一种多自由度空间并联机构的运动特性分析

一种多自由度空间并联机构的运动特性分析

随着研究的深入，纯六度联合布局的不足和弱逐步暴露出来。例如，动平台与姿态空间的强耦合、动态平台对动态场的姿态差、无显式运动学正解、设计和控制相对复杂等。与此同时,少自由度并联机构和串、并联混合型并联机构得到发展和应用。少自由度并联机构具有使用灵活、位置分析简单和控制算法简单等特点。目前已有的少自由度并联机构主要是三自由度机构,例如Delta三自由度移动机构、3-3R球面机构、Tsai三维移动机构和Huang立方角台机构等;四、五自由度的并联机构也比较常见;但二自由度空间并联机构在文献中没有出现。随着自由度的减少,少自由度并联机构反而比六自由度并联机构具有更复杂的运动特性,特别是动平台的移动受到约束后会表现出很多特殊的性质。另外,空间机构的复杂性使得少自由度并联机构的自由度计算变得非常困难,甚至对一些现有机构计算都难以得到正确结果,判断自由度性质也变得更加困难。这些都使得少自由度并联机构机型匮乏,特别是非对称机构在文献中很少见。现提出一种非对称两自由度空间并联机构,用螺旋理论分析了其自由度,并讨论了该机构的运动特性。1支3定、动平台结构如图1所示,少自由度空间并联机构由动、定平台及连接两平台的三分支组成。其中三分支为非对称结构,分支1用一长度为k的定长杆和一万向节连接动、定平台;分支2为TPT结构,由一移动副和两万向节串联而成;分支3为SPT(由定平台到动平台)结构,由一球铰、一移动副和一万向节串联而成。其中T为万向节;P为移动副;S为球副。分支2,3与定、动平台的交点分别在以分支1与定、动平台的交点为圆心的圆周上(定平台的半径为a;动平台的半径为b),并且在定平台及动平台上分支2,3与定、动平台的交点与分支1与定、动平台的交点连线相互垂直。坐标系O-XYZ固连在分支2下端(靠近定平台)的万向节中心,如图1中所示X,Y轴分别沿万向节的两轴线方向。分支1的定长杆垂直于定平台;分支1的万向节的一转轴与分支2上端的万向节的一转轴在XOZ面上的同一直线上;分支1的万向节的另一转轴与分支3的万向节的一转轴在YOZ面的同一直线上。2计算与固定型行为的关系2.1用旋转副分析定平台旋量的plǜcker坐标为(S,S0),写成纯量形式为(L,M,N;P,Q,R)。原级矢量S为空间一矢量,次级矢量S0为S的线矩,S0=r×S,其中r是由原点到空间矢量S上任一点的矢径;L,M,N为S的方向数,P,Q,R为S对原点的线矩在X,Y,Z轴上的分量。当S≠0,S·S0≠0时,旋量(S,S0)为一螺旋;当S≠0,S·S0=0时,旋量(S,S0)退化为一线矢量,在空间有大小、方向和位置概念;当S=0,S0≠0时,旋量(S,S0)为一偶量,其在空间只有方向和大小而无位置概念;当S=0,S0=0时,旋量(S,S0)为一零旋量。由于含有单自由度的运动副数大于或等于6的分支并不约束空间并联机构的动平台,当用螺旋理论分析空间并联机构时不必对这样的分支进行分析。因此仅需分析分支1和分支2的运动螺旋,分支3因共含有6个单自由度运动副而无需对其进行分析。分析该空间并联机构的运动时,可将万向节视为两个轴线相互垂直的转动副。这样分支1相当于有2个运动副都为转动副;分支2相当于有5个运动副(4个转动副和1个移动副);由于分支3在其无输入时对定平台不产生约束,故可不考虑其对定平台运动的影响。图1中,$ij代表第i分支的第j个运动副的方向矢量,为线矢量。由并联机构的结构可知$11,$21,$23,$24都在XOZ面上,且$11与$24共线;$12、$25与Y轴平行,$22在Y轴上。分支1有2个转动副且轴线相互垂直,并且两轴线都与Z轴垂直,可得分支1的2转动副在坐标系OXYZ中的运动螺旋为:$11=(S11,r11×S11)=(1,0,0;0,k,0)$12=(S12,r12×S12)=(0,1,0;0,0,-k)分支2有4个转动副和1个移动副,这5个运动副在坐标系OXYZ中的运动螺旋为:$21=(S21,r21×S21)=(1,0,0;0,0,0)$22=(S22,r22×S22)=(0,1,0;0,0,0)$23=(S23,r23×S23)=(0,0,0;α,0,β)$24=(S24,r24×S24)=(β,0,-α;0,1,0)$25=(S25,r25×S25)=(0,1,0;-β,0,α)式中:α,β——移动副$23的方向余弦;α——矢量与X轴夹角的余弦;β——矢量与Z轴夹角的余弦,因为移动副只能在XOZ面上,所以与Y轴夹角的余弦值为零,显然有α2+β2=1;Sij——螺旋轴线的方向矢量;rij——原点O点指到相应轴线上一点的矢量。前4个很容易写出,因为$25平行于Y轴,设$25=(0,1,0,D,E,F),又因$25过点(α,0,β),所以有S0=r25×S25=(-β,0,α),从而求得$25=(0,1,0;-β,0,α)。2.2反螺旋系的特点反螺旋的一个重要意义是它表示了物体所受到的约束和约束力,即物体不存在对应此反螺旋力的螺旋运动。当反螺旋为力偶时,仅约束掉对应的转动;当反螺旋是力时,不仅完全约束了对应的移动,同时保留的转动也受到一定的约束;当反螺旋是力螺旋时,不仅限制了同轴的螺旋运动,对空间任意方向的转动及螺旋运动都有一定程度的约束。分析物体在三维空间运动时,就可通过求取物体上的反螺旋系来判断物体受到的约束数、物体的自由度数以及解出物体可能实现和被约束掉的螺旋运动。当两螺旋$1,$2的互易积为零,即$1。$2=0(符号。表示做互易积)时,则$1,$2互为反螺旋,$1是$2的反螺旋,$2也是$1的反螺旋。对应螺旋系,若存在$r满足方程组:$i。$r=0i=1,2,…,n(1)则$r就是此螺旋系的反螺旋。若螺旋以plücker坐标表示:$1=(Li,Mi,Ni,Pi,Qi,Ri)$r=(Lr,Mr,Nr,Pr,Qr,Rr)则式(1)可表示为:LiPr+MiQr+NiRr+PiLr+QiMr+RiNr=0i=1,2,…,n(2)由于含有单自由度的运动副数大于或等于6的分支并不约束并联机构的动平台,当用反螺旋分析并联机构时不必对此类分支进行分析,所以式(1),(2)中的i≤5。对于分支1,齐次线性方程的秩是2,最大线性无关解数目是4,即该螺旋系有4个线性无关的反螺旋,由式(2)可解得4个反螺旋,也可由直接观察得到:$r11=(1,0,0;0,0,0)$r12=(0,1,0;-k,0,0)$r13=(0,0,1;0,k,0)$r14=(0,0,0;0,0,1)式中:$r11,$r12,$r13——线矢量;$r14——一偶量。对于分支2,齐次线性方程组的秩为5,最大线性无关解的数目为1,也就是只有1个反螺旋与之相逆。设此反螺旋为$r2=(a,b,c;d,e,f),由式(2)解得:$r2=(0,α,0;0,0,1)当α≠0时,$r2为一线矢量;当α=0,即移动副$23与X轴夹角为90°时,$r2=(0,0,0;0,0,1)退化为一偶量。2.3反螺旋系的构成如前所述,对于作空间运动的物体,反螺旋相当于约束反作用力,可约束掉动平台相应的运动。反螺旋是力偶(0,S)时,沿力偶矢方向的角速度(S,0)被阻止了;反螺旋是过原点的力(S,0)时,被约束了的运动是沿力矢方向的移动运动,表示成偶矢为(0,S);若反螺旋是过空间某点的力矢(S,r×S),r≠0,它所阻止的运动是沿S方向的移动运动vS。该并联机构的反螺旋系包括5个反螺旋$r11,$r12,$r13,$r14和$r2,这5个反螺旋共同约束着动平台。各反螺旋及其所约束的运动如表1所示。由表1可知,当α=0时,$r14与$r2都约束了绕Z轴的转动,存在一个虚约束;当α≠0时,$r12与$r2都约束了动平台沿平行于Y轴的移动,此时也存在一个虚约束。所以,此空间并联机构总是存在一虚约束。分支3有6个自由度,有6个运动螺旋,所以分支3的反螺旋为(0,0,0;0,0,0)。由以上分析可知不存在与所有运动螺旋都相逆的反螺旋,此并联机构不存在公共约束。2.4反螺旋局部约束动平台经过3个分支连接到定平台上,动平台的自由度即为该并联机构的自由度。计算空间机构的自由度就是计算动平台的自由度。一般的空间机构自由度计算公式有KutzbachGrubler公式:式中:n——机构总的构件数;λ——该机构存在的公共约束数;g——总的运动副数;fi——第i个运动副的相对自由度数。在用式(3)计算机构的自由度时,还应按常规方法考虑机构中的复合铰链、虚约束以及局部自由度等问题。图1所示少自由度并联机构中,λ=0,n=6,g=7,Σfi=4×2+2×1+1×3=13,存在一个虚约束。由式(3)可得:M=(6-0)×(8-9-1)+13+1=2又由表1中反螺旋对平台的约束情况可知,在5个反螺旋$r11,$r12,$r13,$r14和$r2的共同约束下,动平台只剩下绕X轴和Y轴转动的2个自由度。5个反螺旋都为线矢量或偶量,其中$r11,$r12,$r13为线矢量;$r14为偶量;当α=0时$r2为偶量;当α≠0时,$r2为线矢量。当反螺旋为力偶时,仅约束掉对应的转动;而当反螺旋是力时,不仅完全约束了对应的移动,同时保留的转动也受到一定的约束。所以此并联机构的绕X轴和Y轴转动的2