北师大数学总复习第6章第1课时不等关系与不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【A级】基础训练1．(2014·吉林联考)已知实数a、b、c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、bA．c≥b＞a B．a＞c≥bC．c＞b＞a D．a＞c＞b解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2∴c≥b（b＋c)－（c－b)＝2a2＋2,∴b＝a2∴b－a＝a2－a＋1＞0，∴b＞a。答案：A2．已知a，b为实数，则“a＞b＞1”是“eq\f（1，a－1）＜eq\f（1,b－1）"的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析:由a＞b＞1⇒a－1＞b－1＞0⇒eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1），又当a＝0，b＝2时，eq\f(1，a－1）＜eq\f(1,b－1）a＞b＞1，故选A。答案：A3．（2014·长春高三联合测试)已知m∈（b，a）且m≠0，eq\f（1，m)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,a），\f（1，b））)，则实数a,b满足（)A．a＞b＞0 B．a＞0＞bC．a＜0＜b D．a＜b＜0解析：由题知b＜a,从而排除选项C，D.若ab＜0,则由eq\f(1,b)＞eq\f(1，a）可得a＜b,不合题意，故选项B不正确．从而知A正确．答案：A4．（2012·高考四川卷）设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b＜1;②若eq\f（1,b)－eq\f（1，a）＝1，则a－b＜1；③若｜eq\r（a）－eq\r(b）｜＝1，则｜a－b｜＜1；④若｜a3－b3｜＝1，则|a－b｜＜1。其中的真命题有________．（写出所有真命题的编号)解析：①中，∵a2－b2＝1，∴a－b＝eq\f（1,a＋b），而a＞0，b＞0,又a2＝b2＋1＞1，∴a＞1，从而eq\f（1，a＋b）＜1，即a－b＜1，∴①正确．②中，取a＝5，b＝eq\f(5,6）,验证知②错误．③中，取a＝4,b＝1，验证知③错误．④中，不妨设a＞b，∵a3－b3＝1,又（a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝1＋3ab(b－a）＜1，故a－b＜1，∴④答案:①④5．已知－eq\f(π,2）≤α＜β≤eq\f(π,2），则eq\f(α＋β,2）的取值范围是________,eq\f（α－β，2)的取值范围是________．解析：∵－eq\f（π，2）≤α＜eq\f（π，2），－eq\f（π,2)＜β≤eq\f（π，2），∴－π＜α＋β＜π。∴－eq\f（π,2)＜eq\f(α＋β，2）＜eq\f（π，2)。∵－eq\f（π，2）≤－β＜eq\f（π，2）,∴－π≤α－β＜π，∵－eq\f（π,2）≤eq\f(α－β,2）＜eq\f（π,2).又∵α－β＜0，∴－eq\f(π，2）≤eq\f（α－β,2)＜0.答案：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,2），\f（π,2））)eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2）,0))6．下列四个不等式：①a＜0＜b;②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a，其中能使eq\f（1,a）＜eq\f（1,b)成立的充分条件有________．解析：eq\f（1,a)＜eq\f(1，b)⇒eq\f(b－a,ab）＜0⇔b－a与ab异号，由题意知①②④能使b－a与ab异号．答案：①②④7．已知a＞2，b＞2，试比较a＋b与ab的大小．解：法一(作差法)：ab－（a＋b）＝(a－1)（b－1)－1,∵a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴(a－1)(b－1)－1＞0。∴ab－(a＋b)＞0。∴ab＞a＋b.法二（作商法):∵eq\f（a＋b,ab）＝eq\f（1，b)＋eq\f（1,a)，且a＞2，b＞2,∴eq\f（1，a)＜eq\f（1，2），eq\f（1,b）＜eq\f(1,2）。∴eq\f（1,b）＋eq\f(1,a)＜eq\f（1，2）＋eq\f(1,2)＝1。∴eq\f（a＋b,ab)＜1.又∵ab＞4＞0，∴a＋b＜ab。8．一学生计划使用不超过20元的钱为自己购买学习用具．根据需要，单价为4元的圆球笔至少需要购买2支，单价为2元的笔记本至少需要购买3本．写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买圆珠笔和笔记本的数量分别为x支,y本．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋2y≤20，，x≥2,,y≥3，，x，y∈N＋，））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤10，,x≥2，，y≥3,，x,y∈N＋。))【B级】能力提升1．（2013·高考北京卷)设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．eq\f(1,a）＜eq\f(1，b)C．a2＞b2 D．a3＞b3解析：利用作差比较法或取特殊值排除法．A项，c≤0时,由a＞b不能得到ac＞bc，故不正确；B项，当a＞0，b＜0（如a＝1，b＝－2)时，由a＞b不能得到eq\f（1，a）＜eq\f（1，b），故不正确;C项，由a2－b2＝（a＋b)（a－b)及a＞b可知当a＋b＜0时（如a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝－3）均不能得到a2＞b2，故不正确；D项,a3－b3＝（a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(a＋\f(b，2))）2＋\f(3，4）b2)),因为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a＋\f（b,2））)2＋eq\f(3,4）b2＞0，所以可由a＞b知a3－b3＞0，即a3＞b3，故正确．答案：D2．已知a＞b＞0,给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③eq\r（a－b）＞eq\r(a)－eq\r(b)；④a3＋b3＞2a2b。其中一定成立的不等式为(）A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④解析：由a＞b＞0可得a2＞b2,①成立；由a＞b＞0可得a＞b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，∴f(a）＞f（b－1），即2a＞2b－1，②成立，∵a＞b＞0，∴eq\r(a）＞eq\r（b），∴（eq\r(a－b))2－（eq\r（a）－eq\r(b)）2＝2eq\r(ab)－2b＝2eq\r(b)（eq\r(a)－eq\r(b)）＞0，∴eq\r(a－b）＞eq\r(a）－eq\r（b），③成立；若a＝3,b＝2,则a3＋b3＝35，2a2b＝36.答案：A3．（2014·上海杨浦模拟)已知a、b、c是任意的实数,且a＞b,则下列不等式恒成立的为（）A．(a＋c）4＞(b＋c)4 B．ac2＞bc2C．lg｜b＋c|＜lg｜a＋c｜ D．(a＋c）eq\f(1，3)＞(b＋c）eq\f(1，3)解析：当a＞b，a＋c与b＋c为负数时，由0＞a＋c＞b＋c,得0＜－（a＋c)＜－（b＋c)．∴0＜［－(a＋c）]4＜［－（b＋c）]4,即(a＋c)4＜（b＋c)4。∴A不成立；当c＝0时，ac2＝bc2，∴B不成立；当a＞b时，a＋c＞b＋c，但若a＋c、b＋c均为负数时，｜a＋c|＜｜b＋c｜，即lg|a＋c|＜lg|b＋c|.故C不恒成立．故选D。答案:D4．设a＞b＞c＞0，x＝eq\r(a2＋b＋c2），y＝eq\r（b2＋c＋a2），z＝eq\r(c2＋a＋b2)，则x，y,z的大小顺序是________．解析:法一：y2－x2＝2c（a－b)＞0，∴y＞x同理，z＞y，∴z＞y＞x.法二：令a＝3，b＝2，c＝1,则x＝eq\r(18），y＝eq\r（20)，z＝eq\r（26)，故有z＞y＞x.答案：z＞y＞x5．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b解析：设u＝a＋b，v＝a－b，得a＝eq\f（u＋v,2）,b＝eq\f(u－v，2），所以4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v又因为1≤u≤4，－1≤v≤2,所以－3≤3v≤6。故－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b答案:[－2，10］6．给出下列条件:①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中，能推出logbeq\f（1,b)＜logaeq\f(1,b)＜logab成立的条件的序号是________（填所有可能的条件的序号）．解析:∵logbeq\f（1,b)＝－1若1＜a＜b,则eq\f(1，b)＜eq\f（1,a)＜1＜b.∴logaeq\f（1，b）＜logaeq\f(1,a)＝－1,故条件①不可以；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜eq\f（1,b)＜eq\f（1，a），∴logab＞logaeq\f（1,b）＞logaeq\f（1,a）＝－1＝logbeq\f（1，b)，故条件②可以；若0＜a＜1＜b,则0＜eq\f(1,b）＜1，∴logaeq\f（1，b）＞0,logab＜0，条件③不可以．答案：②7．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋eq\f(1，xy）≤eq\f（1，x)＋eq\f（1，y)＋xy；（2）设1＜a≤b≤c,证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f（1,x）＋eq\f（1，y）＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋（xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋（xy)2]－[xy(x＋y）＋1]＝[(xy)2－1］－[xy（x＋y)－（x＋y)］＝(xy＋1）（xy－1）－(x＋y）(xy－1)＝(xy－1）（xy－x－y＋1）＝（xy－1)（x－1)（y－1)．即然x≥1，