2018版高考数学一轮复习第七章不等式73基本(均值)不等式应用真题演练集训理新人教A版

2018版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本(均值)不等式及应用真题操练集训理新人教A版1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．答案：8分析：由sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC，得sin

Bcos

C＋cos

Bsin

C＝2sin

Bsin

C，两边同时除以

cos

Bcos

C，得tan

B＋tan

C＝2tan

Btan

C，令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，由于△ABC是锐角三角形，因此2tanBtanC>2tanBtanC，则tanBtanC>1，m>2.又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanCm124m＝－1·2m＝m－2＝m－2＋m－2＋41－2m4≥2m－m－2＋4＝8，4当且仅当m－2＝m－2，即m＝4时等号建立，故tanAtanBtanC的最小值为8.2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案：160分析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，由于无盖长方体的容积342×4为4m，高为1m，因此长方体的底面矩形的宽为xm，依题意，得y＝20×4＋102x＋x444＝80＋20x＋x≥80＋20×2x×x＝160，当且仅当x＝x，即x＝2时等号建立，因此该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设＋＝2，>0，则当a＝________时，1＋|a|获得最小值．abb2|a|b答案：－2分析：∵a＋b＝2，1|a|2|a|∴2|a|＋b＝4|a|＋ba＋b|a|ab|a|＝4|a|＋b＝4|a|＋4|a|＋bab|×|a|a≥4||＋24|ab＝4||＋1.aa|a|当且仅当4|a|＝b且a<0，|a|即b＝－2a，a＝－2时，2|a|＋b获得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用对于基本(均值)不等式的高考试题，它能够波及的知识点好多，特别是在数列、分析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的剖析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出此刻第(2)问中，常有的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．求数列{an}的前n项和Sn；(2)设n＝2S，数列{n}的前项和为n，求证：2n－9n－1＋18>64b(>1)．bnbnTTbnn2n－1n＋bn＋1[思路剖析](1)依据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{bn}知足bn＝2Sn，2n－1这是一个等差数列的前n项和与一个对于n的一次函数之比，数列{bn}极可能也是一个等差数列，求出其和后，依据不等式的相关知识解决．[解]由于a1，a2，a7成等比数列，2＝17，即2a1(1＋6)．因此2(1＋)＝aaaadad又a1＝1，d≠0，因此d＝4.因此Sn＝na1＋nn－1d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n.2(2)[证明]由于bn＝2Sn＝2nn－＝2，2n－12n－1n因此{b}是首项为2，公差为2的等差数列．n2因此Tn＝n＋2n＝n2＋n.2因此2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18(n－1)＋182n2－16n＋36＝2(n2－8n＋16)＋4＝2(n－4)2＋4≥4，当且仅当n＝4时等号建立．①64n64×2n＋＝n＋n＋bn＋164n6464＝2＋10＋9＝9≤6＋10n＋n＋109＝4，当且仅当n＝n，即n＝3时等号建立．②又①②中等号不行能同时取到，64bn(n>1)．因此2Tn－9bn－1＋18>n＋9bn＋1温馨提示此题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不可以取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有亲密的联系，在多半状况下问题的求解需要结构新的函数，经过合理转变，奇妙放缩去达成．求解这种问题一般难度较大，在高考取常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．ax[典例2]已知h(x)＝ln(x＋1)－x＋1.(1)当a>0时，若对随意的x≥0，恒有h(x)≥0，务实数a的取值范围；1111设x∈N且x>2，试证明：lnx≥2＋3＋4＋＋x.ax(1)[解]h(x)＝ln(x＋1)－x＋1，则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，ax＋1－ah′(x)＝1＋x－＋x2＝＋x2.①当0<a≤1时，对随意的x≥0，h′(x)≥0恒建立，则h(x)在[0，＋∞)上单一递加，h(x)≥h(0)＝0，因此知足题意．②当a>1时，h(x)在x∈(0，a－1]上单一递减，h(x)在x∈[a－1，＋∞)上单一递加．若对随意的x≥0，恒有h(x)≥0，3则h(x)的最小值h(a－1)＝lna＋1－a≥0恒建立．令( )＝ln＋1－(>1)，maaaa则′( )＝1－a，′( )<0，maamam(a)在a∈(1，＋∞)上单一递减，因此当a∈(1，＋∞)时，有m(a)<m(1)＝0，与h(a－1)＝lna＋1－a≥0恒建立矛盾．因此实数a的取值范围为(0,1]．(2)[证明]由(1)知，ln(1＋x)≥x，1＋x因此lnx＝ln234x1