2022年山西省晋中市东王乔中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年山西省晋中市东王乔中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab参考答案：B【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞b2，a2＞ab，即为，因此A，C，D正确，而B不正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.

参考答案：D略3.已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣） B．[，）C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣]参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．4.已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C

【知识点】函数与方程B9解析：令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.当时，易知临界位置为过点和，分别求出这两个位置的斜率和，由图可知此时当时，设过点向函数的图象作切线的切点为，则由函数的导数为得解得，得切线的斜率为，而过点的斜率为，由图知此时，【思路点拨】令得，原方程有两个相异的实根等价于两函数与的图象有两个不同的交点.然后对m分类讨论.5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题得几何体的原图为图中的四棱锥A-BCDE,四棱锥A-BCDE的外接球和长方体的外接球重合，因为长方体的外接球直径所以该几何体的外接球的体积为故选D.

6.若实数满足约束条件,则函数的最小值是()A.0

B.4

C.

D.参考答案：【知识点】简单线性规划的应用；简单线性规划．E5

【答案解析】A

解析：作出可行域如图，由，可得A，由，可得B（0，），由，可得C（0，﹣5）．A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN时x+y+1=0．z都取得最小值0．故选A．【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z最小值即可．7.（5分）设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A．2B．4C．6D．8参考答案：D【考点】：三点共线；基本不等式．【专题】：计算题．【分析】：根据题意首先求出和的坐标，再根据两个向量共线的性质得到2a+b=1，然后结合所求的式子的结构特征利用基本不等式求出其最小值．解：由题意可得：=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），所以=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2）．又∵A、B、C三点共线，∴∥，从而（a﹣1）×2﹣1×（﹣b﹣1）=0，∴可得2a+b=1．又∵a＞0，b＞0∴+=（+）?（2a+b）=4+（）≥4+4=8故+的最小值是8．故选D．【点评】：解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线与点共线之间的关系，以及两个向量共线时坐标形式的运算公式，考查基本不等式的应用，此题得到2a+b=1是解题的关键．8.若P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线的方程为(

)A．x+y﹣1=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．2x+y=0 D．x+y﹣3=0参考答案：D【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线AB的方程．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心为（1，0），直线AB的斜率等于=﹣1，由点斜式得到直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0，故选D．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．9.设集合；则(

)

参考答案：选

10.在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．参考答案：A取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF＝易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，

求得R2＝，所以其表面积为故选A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，，若，则的最小值为

．参考答案：12.直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是

．参考答案：﹣2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13.若实数x，y满足，且的最大值为4，则的最小值为

．参考答案：2作出不等式组表示的可行域，如图所示：易知可行域内的点，均有.所以要使最大，只需最大，最大即可，即在点A处取得最大值.，解得.所以有，即..当且仅当时，有最小值2.故答案为：2.

14.函数在区间上取值范围为____________.参考答案：[,]15.函数的图象为Ｃ,如下结论中正确的是

(写出所有正确结论的编号).①图象C关于直线对称;

②图象C关于点对称;③函数)内是增函数;④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C参考答案：①②③略16.已知x，y满足约束条件的最小值是

参考答案：略17.甲从点出发先向东行走了，又向北行走了到达点，乙从点出发向北偏西方向行走了到达点，则两点间的距离为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=x，x∈（0，1）．（1）若f（x）在（0，1）上是单调递增函数，求a的取值范围；（2）当a=﹣2时，f（x）≥f（x0）恒成立，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2x0．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用导数的单调性求其最小值，分离参数法求解．（2）利用单调性证明存在唯一实数根ξ∈（0，1）使得h′（ξ）=0；证明f（x）≥f（x0）恒成立，x0是f（x）的极小值点，由f′（x0）=0，可知0＜x0＜ξ＜1．∴f（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增．f′（）=﹣1+，∴0＜x0＜；不妨设x1＜x2，由题意：f（x1）=f（x2），则：0＜x1＜x0＜x2＜1．要证明：x1+x2＞2x0，即证明：2x0﹣x1＜x2即可．【解答】解：（1）f（x）=x，x∈（0，1）．则f′（x）=2x+a﹣，∵f（x）在（0，1）上是单调递增函数，∴f′（x）≥0恒成立，即2x+a﹣≥0可得：2x﹣≥﹣a恒成立，令g（x）=2x﹣，x∈（0，1）．g′（x）=2﹣sin∵x∈（0，1）是g′（x）＞0，且g′（0）＞0，g′（1）＜0；∴g′（x）在区间（0，1）上存在唯一零点x′；所以g（x）在区间（0，x′）上单调递增，在区间（x′，1）上单调递减，故有，解得：a．所以f（x）在（0，1）上是单调递增函数，a的取值范围是[，+∞）证明：（2）当a=﹣2时，f（x）=，x∈（0，1）．则f′（x）=2x﹣2﹣，令h（x）=2x﹣2﹣，即f′（x）=h（x）；则h′（x）=2﹣sin显然x∈（0，1）上，h′（x）是单调递减．又∵h′（0）=2＞0，h′（1）=2＜0，故存在唯一实数根ξ∈（0，1）使得h′（ξ）=0；所以h（x）在区间（0，ξ）上单调递增，在区间（ξ，1）上单调递减，即f′（x）在区间（0，ξ）上单调递增，在区间（ξ，1）上单调递减；又∵f′（0）=﹣2+＜0，f′（1）=0；∴f′（ξ）＞0；因为f（x）≥f（x0）恒成立，所以x0是f（x）的极小值点，由f′（x0）=0，可知0＜x0＜ξ＜1．∴f（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，1）上单调递增．f′（）=﹣1+，∴0＜x0＜；不妨设x1＜x2，由题意：f（x1）=f（x2），则：0＜x1＜x0＜x2＜1．要证明：x1+x2＞2x0，即证明：2x0﹣x1＜x2，∵x0＜2x0﹣x1＜1，x0＜x2＜1，所以只要证：f（2x0﹣x1）＜f（x2）＜f（x1）；即要证f（2x0﹣x1）＜f（x1）；设F（x）=f（2x0﹣x1）﹣f（x1）；即证F（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，F′（x）=﹣f′（2x0﹣x1）﹣f′（x1）=﹣h（2x0﹣x1）﹣h（x1）令M（x）=﹣h（2x0﹣x1）﹣h（x1）则M′（x）=h′（2x0﹣x1）﹣h′（x1）∵h′（x）在x∈（0，1）上单调递减．x0＜2x0﹣x1＜1，∴h′（2x0﹣x1）﹣h′（x1）＜0即h（x）＜0，x∈（0，1）上单调递减．h（x）＞h（x0）=﹣2f′（x0）=0；可得F′（x）＞0，在x∈（0，x0）上恒成立，则F（x）在x∈（0，x0）上单调递增，F（x）＜F（x0）=0；所以：x1+x2＞2x0．19.已知函数（m为常数,e=2.71828…是自然对数的底数），函数的最小值为1，其中是函数f(x)的导数.（1）求m的值.（2）判断直线y=e是否为曲线f(x)的切线，若是，试求出切点坐标和函数f(x)的单调区间；若不是，请说明理由.参考答案：由，得，∞），=，所以2-m=1，解得m=1.（2）由(1)得，得，令h（x）=，则=，当时，>0，当∞）时，<0,所以h（x）max=h（1）=0.又因为ex>0,所以可得当∞）时，恒成立.故当∞）时，函数单调递减.因为且，所以曲线在（1，e）点出的切线方程为y-e=0（x-1），即y=e.所以直线y=e是曲线f(x)的切线，切点坐标（1，e），且在∞）上单调递减.略20.（14分）在世博会后，昆明世博园作为一个旅游景点吸引四方宾客。按规定旅游收入除上缴的税收外，其余自负盈亏。目前世博园工作人员维持在400人，每天运营成本20万（不含工作人员工资），旅游人数与人均消费额（元）的关系如下：

（1）

若游客在1000人到4000人之间，按人均消费额计算，求当天的旅游收入范围；（2）

要使工作人员平均每人每天的工资不低于50元且维持每天正常运营（不负债），每天的游客应不少于多少人？

参考答案：解析：（1）设当天的旅游收入为L，由得……………（2分）由，知…………（4分），得。即当天的旅游收入是20万到60万。……………（7分）（2）则每天的旅游收入上缴税收后不低于220000元由

（）得；由

（）得；∴………………………（11分）代入可得

∴即每天游客应不少于1540人。……………………（14分）21.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）

.……………3分

所以．……………4分

由，得．故函数的单调递减区间是（）．…