非完整轮式移动机器人自适应扩展控制

非完整轮式移动机器人自适应扩展控制

1非完整系统动力学跟踪问题近年来，非全日制机器的运动控制一直是人们研究的重点。机器人是一个十分复杂多变的多输入多输出的非线性系统,具有强耦合、时变和非线性的动力学特性,其控制十分复杂。因其不满足Brockett必要性条件,使得光滑的状态反馈控制律无能为力。于是研究人员针对具有重要工程意义的非完整移动机器人的跟踪控制提出各种控制方法来克服这一缺陷。根据系统是由运动学模型或动力学模型来描述,可将跟踪控制问题划分为运动学跟踪或者动力学跟踪问题。运动学跟踪问题近年来已被广泛研究。一些学者借助线性控制理论或反馈线性化的方法进行研究,包括基于线性化方法为非完整轮式移动机器人提出了一种局部控制器,基于线性化模型提出了连续的线性局部指数控制器,基于动力学反馈线性化方法和微分平面思想提出带有奇异点的动力学控制器等。后来研究人员为非完整轮式移动机器人设计出一种全局跟踪控制器。而在文献中,则设计了一种基于反步法的针对更加普遍的链式非完整系统的半全局化跟踪控制器。动力学系统跟踪问题在最近几年受到越来越多的关注,原因之一是大多数实际的非完整机械系统都是动力学系统。当闭环系统对性能要求比较高时,其动力学描述是不可忽视的。另外,基于运动学模型的速度控制律不能直接应用于输入为力矩的动力学系统。通常,非完整动力学系统的控制律都是通过对运动学系统控制律的简单积分获得。这种方法需要确切的系统动力学的参数,然而一般这些参数很难获得。考虑到非完整系统在实际中的应用,对其进行建模的困难以及不可避免的控制中的扰动,我们需要研究不确定非完整系统的有效的跟踪控制方法。在文献中,作者研究了带有未知惯性参数的非完整动力学系统,设计出一种自适应控制器。文献中,作者则研究了不确定非完整系统动力学跟踪问题,设计出一种鲁棒H∞控制器。但是以上两种方法仅保证系统的部分状态跟踪上了期望的状态。在文献中,先设计出运动学控制器,使得实际机器人与参考的机器人之间的误差趋于零,然后利用反步法设计出力矩控制器,使得机器人速度收敛到之前运动学控制器所给出的期望速度。文献中,则讨论了带有动力学不确定非完整系统跟踪问题,通过适当的定义误差和Barblat定理提出鲁棒自适应控制器。先设计出运动学控制器,使得实际机器人与参考的机器人之间的误差趋于零,然后利用反步法设计出力矩控制器,使得机器人速度收敛到之前运动学控制器所给出的期望速度。本文中,我们在非完整移动机器人动力学系统存在未知参数的情况下利用反步法为其设计出一种扩展的自适应控制器,有效解决了动力学模型含有不确定参数的非完整轮式移动机器人动力学系统的轨迹跟踪问题,仿真研究证明此方法的有效性。2运动学约束相关的约束条件考虑如下带有m约束的非完整移动机器人Μ(q)¨q+V(q‚˙q)+G(q)=B(q)τ+AΤ(q)λ(1)其中q∈Rn为广义坐标,τ∈Rr为输入向量,λ∈Rm为约束力向量,M(q)∈Rn×n为一个对称正定惯性矩阵,V(q,˙q)∈Rn×n为哥氏力和离心力矩阵,G(q)∈Rn为重力向量,B(q)∈Rn×r是输入变换阵,A(q)∈Rm×n与约束相关的矩阵。以下我们考虑r=n-m的情况。运动学约束可以表示为A(q)˙q=0(2)本文中我们考虑在一个水平面上运动的两驱动轮机器人。见图1。其中轮子半径为r,后轮中心轴的距离为2l。系统的输入为两个力矩T1和T2,分别由后轮的两个电机供给。于是上图中的两轮移动机器人的动力学方程为{¨x=λmsinθ+b1u1cosθ¨y=-λmcosθ+b1u1sinθ¨θ=b2u2(3)˙xsimθ-˙ycosθ=0(4)其中b1=l/(rm),b2=l(rI),m,I分别表示机器人的质量和惯量。u1=T1+T2和u2=T1-T2分别为控制输入。λ为拉格朗日乘数,且λ=-m˙θ(˙xcosθ+˙ysinθ)。假定b1,b2为已知符号的未知常量。因为b1,b2集合机器人的质量、惯量、轮半径和两轮间的距离,所以已知符号的假定是合理的。方程(4)为非完整约束,保证机器人不会滑动。q(t)=[x(t),y(t),θ(t)]T表示的是机器人的轨迹,即位置和方向。假定机器人的位置q=[x,y,θ]T及其导数˙q=[˙x‚˙y‚˙θ]Τ在反馈中都是可获得的。3速度和参考角速度轨迹跟踪使得移动机器人的轨迹q跟踪一个参考轨迹qr。参考轨迹qr(t)=[xr(t),yr(t),θr(t)]T是由参考机器人模型{xr=vrcosθryr=vrsinθrθr=ωr(5)获得。下标r代表参考,vr和ωr分别是参考线速度和参考角速度,假定vr和ωr及其导数都是有界可得的。假设:对于跟踪问题,参考速度vr和θr不会同时趋于零。在这个假设下,跟踪问题就是寻找一个反馈控制律使得limt→∞˜q(t)=0,其中˜q=qr(t)-q(t)为轨迹跟踪误差。我们定义相当的轨迹跟踪误差为e=Τ˜q(6)其中e=[e1‚e2‚e3]Τ‚Τ=(cosθsinθ0-sinθcosθ0001)T为非奇异矩阵,˜q不为零则e不为零。假设θr和θ在[-π,π]之间,我们有跟踪误差e=0,当且仅当q=qr。将非完整约束(4)代入,则轨迹跟踪误差的导数可以表示{e˙1=e2ω-v+vrcose3e˙2=-e1ω+vrsine3e˙3=ωr-ω(7)其中v和ω分别为移动机器人的线速度和角速度,表示为v=x˙cosθ+y˙sinθω=θ˙(8)4跟踪装置的设计4.1vci3的音值轨迹跟踪的目的是设计一个控制器使得跟踪误差e=[e1,e2,e3]T趋于零。而(7)式中并没有出现系统实际输入u1和u2,因此我们暂时考虑控制输入为v和ω,vd和ωd为期望的控制输入,即输入为vd和ωd,则轨迹跟踪的误差渐近收敛到零。定义v˜和ω˜为虚拟的控制误差,则有v=vd+v˜ω=ωd+ω˜(9)选取控制输入vd和ωd为vd(vr,ωr,e1,e3)=vrcose3+k1(vr,ωr)e1ωd(vr,ωr,e1,e3)=ωr+k2vre2+k3(vr,ωr)sine3(10)其中k2为正常量,k1(·)和k3(·)是严格为正的有界连续函数,其一阶导数也是有界的。(10)式中的控制律与参考文献中所提的控制律类似,但其优越性在于只要满足假设,系统将会跟踪任何参考轨迹。利用反步法,得到下面的自适应控制律:u1=α^1(-c1v˜+e1+v˙d)u2=α^2(-c2ω˜+1k2sine3+ω˙d)(11)α^˙1=-β1sign(b1)v˜(-c1v˜+e1+v˙d)α^˙2=-β2sign(b2)ω˜(-c2ω˜+1k2sine3+ω˙d)(12)其中c1,c2,β1,β2为正定常数,α^1和α^2分别是α1=1/b1和α2=1/b2的估计。证明:考虑如下的Lypunov函数V1=12(e12+e22)+1k2(1-cose3)(13)k2为正定常数,因此V1是正定的,仅当e为零时V1为零。对V1取时间的导数,有V˙1=e1(-v+vrcose3)+e2vrsine3+1k2sine3(ωr-ω)(14)将(9)、(10)代入(14),有V˙1=-k1e12-k3k2sin2e3-v˜e1-ω˜1k2sine3(15)综合以上式(3)、(4)、(8),得出v˜,ω˜的一阶导数为v˜˙=v˙-v˙d=x¨cosθθ˙-x˙sinθθ˙+y¨sinθ+y˙cosθθ˙-v˙d=b1u1-v˙dω˜˙=ω˙-ω˙d=θ⋅⋅-w˙d=b2u2-ω˙d(16)考虑如下函数V2=V1+12(v˜2+ω˜2)+|b1|2β1α˜12+|b2|2β1α˜22(17)其中α˜1=α1-α^1=1/b1-α^1α˜2=α2-α^2=1/b2-α^2考虑自适应控制器(11),有V˙2=-k1e12-k3k2sin2e3-c1v˜2-c2ω˜2≤0(18)V2存在下界,V˙2为半负定的,因此V2收敛到一个有限下界。且V2,e1,e2,e3,v˜,ω˜,α˜1和α^2都是有界的。另外,利用式(7),(9),(11)和(16),V2的二阶导数可以表示为V¨2=-2k1e1e2(ωr+k2vre2+k3sine3+ω˜)+2k1e1(k1e1+v˜)-k˙1e12+2k3k2cose3sine3(k2´vre2+k3sine3+ω˜)-k˙3k2sine32-2c1v˜(b1α^1(-c1v˜+e1+v˙d)-v˙d)-2c2ω˜(b2α˜2(c2ω˜+1k2sine3+ω˙d)-ω˙d)(19)根据k1,k2,k3的性质,vr和ωr及其导数都是有界的假设及以上结论可知,V˙2是一直连续的。而V2可微并收敛至某常数值,V2有界,根据Barblat引理,当t→∞时,V˙2→0。这表明e1,e3,v˜,ω˜也收敛到零。为了证明e2也收敛到零,将第一个误差方程表示为e˙1=e2ωr-k1e1(20)e1的二阶导数为e¨1=ω˙re2+ωr(-e1ω˙+vrsine3)-k1(e2ωr-k1e1)-k˙1e1(21)再次利用k1的性质,vr和ωr及其导数都是有界的假设以及(9)(10),有e¨1为有界的。而e1可微并收敛至零,e¨1有界,根据Barblat引理,e˙1,即e2ω2收敛到零。同理,第三个误差方程可表示为e˙3=-k2vre2-k3sine3(22)且其二阶导数也可证明是有界的。而e3可微并收敛至零,e¨3有界,根据Barblat引理,当t→∞时,e˙3→0。因此k2vre2,即vre2收敛到零。根据假设,参考速度vr和θr不会同时趋于零,可知t→∞时,一定有e2→0。于是e1,e2,e3,v˜,ω˜都收敛到零。证明完毕。4.2vr、r3的相关分析以上有若k2为正常数,k1(·)和k3(·)是严格为正的有界连续函数,其一阶导数也是有界的,则系统稳定。为更好的理解控制增益对系统响应的影响,我们将v˜,ω˜等于零时闭环系统的方程表示如下:e˙=(-k1e1+(ωr+k2vre2+k3sine3)e2-(ωr+k2vre2+k3sine3)e1+vrsine3-k2vre2-k3sine3)(23)在e=0处将微分方程(23)线性化,得到e˙=Ae(24)其中有A=(-k1ωr0-ωr0vr0-k2vr-k3)(25)为简化分析过程,假定vr和ωr为常数,系统的闭环极点与下面特征多项式的根相同。(s+2γω0)(s2+2γω0s+ω02)(26)其中γ和ω0为正实值,相应的控制增益为k1=2γω0k2=ω02-ωr2vr2k3=2γω0(27)上式可见当vr趋于零时,增益k2将无限增大。解决这一问题的一个途径是使得闭环极点依赖于vr和ωr,见参考文献,选取ω0=(ωr2+bvr2)1/2。于是控制增益变为k1=2γ(ωr2+bvr2)1/2k2=bk3=2γ(ωr2+bvr2)1/2(28)4.3对于问题的解决设计有以上所设计的控制器可以跟踪任何的参考轨迹,但实际应用中,初始跟踪误差很大或参考轨迹不是连续曲线时,将会出现初始时刻速度跳变问题,或方程(10)中的速度过大使得机器人无法获得的情况。我们采取神经动力学模型来解决这一问题。其典型的表述形式为:dζdt=-Aζ+(B-ζ)S+(t)-(D+ζ)S-(t)(29)则改进后的速度控制器(10)转化为:vd(vr,ωr,e1,e3)=vrcosζe3+k1(vr,ωr)ζe1ωd(vr,ωr,e1,e3)=ωr+k2vrζe2+k3(vr,ωr)sinζe3(30)其中的ζe1,ζe2,ζe3满足如下的神经动力学方程:dζe1dt=-Axζe1+(Bx-ζe1)S+(e1)-(Dx+ζe1)S-(e1)dζe2dt-Ayζe2+(By-ζe2)S+(e2)-(Dy+ζe2)S-(e2)dζe3dt=-Aθζe3+(Bθ-ζe3)S+(e3)-(Dθ+ζe3)S-(e3)(31)5atlp环境下的仿真为了验证本文所设计的控制算法,我们采用二自由度机器人模型在matlab环境下进行仿真。对于任何轨迹的跟踪都可以选择参数c1=c2=100,β1=β2=10和b=250。机器人动力学参数b1,b2未知,但符号已知,这里我们选为b1=b2=0.5。5.1机器人起始点计算首先考虑跟踪轨迹为直线的情况,其参考轨迹表示为xr(t)=0.5t,yr(t)=0.5t,θr(t)=π/4,且参考直线起始于qr(t)=[xr(0),yr(0),θr(0)]T=[0,0,π/4]T。实际的机器人的起始点位于。q(t)=[x(0),y(0),θ(0)]T=