空间几何全国二真题集锦带解析答案

9.（2010·重庆高考理科·Ｔ１9）如图，四棱锥中，底面为矩形，，，点是棱的中点.（1）求直线与平面的距离；（2）若，求二面角的平面角的余弦值.【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三垂线定理等，考查线面距离的求法、二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想方法、转化与化归的能力.【思路点拨】（1）把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，寻找过此点与平面垂直的直线；（2）作出二面角的平面角，再根据三角函数、余弦定理等求解.【规范解答】方法一：（1）如图1，在矩形中，∥，从而∥平面，故求直线与平面的距离就是点到平面，所以，由知为等腰直角三角形，又点是棱，又在矩形中，，而是在底面上的射影，由三垂线定理得，从而，故，从而，故之长即为直线与平面中，，所以，即直线与平面的距离是.（2）过点作，交于，过点作，交于点，则，又∥，得，故，从而，在中，，又因为，所以为等边三角形，故为的中点，且.因为，故，又，知且∥，从而，且点为结，则在中，.所以.方法二：（I）如图2，以为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，则，，,因此,，则，所以，又因为∥，所以∥平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为.（2）因为AD，则，设平面的法向量为，则，又，所以，所以，取，则.设平面的法向量，则.又，所以，所以，取，则.所以，所以二面角的平面角的余弦值为.【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题，并体会法向量在求空间角中的作用2.【命题立意】本题考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间中点面距离，考查二面角的求解以及几何体的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、化归转化能力和运算求解能力。【思路点拨】本题主要有两种方法，方法一：几何法（1）将点面距离问题转化为体积相等的问题，降低直接求解的难度；（2）对二面角的求法思路，一般是①“作”，②“证”，③“求”.其中“作”是关键，“证”是难点.方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量，借助于法向量求解，使问题变得简单.【规范解答】方法一：（1）取中点，连结，则．又平面平面，则，所以//，//平面．到平面的距离相等．作于，连结，则．求得，．设点到平面的距离为，由得．即，解得．（2）延长相交于，连结，，是平面与平面的交线．由（1）知，是的中点，则四边形是菱形．作于，连结，则就是二面角的平面角，设为．因为，所以．,．方法二：取中点，连结，则．又平面平面，则平面．以为原点，直线OC,BO,OM为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图．，则各点坐标分别为（1）设是平面MBC的法向量，则由得由得取则(2)设平面ACM的法向量为由得解得取又平面BCD的法向量为所以设所求二面角为则3.【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.【思路点拨】方法一：几何法.问题（1），分别证明，即可.问题（2）首先利用三垂线定理，作出二面角的平面角，然后通过平面角所在的直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题.问题（3）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，和都在平面内，且，故，利用三棱锥的体积公式很快求出.方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.【规范解答】方法一：（1）连结.取的中点，则为的中点，连结.∵点是棱的中点，点是的中点，由，得.∵，且BD∩BB´=B∴.∴.∴.又∵与异面直线和都相交，故为异面直线和的公垂线，（2）取的中点，连结，则，过点作于，连结，则由三垂线定理得，.∴为二面角的平面角..在中.tan∠故二面角的大小为.（3）易知，,且和都在平面内，点到平面的距离，∴.方法二：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，（1）∵点是棱的中点，点是的中点，∴,，,,.,,∴,,又∵与异面直线和都相交，故为异面直线和的公垂线，（2）设平面的一个法向量为，，.即取，则..取平面的一个法向量.，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为.（3）易知，，设平面的一个法向量为，,,即取，则，从而.点到平面的距离..5.19、【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，又，∴，∵，∴，∵，∴.(Ⅱ)分别以，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图：6.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且． （1）求证：； （2）求证：平面; 证明：(I)因为是正三角形，是中点，所以,即又因为，平面，又，所以平面又平面，所以（Ⅱ）在正三角形中，在中，因为为中点，，所以，所以，所以在等腰直角三角形中，，，所以，，所以又平面，平面，所以平面7.解：（1）证明：∵底面，且底面，∴由，可得又，∴平面注意到平面，∴,为中点，∴，∴平面（2）取的中点，的中点，连接，∵为中点，，∴．∵平面平面，∴平面．同理可证：平面．又，∴平面平面．∵平面，∴平面．（3）由（1）可知平面又由已知可得．∴所以三棱锥的体积为．下面是经典古文名句赏析！！不需要的朋友，可以下载后编辑删除！！谢谢经典古文名篇（一）；1.陋室铭刘禹锡（唐）字梦得《刘梦得文集》；山不在高，有仙则名；2．马说韩愈（唐）字退之《昌黎先生集》；世有伯乐，然后有千里马；马之千里者，一食(shí)或尽粟一石（dàn）；策之不以其道，食(sì)之不能尽其材（才），鸣之；3．师说韩愈（唐）；古之学者必有师；嗟乎！师道之不传也久矣！欲人之无惑也难矣！古之圣；圣人无常师；李氏子蟠，年十七经典古文名篇（一）1.陋室铭刘禹锡（唐）字梦得《刘梦得文集》山不在高，有仙则名。水不在深，有龙则灵。斯是陋室，惟吾德馨。苔痕上阶绿，草色入帘青。谈笑有鸿儒，往来无白丁。可以调素琴，阅金经。无丝竹之乱耳，无案牍之劳形。南阳诸葛庐，西蜀子云亭。孔子云：何陋之有？2．马说韩愈（唐）字退之《昌黎先生集》世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，只辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。马之千里者，一食(shí)或尽粟一石（dàn）。食(sì)马者不知千里而食(sì)也。是马也，虽有千里之能，食(shí)不饱，力不足，才美不外见（现），且欲与常马等不可得，安求其能千里也？策之不以其道，食(sì)之不能尽其材（才），鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：“天下无马！”呜呼！其真无马邪(ye)？其真不知马也。3．师说韩愈（唐）古之学者必有师。师者，所以传道受（授）业解惑也。人非生而知之者，孰能无惑？惑而不从师，其为惑也，终不解矣。生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之；生乎吾后，其闻道也亦先乎吾，吾从而师之。吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？是故无贵无贱，无长无少，道之所存，师之所存也。嗟乎！师道之不传也久矣！欲人之无惑也难矣！古之圣人，其出人也远矣，犹且从师而问焉；今之众人，其下圣人也亦远矣，而耻学于师。是故圣益圣，愚益愚。圣人之所以为圣，愚人之所以为愚，其皆出于此乎？爱其子，择师而教之；于其身也，则耻师焉，惑矣。彼童子之师，授之书而习其句读（d?u）者，非吾所谓传其道解其惑者也。句读之不知，惑之不解，或师焉，或不(fǒu)焉，小学而大遗，吾未见其明也。巫医乐师百工之人，不耻相师。士大夫之族，曰师曰弟子云者，则群聚而笑之。问之，则曰：“彼与彼年相若也，道相似也，位卑则足羞，官盛则近谀。”呜呼！师道之不复，可知矣。巫医乐师百工之人，君子不齿，今其智乃反不能及，其可怪也欤！圣人无常师。孔子师郯(tán)子、苌(cháng)弘、师襄、老聃(dàn)。郯子之徒，其贤不及孔子。孔子曰：三人行，则必有我师。是故弟子不必不如师，师不必贤于弟子，闻道有先后，术业有专攻，如是而已。李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余。余嘉其能行古道，作《师说》以贻之。4.爱莲说周敦颐（北宋）字茂叔《周元公集》水陆草木之花，可爱者甚藩(fán)。晋陶渊明独爱菊。自李唐来，世人甚爱牡丹。予独爱莲之出淤泥而不染，濯清涟而不妖，中通外直，不蔓不枝，香远益清，亭亭净植，可远观而不可亵玩焉。予谓菊，花之隐逸者也；牡丹，花之富贵者也；莲，花之君子者也。噫！菊之爱，陶后鲜有闻。莲之爱，同予者何人？牡丹之爱，宜乎众矣！5.得道多助，失道寡助《孟子?公孙丑》（战国）名轲字子舆天时不如地利，地利不如人和。三里之城，七里之郭，环而攻之而不胜。夫还而攻之，必有得天时者矣，然而不胜者，是天时不如地利也。城非不高也，池非不深也，兵革非不坚利也，米粟非不多也，委而去之，是地利不如人和也。故曰，域民不以封疆之界，固国不以山溪之险，威天下不以兵革之利。得道者多助，失道者寡助。寡助之至，亲戚畔（叛）之。多助之至，天下顺之。以天下之所顺，攻亲戚之所畔，故君子有不战，战必胜矣。6．生于忧患，死于安乐《孟子?告子》舜发于畎亩之中，傅说(yua)举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾（增）益其所不能。人恒过，然后能改；困于心，衡于虑，而后作；征于色，发于声，而后喻。入则无法家拂(bì)士，出则无敌国外患者，国恒亡。然后知生于忧患，而死于安乐也。7．鱼我所欲也《孟子》鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。生，亦我所欲也，义，亦我所欲也，二者不可得兼，舍生而取义者也。生亦我所欲，所欲有甚于生者，故不为苟得也。死亦我所恶，所恶有甚于死者，故患有所不避也。如使人之所欲莫甚于生，则凡可以得生者何不用也？使人之所恶莫甚于死者，则凡可以避患者何不为也？由是则生而有不用也；由是则可以避患而有不为也。是故所欲有甚于生者，所恶有甚于死者。非独贤者有是心也，人皆有之，贤者能勿丧耳。一箪食，一豆羹，得之则生，弗得则死。呼尔而与之，行道之人弗受；蹴尔而与之，乞人不屑也。万钟则不辨礼义而受之，万钟于我何加焉！为宫室之美，妻妾之奉，所识穷乏者得我欤？向为身死而不受，今为宫室之美为之；向为身死而不受，今为妻妾之奉为之；向为身死而不受，今为所识穷乏者得我而为之：是亦不可以已乎？此之谓失其本心。8．劝学《荀子》（战国）名况君子曰：学不可以已。青，取之于蓝，而青于蓝；冰，水为之，而寒于水。木直中(zh?ng)绳，以为轮，其曲中规。虽有(又)槁(gào)暴(pù)，不复挺者，使之然也。故木受绳则直，金就砺则利，君子博学而日参(cān)省乎己，则知明而行无过矣。吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也；吾尝跂（qí）而望矣，不如登高之博见也。登高而招，臂非加长也，而见者远；顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生(性)非异也，善假于物也。积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。蚓无爪牙之利，筋骨之强，上食埃土，不饮黄泉，用心一也。蟹六跪而二螯，非蛇鳝之穴无可寄托者，用心躁也。9．问说刘开（清）字明东、方来号孟涂君子学必好问。问与学，相辅而行者也，非学无以致疑，非问无以广识。好学而不勤问，非真能好学者也。理明矣，而或不达于事，识其大矣，而或不知其细，舍问，其奚决焉？贤于己者，问焉以破其疑，所谓就有道而正也。不如己者，问焉以求一得，所谓以能问于不能，以多问于寡也。等于己者，问焉以资切磋，所谓交相问难(nàn)，审问而明辨之也。《书》不云乎？“好问则裕。”孟子论“求放心”，而并称曰“学问之道”，学即继以问也。子思言“尊德性”，而归于“道问学”，问且先于学也。古之人虚中乐善，不择事而问焉，不择人而问焉，取其有益于身而已。是故狂夫之言，圣人择之，刍荛(ráo)之微，先民询之，舜以天子而询于匹夫，以大知而察及迩言，非苟为谦，诚取善之弘也。三代而下，有学而无问，朋友之交，至于劝善规过足矣，其以义理相咨访，孜孜焉唯进修是急，未之多见也，况流俗乎？是己而非人，俗之同病。学有未达，强(qiǎng)以为知，理有未安，妄以臆度(duo)，如是，则终身几无可问之事。贤于己者，忌之而不愿问焉，不如己者，轻之而不屑问焉，等于己者，狎之而不甘问焉，如是，则天下几无可问之人。人不足服矣，事无可疑矣，此唯师心自用耳。夫自用，其小者也；自知其陋而谨护其失，宁使学终不进，不欲虚以下人，此为害于心术者大，而蹈之者常十之。不然，则所问非所学焉：询天下之异文鄙事以快言论；甚且心之所已明者，问之人以试其能，事之至难解者，问之人以穷其短。而非是者，虽有切于身心性命之事，可以收取善之益，求一屈己焉而不可得也。嗟乎！学之所以不能几(jī)于古者，非此之由乎？且夫不好问者，由心不能虚也；心之不虚，由好学之不诚也。亦非不潜心专力之敌，其学非古人之学，其好亦非古人之好也，不能问宜也。智者千虑，必有一失。圣人所不知，未必不为愚人之所知也；愚人之所能，未必非圣人之不能也。理无专在，而学无止境也，然则问可少耶？《周礼》，外朝以询万民，国之政事尚问及庶人，是故贵可以问贱，贤可以问不肖，而老可以问幼，唯道之所成而已矣。孔文子不耻下问，夫子贤之。古人以问为美德，而并不见其有可耻也，后之君子反争以问为耻，然则古人所深耻者，后世且行之而不以为耻者多矣，悲夫！10.前赤壁赋苏轼（北宋）字子瞻号东坡居士壬戌之秋，七月既望，苏子与客泛舟游于赤壁之下。清风徐来，水波不兴。举酒属客，诵明月之诗，歌窈窕之章。少焉，月出于东山之上，徘徊于斗牛之间。白露横江，水光接天。纵一苇之所如，凌万顷之茫然。浩浩乎如冯虚御风，而不知其所止；飘飘乎如遗世独立，羽化而登仙。于是饮酒乐甚，扣舷而歌之。歌曰：“桂棹兮兰桨，击空明兮溯流光；渺渺兮予怀，望美人兮天一方。”客有吹洞箫者，倚歌而和之。其声呜呜然，如怨，如慕，如泣，如诉，余音袅袅，不绝如缕。舞幽壑之潜蛟，泣孤舟之嫠妇。苏子愀然，正襟危坐而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞’，此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非曹孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？况吾与子渔樵于江渚之上，侣鱼虾而友麋鹿，驾一叶之扁舟，举匏樽以相属。寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟。哀吾生之须臾，羡长江之无穷。挟飞仙以遨游，抱明月而长终。知不可乎骤得，托遗响于悲风。”苏子曰：“客亦知夫水与月乎？逝者如斯，而未尝往也；盈虚者如彼，而卒莫消长也。盖将自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也，而又何羡乎？且夫天地之间，物各有主。苟非吾之所有，虽一毫而莫取。唯江上之清风，与山间之明月，耳得之而为声，目遇之而成色，取之无禁，用之不竭，是造物者之无尽藏也，而吾与子之所共适。”客喜而笑，洗盏更酌。肴核既尽，杯盘狼藉。相与枕藉乎舟中，不知东方之既白。11．后赤壁赋苏轼是岁十月之望，步自雪堂，将归于临皋。二客从予，过黄泥之坂。霜露既降，木叶尽脱。人影在地，仰见明月。顾而乐之，行歌相答。已而叹曰：“有客无酒，有酒无肴，月白风清，如此良夜何？”客曰：“今者薄暮，举网得鱼，巨口细鳞，状如松江之鲈。顾安所得酒乎？”归而谋诸妇。妇曰：“我有斗酒，藏之久矣，以待子不时之需。”于是携酒与鱼，复游于赤壁之下。江流有声，断岸千尺，山高月小，水落石出。曾日月之几何，而江山不可复识矣！予乃摄衣而上，履巉岩，披蒙茸，踞虎豹，登虬龙，攀栖鹘之危巢，俯冯夷之幽宫，盖二客不能从焉。划然长啸，草木震动，山鸣谷应，风起云涌。予亦悄然而悲，肃然而恐，凛乎其不可留也。反而登舟，放乎中流，听其所止而休焉。时夜将半，四顾寂寥。适有孤鹤，横江东来，翅如车轮，玄裳缟衣，戛然长鸣，掠予舟而西也。须臾客去，予亦就睡。梦一道士，羽衣蹁跹，过临皋之下，揖予而言曰：“赤壁之游乐乎？”问其姓名，俯而不答。“呜呼噫嘻！我知之矣。畴昔之夜，飞鸣而过我者，非子也耶？”道士顾笑，予亦惊寤。开户视之，不见其处。12．卖炭翁白居易（唐）字乐天号香山居士《白氏长庆集》卖炭翁，伐薪烧炭南山中。满面尘灰烟火色，两鬓苍苍十指黑。卖炭得钱何所营？身上衣裳口中食。可怜身上衣正单，心忧炭贱愿天寒。夜来城外一尺雪，晓驾炭车碾冰辙。牛困人饥日以高，市南门外泥中歇。翩翩两骑(jì)来是谁？黄衣使者白衫儿。手把文书口称敕，回车叱牛牵向北。一车炭，千余斤，宫使驱将(jiāng)惜不得。半匹红绡一丈绫，系(jì)向牛头充炭直（值）。13．木兰诗《乐府诗集》北朝民歌唧唧复唧唧，木兰当户织。不闻机杼声，惟闻女叹息。问女何所思，问女何所忆。女亦无所思，女亦无所忆。昨夜见军帖(tiě)，可汗大点兵，军书十二卷，卷卷有爷名。阿爷无大儿，木兰无长兄，愿为市鞍马，从此替爷征。东市买骏马，西市买鞍鞯(jiān)，南市买辔头，北市买长鞭。旦辞爷娘去，暮宿黄河边，不闻爷娘唤女声，但闻黄河流水鸣溅溅(jiàn)。旦辞黄河去，暮至黑山头，不闻爷娘唤女声，但闻燕山胡骑鸣啾啾。万里赴戎机，关山度若飞。朔气传金柝，寒光照铁衣。将军百战死，壮士十年归。归来见天子，天子坐明堂。策勋十二转，赏赐百千强。可汗问所欲，木兰不用尚书郎；愿驰千里足，送儿还故乡。爷娘闻女来，出郭相扶将(jiāng)；阿姊闻妹来，当户理红妆；小弟闻姊来，磨刀霍霍向猪羊。开我东阁门，坐我西阁床，脱我战时袍，着我旧时裳，当窗理云鬓，对镜帖(贴)花黄。出门看火（伙）伴，火伴皆惊忙：同行十二年，不知木兰是女郎。雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离；双兔傍(bàng)地走，安能辨我是