2021年高考数学考点39数学归纳法必刷题理【含答案】

考点39数学归纳法

1.用数学归纳法证明：/+("6N*)能被x+y整除.从假设n=k成立到==k+l成立时，被

整除式应为()

A,y+3+y2k+3B./+2+y2k+2c.》2k+l+y2k+l口.+y2k

c

由于当n=k+l时,x2n-1+y2n-1=x2k+1+y2k+1,

故选：C.

2.等式/+22+32+--+〃2=；(5〃2—7〃+4)()

A.〃eN”时都成立B.当〃=1,2,3时成立

C.当〃=4时成立，〃=5时不成立D.仅当〃=4时不成立

B

【解析】

当”=1时，左边=1,右边=1,成立；

当“2时，左边=1+4=5,右边=5,成立,

当n=3时，左边=1+4+9=14,右边=14,成立；

当》=4时，左边=1+4+9+16=40,右边=28,不成立；

当n=5时，左边=1+4+9+16+25=65,右边=94,不成立；

故选：B.

3.利用数学归纳法证明"5+l)(n+2)“,(n+n)=2"xlx3x“-x(2"-l),neN"”时，从“n=k”变

到“n=k+l”时，左边应增乘的因式是()

2k+1(2k+l)(2k+2)2k+3

A.2Jc+lB.k+1C.fc+1D.k+1

C

【解析由题意，n="k"时,左边为(k+1)(k+2)•••(k+k)；n=k+l时，左边为(k+2)

(k+3)-(k+l+k+1)；从而增加两项为(2k+l)(2k+2),且减少一项为(k+1),故选C.

11111,、，、

-----1------F----N—(n6/V.)

4.用数学归纳法证明“n+l»+2-n+n24+”时，由兀=卜到"=k+1时，不等试左边应

添加的项是()

111

A.2(k+1)B.2k+12k+2

1^111^111

c.2fc+l+2fc+2-fc+lD.2fc+l+2fc+2-fc+1-fc+2

C

【解析】

由n=k时,左边为4:+比+・・•；,

RT••ItT«HT

当n=k+l时，左边为第+沅+…+示+右+忑不二

所以增加项为两式作差得：乐+-一：，选C.

—R+a.A十一R十一

5.如果命题PS)对于”=1成立，同时，如果n=k成立，那么对于口=忆+2也成立。这样，下述结论中正

确的是()

A.PS)对于所有的自然数兀成立B.P5)对于所有的正奇数〃成立

C.PS)对于所有的正偶数”成立D.P5)对于所有大于3的自然数九成立

B

由于若命题P(2对"=卜成立，则它对"=4+2也成立.又已知命题P(D成立，

可推出P(3)、P⑸、P⑺、P⑼、P(11)…均成立，

即P(n)对所有正奇数n都成立

故选：B.

a1=l,a+1=H-----(n€N*)

6.已知正项数列但“中，n1+与用数学归纳法证明%＜册+式"€')

见解析.

【解析】

①当兀=1时>a-=1+3-=2,所以，7]=1时>不等式成立；

-1+521-

②假设兀="([eN')时>成立，则当n=k+l时,

n^--5+1=1+"a>:~*—0火+1=1+11>:-1—(1H—^-｝=2-------—

+X十'l-Hifc♦i"十工工+吗.|'mJl-Hiic1-HXJC4.I

=―—>0,

Q+aQQ+akT)

所以，7Z=k+l时，不等式成立.

综上所述，不等式品〈品+工5亡*)成立.

7.设〃qN+,正项数列｛4｝的前〃项的积为北，且V左£河，当〃〉左时，属工[二[工都成立.

⑴若"=｛1｝,q=JL%=36，求数列｛4｝的前“项和；

(2)若"=｛3,4｝,%=正，求数列｛4｝的通项公式.

(1)—(2)2"一'啦

22

(1)当n22时，因为M=｛1｝,所以+=TJ],可得2什曰两，

an+\仆/、、

故-----二:二3(n^2).

an

又a产JI,az=3百，则｛aj是公比为3的等比数列，

故｛许｝的前n项和为)=3・3”一旦.

1-322

(2)当n>k时，因为+kTn-k=TnTk,所以J，?+1+kTn+1—/二八.门口

所以,如+,6；-"一=,即Jan+l+kxm+l-kf+i,

'y/Tn+l+kTn+l-kTn+lTk

因为M=｛3,4｝,所以取k=3,当n>3时，有4+4ali尸加+内

取k=4,当n>4时，有如5303=an-r.

由an-5&3=an+l2知，

数列处36,aio,ai4,318,3…,a4n真…,是等比数列，设公比为q・…①

由2=311+1知，

数列如as,ag,an,ai4,au,.◎i,…，是等比数列，设公比为qi,…②

数列。as,孙皿ais,am…,叫…,成等比数列,设公比为中，…③

数列aw,a〃孙叽a®叽a：「…，…'成等比数列,设公比为q3,…④

由①②得,绰中，目”=q/，所以卬=q：.

alal

由①③得，黑寸，且粤-q?,所以q2=q'；

由①④得，军,，且任=中4,所以q尸qi；

alOalO

3

所以qi=q：=q3=q4.

31

由①③得，a6=aiq,as=a3Q2,所以生=上-=q",

alql

A2i

由①④得，aio=a2q2,aio=24q32,所以—=—=<?:,

。2g；

所以a2,a?,a4是公比为qK的等比数列，所以｛aj(n>2)是公比为的等比数列.

因为当n=4,k=3时，T7T产T42T3?；

22

当n=5,k=4时，T9T1=T5T4,

J.11061

所以(qD7=2a23且(q彳)=2a2,所以q"=2,a万2五.

\_

又a尸&,所以｛aj(nGN*)是公比为q4的等比数列.

故数列｛aj的通项公式是an=2"-♦也.

z^l02厂3「n

8.已知数列｛qj满足=C：+苣1■+黄+节二+…〃eN*.

(1)求q,a2,生的值；

(2)猜想数列｛%｝的通项公式，并证明..

(1)a1-2,a2-4,a3-8,(2)见解析

t解析】

(1)q=2,n2=4,n3=8.

(2)猜想：4=2".

证明：①当〃=1,2,3时，由上知结论成立;

②假设"=上时结论成立，

-_（2上+1）!_（2左+1）!（上+1）g（2k+l）!（2k+2）_i

***一左!（左+］）!一仕+1）妇（左+1）!―（k+l）!（k+l）!25i

于是%।=2"+g%一

所以%+1=2人1故〃=k+1时结论也成立.

由①②得，a=2n,neN\

11117

-----F-----1-----+…+------＞—

9.用数学归纳法证明：对于任意的“6N,n+2n+3n+42n+124

见解析

【解析】

当n=l时，左边=：=§＞岂=右边，命题成立.

假设当??=k(keN*)命题成立，即；+：+=+…+=-＞士;

A十一K十，A十十上14

当n=k+l时，左边=W=

2?C+2必3/124*+二*+3fc+2

＞二+—t+_2______Z=一

24二/+:)3(k+3)2(k+3)

即当n=k+l时，命题成立.

综卜所述»对于任意的”®N',—-—卜——I——+…H—z—＞二.

J-1-J/IA_7JJ7n+2n+3n+42nfl24

bb+m

10.(1)已知。＞6＞0，加＞0,比较雨衣后的大小并给出解答过程;

3572几+11________

-----＞yin+1

(2)证明：对任意的几6N+,不等式2462n成立.

(1)见解析；(2)见解析.

⑴:鬻w

a(b+m)-bia+m}Eia-b)、i、八m(a-b)、八b+mb、cb+m、b

由条件震4=•：a>b771>0,A------>0A---->0A--->-

a+maa(afm)a(a+m)a|a+m)a+maa+ma

（2）:证法一

证明：由（i）所得结论得G・：）•（，；）,（；•：）（牙,

…（三'—）=?!+1

v23，、457%了••,2n•2n+iy

两边开方，命题得证.

证法二

下面用数学归纳法证明不等式成立-

①当"=也寸，左边W，右边一②因为：>、2所以不等式成立.

②假设当n=k时不等式成立，即三：三J>+1成立.

―♦4b—Axk

则当"=k+1时,左边：?•：•・7^7

I2k+3l（2k+3）:|4（k+1）=+4（k+1）+1I1-,---------------

>倔钉•赤/荻E=<--------4（fcTI）-----------=1+D+1+亚包>1+D+1

所以当“=k+l时，不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立一

11.已知数列｛4J是等差数列，4=14+与+...+%=145

⑴求数列｛"｝的通项公式先

（2）设数列｛%1的通项“一小%）（其中a>。且a丰1）记％是数列｛%｝的前九项和，试比较S屿

1

寸。9也+i的大小，并证明你的结论.

⑴bn=3n-2；⑵当a>l时，+当0<a<i时，Sn<§b%bn+1,证明见解析.

【解析】

(1)设数列｛及｝的公差为d

h=T伍=]

,mA10(10-1).,

10力।+-------a=145[a=3

由题意得।2,・二环=3?!—2.

+

(2)证明：由bn=3n-2知S«=logfl(l+l)4-logXl^)+.-.+logd(l-7^T)

=1。改[(1+1)(吒)…(1+六)]

而^log^^l=loga%,3n+L于是,比校Sn与?Og的大小

=比校(1+ixiE)…。七2与师。的大小,

取n=l,有(1+1>丁5>VI=V3-1+1

取n=2,有(1+1)(1£)>巡>V7=V3x2+1

推测(1+1)(14)-(1^-：)>WTTO

43"-—

①当片1时，已验证C式成立，

②假设片网柜i)fl寸c式成立，即(i+ixi4…(1仔)>伽彳I

则当《=杆1时，

(1+1)(1+1)-(1+急)(1+3二—2)>+占)

3k+23,------

3k+2_____、,_____2

•••(^-―V3,fc+1)3-(V3FP4)3

•JK十x

(3k+2)3-(3k+4)(3k+l)29k+4V3FP1____不________________________

2>°二十——(3k+2)>\/3k+4=V3(fc+1)+1

(3k+1)2(3k+1)oK-rJL

从而a+D(i+；>《+1_1

3次一2)。飞"-1.)>V3(fc+1)+1

即当z?=A+l时、(*)式成立

1

由①②知，(*)式对任意正整数〃都成立.于是，当a>l时,名>3log也+1,当0<a<l时,

1

S)<31oga姐.

12.已知数列｛册｝满足'一2,"2(n6N*)

2(n+l)an+1

(1)计算。2,%,O4,根据计算结果，猜想品的表达式;

(2)用数学归纳法证明你猜想的结论.

(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

⑴当"时，的=氤=:

当"=30寸，七=湛、7=:；

OC12十工工一

当7?=40寸>=a，=―,

47

aa3+i20

由此猜想册=Gie旷);

(2)下面用数学归纳法证明。"=-f-(ne.V),

①当”=IB寸，显然成立，

②假设当n=k(k>IN寸猜想成立，即以=总

Qk1

由题意得k+12(〃+1)%+1(k+D(〃+2),.•.当n=k+l时猜想也成立;

1

an--------(n€N")

由①和②，可知猜想成立，即»(«+!).

_1

2

13.已知数列｛%｝的前兀项和为S%且满足“】一2Sn=nan(neW)

(1)计算。2,%,«4,根据计算结果，猜想时的表达式：

(2)用数学归纳法证明你猜想的结论.

(D答案见解析：(2)证明见解析.

【解析】

(1)当舞=2B寸,51=A+。二=4。二，

•.。=—a,=-9

-316

当?？=3B寸，Sj=ax+a；+0-=9(is,

--a2=g(fli+fl：)=三，

当?！=4fl寸，54=ax+a；+n；+n4=16a«,

..a&=—(ax+a：+a3)=—,

由此猜想册=而看01€1，)，

<2)下面用数学归纳法证明册=不("e.vo,

①当”=IB寸，显然成立，

②假设当〃=1*寸猜想成立，即“=品，

2

由题意得几+.=A+的+…ak+ak+1=(k+l)a*+i>

,,111k

k(k4-2)ak,.=a.+a7+・・・Q〃=------------1------1---F—------=-----

"112klx22x3k(k4-1)k+1,

1

.*+i=(k+l)(k+2),

.•.当n=k+l时猜想也成立，

a„=-------(nEN)

由①和②，可知猜想成立，即n(n+iy<

14.已知数列&｝满足册+1=尹-初册+1(N€N)且%=3

(1)计算。2、%、。4的值，由此猜想数列｛册｝的通项公式；

(2)用数学归纳法对你的结论进行证明.

(1)4,5,6,%=。+2；⑵证明见解析.

【解析】

⑴a：=4.a?=5«4=6,猜想：册=M+2(??eN*).

(2)①当n=时,5=3,结论成立；

②假设当"=k(k>LkCN«)时，结论成立，即-=k+2,

贝当n=k+1时，=:硫-zkak+1==(k+2);一:k(k+2)+1=k+3=(k+1)+2,

即当“=k+1时，结论也成立，

由①②得，数列｛册｝的通项公式为册=“+2(ne.V).

15.是否存在常数a,b,c,使得等式

-f)+2(〃2-2?)1---^〃(〃2-〃2)=。〃4+加?2+。对一切正整数〃都成立？若存在，求出

a,bc的值；若不存在，说明理由.

见解析.

假设存在4,bC,使得所给等式成立.

1

Cl=-9

a+6+c=0,4

令〃=1,2,3代人等式得｛16。+46+c=3,解得｛6=—工，

4

81a+9b+c=l8八

c=0,

以下用数学归纳法证明等式1(7—F)+2(/—22)+…+〃(〃2-/)=1“4+"/对一切正整数〃都成

立.

①当”=1时，由以上可知等式成立;

②假设当〃=六体2L16N*）时等式成立，

即1（汇-F）+2体2—2"+…+左（好—-白标，

44

当”=左+1时，

1（A-+l）：-f]+2[（A:+l）：-2:]+--+/t（（A-+l）2-V]+（A-+l）[（A-+l）2-（A?+l）2]

=1（标-1）2+2（月一22）+——+无（好一二）+（22+1）+2（2上+1）+―+尢（2无+1）

=l^-l^+（2Ar+l）?'（"+:

442

=？上+1）4-亿+1）2.

44

即〃=k+1时等式成立.

由①②知等式对于一切正整数〃都成立.

点睛：

（1）用数学归纳法证题的步骤：①明确初始值〃。的取值并验证时命题的真假说、不可少）.②“假设〃

且应所）时命题正确”，然后证明当〃二%+1时命题成立，最后得出结论.简言之：两个步骤、

一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

（2）数学归纳法证明的关键点：注意力=2+1呻寸与“”=〃旧寸命题形式的差别，弄清等式（或不等式）左端

应增加的项，明确左端变形的目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.

16.是否存在正整数犯使得对任意正整数。/5）=（2〃+7）-3"+帆都能被36整除？若存在，求出m的最

小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.

见解析

【解析】分析：由题意计算可得f(1)=27+in,/(2)=99+771,/(3)=13x27+?n,/(4)=15x81+m.

猜想最小的正整数"i的值为9,即f(n)=(2n+7).3"+9.

用数学归纳法讨论可知”=1成立，假设"=k时成立，可证得"=k+1时成立，即可证得猜想成立.

详解：由f(n)=(2n+7)-3n+m,得f(1)=27+,/(2)=99+m,

Z(3)=13x27+m,/(4)=15x81+m要使得f(n)=(2n+7)-3"+m对”=L2,3,箱!能被36整除，最

小的正整数?n的值为9,

由此猜想最小的正整数的值为9,即f(n)=(2n+7).3口+9.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=1B寸，显然成立.

(2)假设n=k时，f(k)能被36整除，即f(k)=(2k+7).3J9能被36整除

当n=k+1时，[2(k+1)+7]•3k+1+9=3[(2k+7)•3*+9]+18(3^-1),

由于3»2-1是2的倍数，故18(3"7-1)能被36整除.

这就是说，当，=k+1时，/(")也能被36整除.

由⑴⑵可知对一切正整数“都有/(”)=(2n+7)-3"+9能被36整除，m的最小值为9.

11,

厂--------an+1=---Fan,nEN.

17.已知正项数列｛%>｝中，％=42-1且时+1%

(1)分别计算出。2户344的值，然后猜想数列｛%｝的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

=

(1)«2A/5-y/2,a3=2-^,a4=A/5-2；an=Jn+1_0;(2)见解析.

11不

---a2-----F%=2、/2.疔、2_。

(1)令〃=2彳导。2ai化、简得(&+〜？)=3,

解得=\3-<2或a2=-y/3-y/2,a2>0,」•=«3-迎.

令n=3得『-a3=f-+a:=2、3化简得(a?+v")。=4,

解得a?=2—v6或a?=-2—\3.va3>0,••a3=2—串.

令”=4得二-a=T-+a,=4,化简得((13+2)二=5,

a$4I

解得Q=、5-2或a&=—V5—2.vn4>0,：.n4=v15-2.

猜想an=\fn+l-v,n.(*).

①当"=ifl寸，4=丫2-1=V2-vT,<*)式成立；

②假设n=k(k>LkeW)时(♦)式成立，即”=v'FTI-vT,

那么当7?=k+1时，5+_=；+2=v'k+1+v'k+vTc+1—vk=2vk+1.

化简得(a；r+i+v'k+1),=k+2,-(ik+i>0,"+工=v'/c+2—7k+L

所以当“=k+1时，(*)式也成立.

综上：由①②得当ncV时，an=、6E-、位

1

18.数列｛%)中，n(n+l),前兀项的和记为$n.

(1)求邑之品的值，并猜想Sn的表达式；

(2)请用数学归纳法证明你的猜想.

(1)见解析；(2)见解析

1123

，一二~上1、S[=/==$2=<J|+<l2=Sj+<?2=~Sj=S?+<Jj=~

(1)V双"+1),.•.1F2,2』F123,92F4.・.猜想

S=_5_

"n+1.

s==L

(2)证明：①当力=i时，]一’-5,猜想成立；

②假设当”■上时，猜想成立，即:“I；

k1a+i)2_k+i(无+i)

$**1=5*+*=

--

当力・4+I时,1+1(Jfr+lXk+2)―(Jt+lX*+2)*+2fr+l)+l

n

.•.*,*+1时猜想成立.♦.由①、②得猜想”n+1得证.

n2+n+11*

已知数列｛册｝满足%=1,an+1—-----a,„+—,nEN.

2

19.n+n2〃

（1）证明：当几之2时，an>2（H6/V*）.

1111

4+2---

（2）证明：>22365+1）2n(neN")；

43

⑶证明％（适*Te为自然常数

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】（1）用数学归纳法证明；（2）由明+工=三箸/+M+京石心+卜由此可得可得

az-aL.a.-a2,-.an+L-an,将以上各式两边分别相加可得所求；（3）由题意得

即+2+IS?;:-@+1)+(%23),故得1+-工1+高+品，两边取对数然后放缩可得

+1

E曲‘WE”+总?+念）〈下工一与，然后利用累加法可得In（an+l）-ln（a3+1）<：+，<：,于

Uf'十'、n十n9‘n十n.3ts一

是得到册+1<（«3+l）v,e==v'E,从而得到结论.

（1）（用数学归纳法证明）

以2=—4]+—=222

①当然=2时，22,

所以结论成立；

②假设当n=k（k—N*）时结论成立，即622

则当/=k+1时

/+k+l11121c

%=^7^即+乃=%+77^+>22+^+>>2

所以"=归+1时，结论成立.

由①②可知，当xN2(neN*的,%之2成立.

«3+»+1111

=——o-------%■*%H-----------a*H

(2)由题意得/+%2"心+1)2”

11

%+「%=,小/+卞

所以W+D2

1,1

%=-----Oy4---r

所以12F,

。‘-。3=2为+,

1

/+L*

心+1)

~ai=7-^ai+7T^a3+■•+—~~—+TT+TI+"+7r

以上各式两边分别相加可得1223附5+D222,

又勺=1

所

11!。-受

11

4+1=777%H----------4+1+/——J

1-ZN•5«(«+1)------------1-1

以2

=—2+…+_^4+2」

1.22-3«(«+!)2".

«一，+?3+1,«、<2_+1,_

(3)由题意得“*”+.下旷@+】)+亍厂(心司

II

——S1+-5-+-^r

./+]n+n*

•'

,+1-/111、11

In..-Sln(l+-5—+不订)<-i~-+千7

%+1%+〃24+/2

11

ln(4.i+l)-ln(%-Fl)<

由累加法得

11\111

ln(a+1)-ln(a+1)=[(泊)+(泊)+…+()]+(了+丞+…+/)

n3n7?+1

<:+广，

所以in笠

所以席<.，

%+工

故册+1<(%+1)V^=E,

所以品<三、怎-1"为自然常数.

1___________

20.设的>也,对于几21,有%+1=收+2居+1

2

un>?i-

(1)证明：几

n

bn=2(--l),(n=l,2,-)

(2)令，，

1

bb

证明：⑴当12时，n<n+l<^

(II)当4>1时,0<h+1<与

(1)见解析；(2)(I)见解析；(II)见解析.

【解析】(D若册>n则只需证明+工=7(«+2)on+l>J(n+2)(n-^)+l>(n+1)-/

只需证5+2)(n-^)+l>(n+l)=-4+(奈)减立

只需要证5+l)=0i-2)>2??成立，而该不等式在“>30寸恒成立…

故只需要蛤证"=1230寸成立即可，

而当?i=1238寸，a，,a：,均满足该不等式。

综上所得不等式品>“-：成立。

⑵、⑴当［</<1时,

用数学归纳法很明显可证当册<??时，有3<0；

下证：b+i>bn,

只需要证2n+2(窜一1)>2n(^-l),

只需证2(亲一

只需证1-煞<；(1-壬，

只需证1一1((一小龙厂1,

只需证品>n-n(l-«i)(7)n-1-

由(D可知，我们只需要证>篦-想一心龙)3,

只需证2n>(1-a只需证2“>iin2.

当n=L2秘寸该不等式恒成立

当n>30寸，2"=(1+l)n=C0+C,J+C=+C»+•­•>C°+C*+C=+C»=1+n+

+—乎口>小，故该不等式恒成立

综上所得，上述不等式“<bn+1<0成立

(II)、当n>1时，用数学归纳法很明显可证当%>??时，有以>0

下证：%+1<bn

只需证：2"，馈

只需证：2(第T)〈臂一D

只需证：1一案>：(1一'.

只需证：

n-1

只需证：册<n+n(ax-l)(^)....

同理由(2)及数学归纳法，可