专题强化04　多物体组成的系统机械能守恒问题-2024高一物理必修二期中期末满分专题复习【人教版2019】（原卷版）

专题强化04多物体组成的系统机械能守恒问题[学习目标]1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式(重点)。2.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题(重难点)。3.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法(重难点)。一、多物体组成的系统机械能守恒问题1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示：2．机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。例1如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g)()A.eq\r(gh)B.eq\r(2gh)C.eq\r(3gh)D.eq\r(6gh)答案A解析a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增＝eq\f(1,2)(m＋3m)v2＝2mv2，系统重力势能的减少量Ep减＝3mgh－mgh＝2mgh，由机械能守恒定律得Ek增＝Ep减，所以2mv2＝2mgh，v＝eq\r(gh)，A正确。例2如图所示，质量都是m的物体A和B，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮相连，光滑固定斜面，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，撤去手后，(1)求A物体将要落地时的速度大小；(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，求B物体在斜面上上升的最远点离地面的高度(B未与滑轮相撞)。答案(1)eq\r(gh1－sinθ)(2)eq\f(1,2)h(1＋sinθ)解析(1)两物体组成的系统机械能守恒，得：mgh－mghsinθ＝eq\f(1,2)(m＋m)v2解得：v＝eq\r(gh1－sinθ)(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松弛，对B物体而言，只有重力做功，故B物体的机械能守恒，设其上升的最远点离地面的高度为H，根据机械能守恒定律得：eq\f(1,2)mv2＝mg(H－hsinθ)，解得H＝eq\f(1,2)h(1＋sinθ)。例3如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。答案eq\f(2\r(15gL),5)eq\f(\r(15gL),5)解析把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置为零势能位置，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL，末状态(即杆转到竖直位置)：系统的动能为Ek2＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2，重力势能为Ep2＝mgeq\f(L,2)，由机械能守恒定律得2mgL＝eq\f(1,2)mgL＋eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2，又因为在杆自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB，联立解得vA＝eq\f(2\r(15gL),5)，vB＝eq\f(\r(15gL),5)。二、非质点类物体的机械能守恒问题1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。例4如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)答案eq\r(\f(gL,2))解析方法一取整个铁链为研究对象：设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方eq\f(1,4)L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·eq\f(1,4)L由机械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝mg·eq\f(1,4)L，则v＝eq\r(\f(gL,2))。方法二将铁链看成两段：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置，如图所示。重力势能减少量为ΔEp＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)由机械能守恒得：eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mg·eq\f(L,2)则v＝eq\r(\f(gL,2))。例5如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计管壁对液体的阻力，重力加速度大小为g)()A.eq\r(\f(1,8)gh) B.eq\r(\f(1,6)gh)C.eq\r(\f(1,4)gh) D.eq\r(\f(1,2)gh)答案A解析当两液面高度相等时，相当于右侧最上方eq\f(h,2)长度的液体移到左侧最上方，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得eq\f(1,8)mg·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(\f(1,8)gh)，选项A正确。专题强化训练一、填空题1．如图，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳连接。将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮，不计一切摩擦，重力加速度为g，则刚释放时细线的拉力大小（选填>，=，<）mg，软绳离开滑轮时速度大小为。

2．如图甲所示，物体A、B（均可视为质点）用绕过光滑定滑轮的轻绳连接，A、B初始离水平地面的高度均为H。A的质量为，改变B的质量m，得到A的加速度a随m变化的图线如图乙所示，图中虚线为渐近线，设竖直向上为加速度的正方向，不计空气阻力，取，则，若，由静止同时释放A、B后，则A距离水平地面的最大高度为m。（假设B落地后不反弹，A不与天花板碰撞）3．如图所示，质量为m的物块甲和质量为M的重物乙由跨过定滑轮O的轻绳连接，甲可在竖直杆上自由滑动。当甲从与定滑轮O等高的位置无初速释放，下落至最低点时，轻绳与杆夹角为37°。取sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计一切摩擦，重力加速度大小为g，则物块甲释放时的加速度大小为；物块甲和重物乙的质量关系为。4．如图所示，在倾角＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1m。两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10m/s2。两球滑到地面时的速度，轻杆对B球做的功。5．如图所示，一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和的小球A和B，支架的两直角边长度分别为和L，支架可绕固定轴O点在竖直平面内无摩擦转动，开始时处于水平位置，由静止释放，则：（1）A、B两球的最大速度之比；（2）A球的速度最大时，与竖直方向的夹角为度。6．如图，一根长为L、质量为m的匀质细绳悬于O点，O点离地高H。现从上端O处剪断细绳，以地面为零势能参考面，重力加速度为g，则当绳下端刚着地时的重力势能为，动能为。7．均匀铁链全长为L，质量为m，其中一半平放在光滑水平桌面上，其余悬垂于桌边，如图所示，此时链条的重力势能为，如果由图示位置无初速释放铁链，直到当铁链刚挂直，此时速度大小为（重力加速度为g，桌面高度大于链条长度，取桌面所在平面为零势能面）8．如图，倾角为θ的光滑斜面固定在地面上，长为l，质量为m、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。设斜面顶端为零势能面。用细线将质量也为m的小物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面）。软绳刚好离开斜面时，软绳的重力势能为，此时物块的速度大小为。二、单选题9．如图所示，两个质量相同的小球A、B分别用细线悬在等高的、点。A球的悬线比B球的长，把两球的悬线拉至水平后无初速释放，则经过最低点时（

）A．A球的机械能大于B球的机械能B．A球重力的瞬时功率等于B球重力的瞬时功率C．A球的速度小于B球的速度D．悬线对A球的拉力大于悬线对B球的拉力10．如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球b，则下列判断正确的是（）A．在球b下落过程中，绳子的拉力大小为B．在球b下落过程中，球b的机械能减小3mghC．在球b下落过程中，球a的机械能增加mghD．在球b下落过程中，绳对球a拉力冲量大小为11．质量分别为的物块A和B，系在一根不可伸长的轻绳两端，细绳跨过固定在倾角为的斜面顶端的轻质定滑轮上，此时物体A离地面的高度为，如图所示，斜面光滑且足够长，始终保持静止，取。下列说法正确的是（）A．物体A落地的速度为B．物体A落地的速度为C．物体B沿斜面上滑的最大高度为D．物体B沿斜面上滑的最大高度为12．如图所示，一根长直轻杆两端分别固定小球A和B，A球、B球质量分别为2m、m，两球半径忽略不计，杆的长度为l。将两球套在“L”形的光滑杆上，A球套在水平杆上，B球套在竖直杆上，开始A、B两球在同一竖直线上。轻轻振动小球B，使小球A在水平面上由静止开始向右滑动。当小球B沿墙下滑距离为0.5l时，下列说法正确的是（）A．小球A的速度为B．小球B的速度为C．小球B沿墙下滑0.5l过程中，杆对A做功D．小球B沿墙下滑0.5l过程中，A球增加的动能等于B球减少的重力势能13．如图所示，长度为的轻杆两端固定有质量为的小球和质量为的小球，杆可绕固定的转动轴在竖直平面内转动，两小球到转动轴的距离均为，且两小球均可视为质点。杆位于竖直位置时使小球受到轻微扰动后，在竖直平面内运动，为重力加速度，不计空气阻力和一切摩擦，则小球运动到最低点时对杆的拉力大小为（）

A． B． C． D．三、解答题14．如图所示，有一条质量为m、长为L的均匀绳子，开始时绳子的部分在水平桌面上，而垂于桌外，当作用在绳子上水平向左的力为F时绳子恰好不下滑。（1）若桌面光滑，撤去力F，释放绳子，求当绳子刚离开桌面时的速度大小；（2）若桌面粗糙，增大F把绳子全部拉回桌面上，求F至少要对绳子做多少功。

15．如图甲所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为θ的足够长的固定光滑斜面，AB、BC间用一小段光滑的圆弧管道（图中未画出）相连。一根长为L的均匀柔软链条开始时静止放在ABC上，其一端D到B的距离为L-a，现自由释放链条（结果可以用根式表示，重力加速度为g）。（1）链条的D端滑到B点时，链条的速度是多大？（2）若将此链条放在桌腿足够长的光滑水平桌面上，桌边固定一弧形光滑管道（图中未画出），如图乙所示，且使长度为的部分链条悬在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，求链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小（已知链条未着地，且运动过程中无能量损失）。16．正三角形滑块ABC放置于水平面上，轻杆一端与固定在水平面上的铰链连接，另一端固定一小球，已知铰链连接处到小球球心的距离为L，小球和滑块的质量都为m。如图所示，将小球与滑块的BC斜面接触，在水平面上反复移动滑块，直到轻杆与斜面BC平行，先用水平向右的力作用在滑块上让滑块和小球一起保持静止，然后撤去F由静止释放滑块，重力加速度为g，不计一切摩擦。求：（1）水平力F的大小；（2）当轻杆与水平面的夹角为时，小球的动能为多少；（3）从释放小球到轻杆与水平面的夹角为：的过程中，小球对滑块做功为多少？17．一根质量可不计的刚性的轻杆，左端通过铰链固定于O点，中点及右端分别固定两个小球A和B，两球的质量分别是为m和2m，两球与杆可在竖直平面内绕O点无摩擦地转动。开始时杆与竖直方向的夹角α=60°，由静止释放，已知杆长为l，重力加速度为g，求：（1）小球B运动到最低点时，杆的角速度和杆对球B的拉力；（2）小球从静止释放到最低点的过程中，杆对小球A做的功；（3）要使小球能绕O点做完整的圆周运动，则在图示位置释放时，至少给小球B多大的初动能；（4）要小球能绕O点做完整的圆周运动，且在最高点处A球与杆之间无作用力，则在图示位置至少给小球B多大的初动能。

18．如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知，将杆从水平位置由静止释放。（重力加速度为g）（1）在杆转动到竖直位置时，小球A、B的角速度大小为多少；（2）在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功。

19．如图所示，质量分别为、两个弹性小球A、B，用两根长度相同的轻绳将其悬挂在同一点处，两球之间用轻杆撑开，轻绳和轻杆的长度均为。现对A施加一个水平向左的拉力，使处于竖直状态。重力加速度为。（1）求所受水平向左的拉力大小；（2）若撤去拉力，求到达最低点时的速度大小；（3）从撤去拉力到球到达最低点的过程中，求轻杆对小球做功。

20．如图，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，一轻绳绕过两个光滑的轻质滑轮连接着固定点P和物块B，两滑轮之间的轻绳始终与