离散数学函数复习题答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——离散数学函数复习题答案第6章函数

一、选择题（每题3分）

1、设A?{a,b,c},B?{1,2,3}，则以下关系中能构成A到B函数的是（C）A、f1?{?a,1?,?a,2?,?a,3?}B、f2?{?a,1?,?b,1?,?b,2?}C、f4?{?a,1?,?b,1?,?c,1?}D、f1?{?a,1?,?a,2?,?b,2?,?c,3?}2、设R、Z、N分别为实数集、整数集，自然数集，则以下关系中能构成函数的是（B）A、{?x,y?|(x,y?N)?(x?y?10)}B、{?x,y?|(x,y?R)?(y?x2)}C、{?x,y?|(x,y?R)?(y2?x)}D、{?x,y?|(x,y?Z)?(x?ymod3)}3、设Z为整数集，则二元关系f?{?a,b?a?Z?b?Z?b?2a?3}（B）A、不能构成Z上的函数B、能构成Z上的函数C、能构成Z上的单射D、能构成Z上的满射4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)???1?0若x为奇数若x为偶数，则f（D）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射5、设f为整数集Z上的函数，且f(x)为x除以5的余数，则f（D）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射6、设R、Z分别为实数集、整数集，则以下函数为满射而非单射的是（C）A、f:R?R,C、f:R?Z,A、f:R?R,C、f:R?R,f(x)?x?6B、f:R?R,f(x)?[x]D、f:R?R,2f(x)?(x?6)f(x)?x?6x

627、设R、R、Z?分别为实数集、非负实数集、正整数集，以下函数为单射而非满射的是（B）

f(x)??x?7x?1B、f:Z??R,f(x)?lnx；

f(x)?xD、f:R?R,f(x)?7x?1

8、设Z、N、E分别为整数集，自然数集，偶数集，则以下函数是双射的为（A）A、f:Z?E,f(x)?2xB、f:Z?E,f(x)?8x

C、f:Z?Z,f(x)?8D、f:N?N?N,f(n)??n,n?1?9、设X?3,Y?4，则从X到Y可以生成不同的单射个数为（B）．A、12B、24C、64D、8110、设X?3,Y?2，则从X到Y可以生成不同的满射个数为（B）．

A、6B、8C、9D、6411、设函数f:B?C，g:A?B都是单射，则f?g:A?C（A）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射12、设函数f:B?C，g:A?B都是满射，则f?g:A?C（B）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射13、设函数f:B?C，g:A?B都是双射，则f?g:A?C（C）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射14、设函数f:B?C，g:A?B，若f?g:A?C是单射，则（B）A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射15、设函数f:B?C，g:A?B，若f?g:A?C是满射，则（C）A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射16、设函数f:B?C，g:A?B，若f?g:A?C是双射，则（D）

A、f,g都是单射B、f,g都是满射C、f是单射,g是满射D、f是满射,g是单射

二、填充题（每题4分）

1、设X?m,Y?n，则从X到Y有2mn种不同的关系，有nm种不同的函数．2、设X?m,Y?n，且m?n，则从X到Y有Anm种不同的单射．3、在一个有n个元素的集合上，可以有2不同的双射．

?1，若x为奇数?4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)??x?若x为偶数?2，n2种不同的关系，有nn种不同的函数，有n!种

,

则f(0)?0，f[{0}]?{0}，f[{1,2,3}]?{1}，f[{0,2,4,6,?}]?N．

5、设f,g是自然数集N上的函数,?x?N,f(x)?x?1,则f?g(x)?2x?1，g?f(x)?2(x?1)．

g(x)?2x，

三、问答计算题（每题10分）

1、设A?{2，3，4}，B?{2，4，7，10,12}，从A到B的关系

R?{?a,b?a?A,b?B,且a整除b}，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此

关系R及其逆关系R?1是否为函数？为什么？

解：R?{?2,2?,?2,4?,?2,10?,?2,12?,?3,12?,?4,4?,?4,12?}，则R的关系图为：

ABR的关系矩阵为MR?1??0???01010001001??1?1??23424710关系R不是A到B的函数，

由于元素2，4的象不唯一

12逆关系R?1也不是B到A的函数由于元素7的象不存在．

2、设Z为整数集，函数f：Z?Z?Z，且f(x,y)?x?y，问f是单射还是满射？为什么？并求f(x,x),f(x,?x)．

解：?x?Z,??0,x??Z?Z，总有f(0,x)?x，则f是满射；

对于?1,2?,?2,1??Z?Z,，有f(1,2)?3?f(2,1)，而?1,2???2,1?，则f非单射；

f(x,x)?2x,f(x,?x)?0．3、设A?{1,2}，A上所有函数的集合记为AA,“?〞是函数的复合运算，试给出AA上运算“?〞的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元？解：由于A?2，所以A上共有22?4个不同函数，令Af1(1)?1,f1(2)?2;?A?{f1,f2,f3,f4}，其中：

f2(1)?1,f2(2)?1;f3(1)?2,f3(2)?2;f4(1)?2,f4(2)?1

f1f1f2f3ff2f2f2f3f3f3f3f4f4f2f3f1f2f3f2f33Af1为A中的幺元，f1和f4有逆元．

f4f2f14、设R为实数集，函数f：R?R?R?R，且f(?x,y?)??x?y,x?y?，问f是双射吗？为什么？并求其逆函数f?1(?x,y?)及f?f(?x,y?)．

解：??x1,y1?,?x2,y2??R?R，若f(?x1,y1?)?f(?x2,y2?)，有?x1?y1,x1?y1???x2?y2,x2?y2?，则?x1,y1???x2,y2?，故f是单射；

22且f(?x,y?)??x?y,x?y???u,v?，则f是满射，故为双射；x?yx?y,?；22f?f(?x,y?)?f(?x?y,x?y?)?f(?2x,2y?)．f?1??u,v??R?R，令x?u?v，y?u?v，则?x,y??R?R，

(?x,y?)??四、证明题（每题10分）

1、设函数f：A?B，g：B?C，g和f的复合函数g?f：A?C，试证明：假使g?f是双射，那么f是单射，g是满射．证明：?x1,x2?A且f(x1)?f(x2)?B，

则g?f(x1)?g[f(x1)]?g[f(x2)]?g?f(x2)，因g?f是单射，有x1?x2，故f是单射；

?c?C，因g?f是满射，?a?A，使c?g?fa()?g[fa()]，而f(a)?B，故g是满射．

注：假使g?f是单射，那么f是单射；假使g?f是满射，那么g是满射．2、设f是A上的满射，且f?f?f，证明：f?IA．

证明：因f是满射，则对?a?A，存在a1?A，使得f(a1)?a，则f?f(a1)?f[f(a1)]?f(a)，由f?f?f，知a1?a，于是f(a)?a，由a的任意性知f?IA．3、设函数f：A?B，g：B?A，证明：若f证明：因f?1?1?g,f?g?1，则g?f?IA,f?g?IB．

?g,则?y?B,g(y)?f?1(y)?x?A，有g(y)?x,f(x)?y，

于是，对?y?B，有f?g(y)?f[g(y)]?f(x)?y?IB(y)，知f?g?IB；

?1又f?g?1，则对?x?A,f(x)?g(x)?y，有f(x)?y,g(y)?x，

于是，对?x?A，有g?f(x)?g[f(x)]?g(y)?x?IA(x)，知g?f?IA．4、设函数f：A?B，g：B?A，证明：若g?f?IA,f?g?IB，则f?1?g,f?g?1．

证明：因恒等函数IA是双射，则g?f是A上的双射，有f是单射，g是满射；同样，恒等函数IB是双射，则g?f是B上的双射，有f是满射，g是单射；所以，f和g都是双射函数，其反函数都存在，故有f注：设函数f：A?B，g：B?A，证明：f?1?1?g,f?g?1?1．

?g,f?g?g?f?IA,f?g?IB．