数学人教八年级上册（2013年新编）12-3-2 角的平分线的判定（教学设计）

12.3.2角的平分线的判定教学设计一、教学目标：1.理解角平分线的判定定理.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.二、教学重、难点：重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.难点：角的平分线的判定.三、教学准备：课件、三角尺、圆规等。四、教学过程：复习回顾角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.几何符号语言：∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.

∴PD=PE知识精讲思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？动态演示：猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.

求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：经过点P作射线OC.

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠PEO=90°，

在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，

∴∠POD=∠POE，

即点P在∠AOB的平分线上.知识要点：性质定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).几何符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE

∴点P在∠AOB的平分线上(或∠1=∠2)思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？则：这个集贸市场应建于点P处.【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.【针对练习】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.则：点P为所求.典例解析例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F.

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE，

同理，PE=PF，

∴PD=PE=PF，

即P到三边AB，BC，CA的距离相等.想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.例2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条角平分线的交点，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝12∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝12∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠例3.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.证明:过P作PE⊥AC于E.∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC，∴PD=PE，∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC，∴PF=PE，∴PD=PF，∵PD⊥BM,PF⊥BN，∴P在∠MBN的平分线上，即BP为∠MBN的平分线.【针对练习】如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.证明：过P点做PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分别是F，G，H.∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的外角的平分线∴PG=PH，PF=PG∴PF=PG=PH即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.例4.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.证明:(1)作MN⊥AD于N.∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD，∴CM=MN，∵M是BC的中点，∴CM=MB，∴MN=MB，∵MB⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB，∴AM平分∠DAB.(2)由(1)得MC=MN,MB=MN，在Rt△MCD和Rt△MND中，，∴Rt△MCD≌Rt△MND(HL)，∴CD=ND，同理可得AB=AN，∵AD=AN+ND，∴AD=AB+CD.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=______.3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证:AD是∠BAC的平分线.【参考答案】1.62.55°3.44.55.解：点P为所求.6.解:点P即为所求，即△ABC分为△ABP、△ACP、△BCP三个小三角形，即可符合面积比为3:4:5.7.证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线.五、教学反思：本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在