-3(3)(—-^6)2=—X6=­'

242

(4)-3^|=9X-|=6(5)-6

2

3.4=(J3.4)；(3)—=(J一)22

2.⑴5=(6)2(2)(4)X=(yfx)(X

6\6

20)

x-y+1=0，x=3

x-3=0=4

4.(1)x2-2=(x+V2)(x-V2)

(2)y*-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+g)(x-6)

⑶略

板书设计:

16.1.二次根式(2)

情境引入例1学生板演

1.4a(。20)是一个非负数；例2

2.(>fa)2=a(心0);

2

反之:。=(y/a)(。20).例3小结

16.1二次根式（3）

教学内容:"=。（。》0）

教学目标

知识与技能目标：理解J/=a（a>0）并利用它进行计算和化简.

过程与方法目标：通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体

问题.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，

发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重难点关键

1.重点：=a（a）0）.

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清时，。才成立.

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；

2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并

进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟（a，0）,形成有效的学习策

略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程:一、复习引入

1.形如右(。，0)的式子叫做二次根式;

2.-Ja(a^O)是一个非负数；

3.(s/a)2=a(a20).

那么，我们猜想当a20时，而=。是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

填空:

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到:

=2；x/o.oF=0.01；1

To

因此，一般地：J/=a(a^O)

例1、化简

(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)J(-3-

分析：因为(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可运用J/=a(a20)去化简.

解：(1)A/9=V?=3(2)J(-4)2==4

(3)V25=5(4)J(-3)2=J?=3

三、应用拓展

例2、填空：当a20时，V?=____；当a<0时，,并根据这一，性质

回答下列问题.

(1)若J/=a,则。可以是什么数?

(2)若正=-a，贝ij。可以是什么数？

(3)>a,则。可以是什么数?

分析：：必二。（。20）,.••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应

变形，使气）2”中的数是正数，因为，当aWO时，>/7=V（-«）2.那么-a>0.

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=

I。I,而|a|大于或等于a,只有a<0时才能使>a.

解：（1）因为，靛=。，所以aNO.

（2）因为=-a,所以aWO.

（3）因为当a20时=a，要使\/?>。，即使。>。,所以。不存在；当a<0时;Vi?"=-a,

要使J/>a,即使-a>a,。<0.综上，a<0.

例3、当x>2,化简J（x_2>_J（l_2x）2.

分析：（略）

四、归纳小结

本节课应掌握：J/=a（。20）及其运用，同时理解当a<0时，J/=-a的应用拓

五、布置作业

+1-23的值是（

123

A.0B.C.4-D.以上都不对

3

2.a20时，C、J（-4、-而,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）.

A.V?=J（-a）2B.V^>J（-a）2>-4^

C.D.-y[c^=^（-a）2

二、填空题

1.-V0.0004=.

2.若J20m是一个正整数，则正整数m的最小值是.

三、综合提高题

1.先化简再求值：当a=9时，求+/的值,甲、乙两人的解答如下:

甲的解答为：原式=a+，(l-a)?=a+(1-a)=1；

乙的解答为：原式=a+，(l—a)2=a+(o-l)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.

2.若|1995-a|+，a-2000=a,求*19952的值.

(提示：先由。-200020,判断1995七的值是正数还是负数，去掉绝对值)

3.若-3WxW2时，试化简|x-2|+7U+3)2+>/X2-10X+25。

答案:一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲没有先判定1-a是正数还是负数

2.由已知得a-|2000|20,a^2000

所以a-1995+Ja-2000=a,Ja—2000=1995,o-2000=19952,

所以。-19952=2000.

3.10-x

板书设计：

16.1二次根式(3)

情境引入例2学生板演

=a(o20).例3

例1练习小结

16.2二次根式的乘除(1)

♦模式介绍

“探究式教学”是以自主探究为主的教学.它是指教学过程是在教师的启发诱导下，以

学生独立自主探究或合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活

实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的一种教学形式.学生

对当前教学内容中的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作交流，以自我获取,

自我求证的方式深化知识的理解和运用.从而较好地达到课程标准中关于认知目标与情感目

标要求的--种教学模式.其中认知目标涉及与学科相关知识、概念、原理与能力的掌握；情

感目标注重科学素养与道德品质的培养.

探究式教学的课程环节：

创设情境一一启发思考一一自主探究一一协作交流一一总结提高

♦思路说明

由数据引出JZ•扬=疯(a>0,b>0),并利用逆向思维，石=G-4b

20)让学生感受到到等式的可逆性，从而形成结论是否可逆的思考方式，加深

学生对数学的思考深度，提高对数学学习的兴趣.

♦教材分析

本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，它与已学

内容“实数”“整式”''勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直三角形”、“一

元二次方程"、"二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学的不等式、函数以及解析

几何等大部分做好准备.通过本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等探

究，发现学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。本

章内容无论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的.

♦教学目标

【知识与能力目标】

1.理解右,\[b=\[ab(a)0,b>0),\[ab=\[a,'Jb(a20,620),并利用它们进

行计算和化简.

2.利用逆向思维而=6•4b(a>0,b>0)并运用它进行解题和化简.

3.法则可以推广到多个二次根式相乘的运算.

【过程与方法】

1.学生在探索过程中，学会观察、分析、总结归纳，学会思考问题，进一步培养学生观察

能力、归纳概括的能力.

2.通过二次根式的乘法运算，提高学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

1.学生通过分析、总结、归纳学会二次根式的乘除运算，并能灵活运算，感受成功.

2.体验数学探究学习活动充满着好奇与创造，并懂得在探究学习活动中学会与他人合作交

流，培养学生求实创新和集体协作的精神.

♦教学重难点

【教学重点】

理解6•、历=\/茄(a>0,b>0),4ab=Va,4b(a20,Z?N0)并运用它进行计

算.

【教学难点】

4a,y/b—y[ab(«>0,Z?>0)的相关计算.

♦课前准备

教学PPT

♦课时安排

1课时

♦教学过程

(一)知识回顾

1、你认为什么样的式子是二次根式?试举一例

2、二次根式有哪些基本性质？

(二)情境引入

1.一个长方形的长是若cm,宽是JBcm,这个长方形的面积是多少？

解：长方形的面积为(、行xj有上加2

思考：这个结果能否化简？如何化简？

(三)探索新知

计算：0)716x79=716x9=

(2)V4x

49

上述结果具有什么规律？利用规律进行计算

⑴夜*6=(2历xV7=

思考：周-4)x(—9)=JNx"是否成立?

归纳：一般地，对二次根式的乘法规定为

4a-y/b—s[ah.(a>0,Z?>0)

文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.

推广：4a->[b'•--Jk=y]a-b---k(a>0,b>0....k>0)

解决问题V6x73=76^3=372

(四)例题讲解

例1.计算

(1)73x75(2)73xV12(3)^1xV27(4)Vx->/7

二次根式的乘法法则G•4b^y/ab(a20,620),

反过来，可以得到“石=/?,\jb(a20,620)

文字叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

利用这个等式可以化简一些根式.

例2.化简

(1)74x121⑵V?X47X8(3)J(-2)x(-8)

注意根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式

(五)总结分享

1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根

y/a,\/b=y[ab(a>0,b20),

\fab=y/a,4b(a》0,620)

2.化简二次根式的步骤：

(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.

(2)应用公式,4b=-fab(a20,620),

(3)将平方项应用二次根式的性质化简.

(六)巩固新知

1.将，32X8化简,正确的结果是()

A.672B.±6五C.3我D.±3我

2.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是()

A.储—11a-1-Ja+1

B.J(a+6)2=q+6

C.J(-16)•a)=

D.J25a4=54

3.下列计算中，正确的是()

A.(2V§y=2x3=6

B.在=a=2

2

C.{(—9)x(—4)=>/36=6

D.V9+16=V9+A/16

4.设。=后/=6，用含a、b的式子表示可三

5.对于任意不相等的两个实a、b,定义运算※如下：〃※。=业主L那么6X12=_.

a-b

6.若J^'=4,扬=5,且ab<0,贝1Ja-b=.

7.计算

(1)76X715x710：⑵5而X4A/27

(3)2y/abx3,~

Va

7.如何比较-7遥和-6疗的大小？

♦板书设计

16.2.1二次根式的乘法

一、二次根式的乘法法则：yfa•y[b=4ah(a20,620)

反过来，可以得到J茄=JZ,s/h(a20,620)

二.化简二次根式的步骤：

(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.

(2)应用公式&,\[b=\[ab(a>0,620),

(3)将平方项应用二次根式的性质化简.

♦教学反思

在探究二次根式乘法的过程中，使学生在探究时，经历了观察、实验、归纳、总结以及

由具体到抽象、由特殊到一般的学习过程，体会到了研究问题、解决问题的方法，加深了对

二次根式乘法法则的理解。

没有刻意地增加难度，而立足于教材，循序渐进地引导学生去学习新知，使学生能准确

地把握学习重点，突破学习难点。

16.2二次根式的乘除⑵

♦教材分析

本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，它与己学

内容“实数”“整式”“勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直三角形"、“一

元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学的不等式、函数以及解析

几何等大部分做好准备.通过本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等探

究，发现学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。本

章内容无论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的.

♦教学目标

【知识与能力目标】

1.理解*(a》0,b〉0)和《今(a>0,6>0)及利用它们进行运算.

2.掌握最简二次根式，及二次根式的乘除法的混合运算.

【过程与方法】

1.学生在探索过程中，学会观察、分析、总结归纳，学会思考问题，进一步培养学生观察

能力、归纳概括的能力.

2.通过二次根式的除法运算和乘除混合运算，提高学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

1.学生通过分析、总结、归纳学会二次根式的乘除运算，并能灵活运算，感受成功.

2.体验数学探究学习活动充满着好奇与创造，并懂得在探究学习活动中学会与他人合作交

流，培养学生求实创新和集体协作的精神.

♦教学重难点

【教学重点】

理解卡(a'O,">0),[a_4a

(a20,b>0)及利用它们进行计算和化简.

Vb4b

【教学难点】

理解臣=4（心①百二当（a>°'核°）及利用它们进行计算和化简•

♦课前准备

教学PPT

♦课时安排

1课时

♦教学过程

（―）知识回顾

1、二次根式有哪些基本性质？

2、二次根式的乘法法则是什么？

（二）探究新知

1.化简二次根式:

计算上述各式，你有什么新的发现？

根据你所发现的规律，利用规律填空:

一般地，对二次根式的除法规定为

东书叱。由>0）

文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.

（三）尝试应用

L计算喏

y/a_[a

二次根式的除法法则(a20,力0),

[a_\[a

反过来,可以得到Nby/h(心0,力0),

文字叙述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.

2•化简:⑴扁（2W

注意根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。

3.化简：（唠⑵竽（3虐

注意：在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式

归纳：什么是最简二次根式？

1、被开方数不含分母；

2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（四）能力拓展

计算：J27x—^2—+4^2—

（五）总结分享

1.二次根式的除法法则:(a》0,b>0)

算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。

[a4a

2.二次根式的除法法则的逆用:(a>0,b>0)

byfb

商的算术平方根等于被除式与除式的算术平方根的商。

3.最简二次根式需要满足哪些条件？

（1）被开方数不含分母;

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

（六）巩固新知

1.下列计算正确的是（）

A.3V3-V3+2V3=4B.5后+收=10C.(7^丫=—2D.2+&=血

2.计算、C的结果是.

।10.09x169

V0.64x196

6.计算：（D括+，!（2）6靛十后

7.化简下列各式:

/、16al八、

⑴J---y-(a>0)；

V9a2

⑵(日20,620,c>0)；

♦板书设计

16.2.2二次根式的乘法

一、二次根式的除法法则：骼

力0)

I(心°‘

算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。

[a_4a

二、二次根式的除法法则的逆用:Nby/b(a，0,6>0)

商的算术平方根等于被除式与除式的算术平方根的商。

三、最简二次根式：

（1）被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

♦教学反思

从学生最近发展区组织教学，类比二次根式的乘法法则，推理出二次根式的除法法则。

促进正向迁移，同化新知，巩固新知。

尊重学生解决问题的方法的多样性，鼓励学生从多角度思考问题。

营造轻松的学习环境，注意让学生在新知识探究的过程中提高合情合理的推理能力、表

达能力、与人合作意识，促进数学思想方法等各方面的进一步发展。

16.3二次根式的加减(1)

教学内容

二次根式的加减

教学目标

知识与技能目标：理解和掌握二次根式加减的方法.

过程与方法目标：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的

方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精

神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法：在

例题教学中，引导学生阅读，与同类项进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行

分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式加减的模型，形成有效的学

习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程:一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字

母不变，系数相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)25/2+35/2(2)2瓜3瓜+5瓜

(3)+2yjl+，9x7(4)3>/3-2yfi+V2

老师点评：

(1)如果我们把0当成X,不就转化为上面的问题吗？

2V2+3V2=(2+3)V2=572

(2)把血当成y；

2瓜-3瓜+5瓜=(2-3+5)次=4&=80

(3)把正当成z；

币+2币+M币

=V7+2y/l+3A/7=(1+2+3)V7=6V7

(4)遥看为x,7份看为y.

373-2x^+72

=(3-2)6+亚

=6+6

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如3a与瓜表面上看是不相同的,

但它们可以合并吗？可以的.

3V2+>/8=3V2+2\/2=5A/2

3币)+V27=35/3+3>/3=6+

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的

二次根式进行合并.

例1.计算：(1)舟M(2)ViKr+V64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二

次根式进行合并.

解：(1)+-\/18=2V2+3V2=(2+3)>/2=55/2.

(2)V16x+A/64X=4A/X+8Vx=(4+8)~Jx=12y/x.

例2.计算:(1)3748-9+3712；(2)(V48+V20)+(V12-x/5).

解:(1)3V48-9+3V12=12V3-35/3+6V3=(12-3+6)6=15®

(2)(V48+V20)+(V12-V5)=A/48+V20+V12-V5

=45/3+25/5+2-5/5-6>/3+>/5.

三、应用拓展：

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(•|xj^+y2，^)-(x2产Exg)的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,

即乂=！，y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类

2

二次根式，最后代入求值.

解：4x2+y2-4x-6y+10=0

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

(2x-l)2+(y-3)2=0

1

x=—,y=3.

2

原式瓦+y2

=2xy/x+-Xyfx+5yjxy

=Xy/x+6yl^

1

当x=—,y=3时,

原式=1X口=-^-+3>/6.

2V2V24

四、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相

同的最简二次根式进行合并.

五、布置作业:

一、选择题

1.以下二次根式：①疵；②亚;③A;④炳中，与逝是同类二次根式的

是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3G+3=6V3;5/7=1;③&:+瓜=瓜=2\/2；@=2，

其中错误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题：

1.在瓜、!岳Z、2瓦、7125,冬67、3g、-24口中，与A是同

33a\8

类二次根式的有.

2.计算二次根式5石-3折-76+9班的最后结果是.

三、综合提高题：

1.已知遥-2.236,求（V8O-J1|）-（艮+［庄）的值•（结果精确到0Q1）

2.先化简，再求值.

(6x.—+—)-(4xJ—+d36xy),其中x=3,y=27.

\xy\y2

答案:一、1.C2.A

二、1.->/75〃—2.6\[h-2y[u,

3a

三、1.原式=4—y/s—s/s-----A/5=—\[s—X2.236^0.45.

55555

2.1M^=6+3y[xy-(4y/xy^-Gylxy)=(6+346)y[xy=-y[xy,

当x=g,y=27时，原式=-Jgx27=-g&.

板书设计：

16.3.二次根式的加减(1)

情境引入例2学生板演

二次根式的加减法则例3

例1练习小结

16.3二次根式的加减(2)

教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标

知识与技能目标：运用二次根式的化简解应用题.

过程与方法目标：通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并

后解应用题.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化筒的严谨的科学精

神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法：在

例题教学中，引导学生阅读，与整式的加减进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并

进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的加减模型，形成有效的学

习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程：一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先

将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们

讲三道例题以做巩固.

二、探索新知

例1.如图所示的RtZ\ABC中，NB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/团秒的速

度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：儿

秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后aPBCl的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形面积公

式就可以求出x的值.

解：设x后△PBQ的面积为35平方厘米，

则有PB=x,BQ=2x.

依题意，得,x・2x=35

2

X2=35

x=V35

所以后秒后,△PBQ的面积为35平方厘米.

227

PQ=[PB?+BQ?=y/x+4x=V5X=J5x35=5币

答：岳秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为55厘米.

例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长

度.

B

解：由勾股定理，得

AB=VAD2+BD2-+2?—V20-2V5

BC=JB£)2+C£)2=^22+12=V5

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=2V5+V5+5+2

=3石+7

七3*2.24+7七13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.

三、应用拓展

例3.若最简根式3弋4a+3"与根式，2次?23+6k是同类二次根式,求a、b的值.

（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上,

根式yl2ab2-h3+6b不是最简二次根式，因此把时一八期化简成

|b|,J2a-6+6，才由同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2M2一03+6己化为最简二次根式:

^2ab2—Z?3+6b2=y]b2(2a-l+6)=|b|•-j2a-b+6.

4a+3/?=2a-h+6

由题意得《

3a—b=2

2a+4b=6

3a-b=2

a=l,b=l.

四、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

五、布置作业

一、选择题

1.己知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（结果

用最简二次根式）

A.5A/2B.>/50C.2垂）D.以上都不对

2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长