函数的奇偶性

函数的奇偶性xyO如何用数学语言表述函数图象关于y轴对称呢？y=f(x)函数图象关于y轴对称.1xyOyxOxO1yy=x2

-xx当x1=1,x2=--1时，f(-1)=f(1)当x1=2,x2=--2时，f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)xyO

y=f(x)A(x0，f(x0))点A关于y轴的对称点A’的坐标是_____________.点A’在函数y=f(x)

的图象上吗？点A’的坐标还可以表示为______________.你发现了什么？(－x0，f(x0))(－x0，f(－x0))一、奇偶性定义那么称是

偶函数如果对于函数的定义域内的任意一个,

都有yxOxyO奇偶性定义那么称是偶函数如果对于函数的定义域内的任意一个,

都有那么称是奇函数如果对于函数的定义域内的任意一个,

都有xyOxyO1-1-2

具有奇偶性的函数，其定义域在数轴上有怎样的特点？函数定义域关于数“0”对称.判断下列函数是否具有奇偶性：二、判断函数奇偶性的方法：

(1)定义域是否关于原点对称？(2)与是否相等?判断下列函数是否为奇函数或偶函数：注意：1、函数的奇偶性分类：①奇函数②偶函数③非奇非偶函数

④既奇又偶函数例1、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0证明：因为f(x)既是奇函数又是偶函数所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)所以f(x)=-f(x)所以2f(x)=0即f(x)=0.这样的函数有多少个呢？注意：1、函数的奇偶性分类：①奇函数②偶函数③非奇非偶函数

④既奇又偶函数2、既奇又偶函数的表达式为：f(x)=0,x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集。既奇又偶函数有无数多个。例2、若If奇函数在原点有定义，

则f(0)=?注意：1、函数的奇偶性分类：①奇函数②偶函数③非奇非偶函数

④既奇又偶函数2、既奇又偶函数的表达式为：f(x)=0,x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集。既奇又偶函数有无数多个。3、If奇函数在原点有定义，则有f(0)=0.例3、判断的奇偶性？注意：1、函数的奇偶性分类：①奇函数②偶函数③非奇非偶函数

④既奇又偶函数2、既奇又偶函数的表达式为：f(x)=0,x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集。既奇又偶函数有无数多个。3、If奇函数在原点有定义，则有f(0)=0.4、{0}是关于原点对称的.如，定义域是{0}，f(x)=0,是既奇又偶函数。《学习的艺术》P19基础练习1，3

对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？若f(－2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数．若f(－2)≠

f(2)，则函数f(x)不是偶函数．错。不满足任意性对。三、奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：

a、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性P19基础练习2知奇偶性，将定义域分为关于原点对称的两部分，知其中一部分上性质和图像，能否推出另一部分上的性质和图像？四、奇偶函数的单调性例4设f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是减函数，证f(x)在（－∞，0）上是减函数。例5设f(x)是偶函数，而且在[a,b]上是减函数，证f(x)在[-b,-a]上是增函数。奇同偶异P19典型探究例2例1小结1、单调性：定义域某区间，是函数的局部性质奇偶性：整个定义域，是函数的整体性质2、判断奇偶性（1）定义法：

①定义域是否关于原点对称？

②f(x)与±f(-x)的关系？（2）图像法：

（3）性质法：六、作业：P39A组6B组3

用6位数字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。如果用这种方法表示2009年的日期，刚全年中六个数字都不相同的日期的多少天。思考题例3、判断下列函数的奇偶性1、解：当b=0时，f(x)为奇函数，当b0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。2、解：当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数，当a0时，f(x)是偶函数。

例1已知函数y=