2025优化设计一轮第1节 导数的概念及其意义

第四章导数及其应用高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航

备考路径

新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.导数的概念与运算

2.导数的几何意义

第7题第16题第15题第14题

3.导数与函数的单调性

第7题

第6题4.利用导数研究函数的极值与最值

第15题

第10题

第11题5.函数与导数的综合问题第21题第22题第22题第22题第22题第22题第19题第22题优化备考策略考情分析:1.高考对导数的考查主要涉及导数的运算、导数的几何意义以及导数的应用,其中导数运算渗透在导数应用中考查,导数的几何意义多以客观题形式呈现,难度中等及以下,主要与切线问题有关,分值5分左右;导数应用分为一般应用和综合应用,一般应用主要涉及利用导数研究函数的单调性、极值、最值,以客观题或解答题的形式出现,难度中等,综合应用则以解答题呈现,考查利用导数解决不等式证明、不等式恒成立、函数零点、双变量等问题,难度较大,多为压轴题,分值12分左右.2.高考中的导数考题,通常与参数相关,涉及代数推理、数学运算以及数学建模等,渗透了对数学核心素养的考查,对学生的能力要求较高.复习策略:1.明晰重要概念:导数的几何意义、极值、最值等概念是解题的基础,应明晰这些概念.2.注意数学思想方法的合理运用:由于导数考题往往涉及参数问题,所以经常用到分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法,应在复习中强化这些思想方法的理解与运用.3.重视知识交汇与联系:导数与函数、不等式、方程等都有交汇与联系,应注意它们之间的联系,注意对相关知识的理解与运用.4.重视基础知识和基本方法的掌握与运用.5.善于总结导数综合应用中解决问题的通性通法,做到举一反三.第1节导数的概念及其意义课标解读1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想,体会极限思想.2.能通过函数图象直观理解导数的几何意义.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理1.导数的概念(1)平均变化率:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为__________,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为__________.

微思考函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么?提示

函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.导数是用极限来刻画的

(3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即f'(x)=y'=____________________.

f'(x0)

微点拨关于导数概念的理解(1)导数就是函数的瞬时变化率;(2)导数(瞬时变化率)是平均变化率的极值;(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的函数关系式为s(t),则s'(t)就是速度与时间的函数关系式;若物体运动的速度与时间的函数关系式为v(t),则v'(t)就是加速度与时间的函数关系式.2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,即k0=__________.

即在点(x0,f(x0))处

微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的斜率吗?f'(x0)提示

不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线在点P处的切线的斜率.常用结论1.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.2.函数在点P处的切线,则P就是切点,此时切线有且仅有一条;函数过点P的切线,则P不一定是切点,此时切线可能有多条.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.f'(x0)是函数y=f(x)在P(x0,y0)附近的平均变化率.(

)2.f'(x0)越大,则曲线y=f(x)在P(x0,y0)处切线的倾斜角越大.(

)3.曲线的切线与曲线仅有一个公共点.(

)×××题组二

回源教材4.(人教B版选择性必修第三册6.1.3练习B第4题)已知函数f(x)=x2,若直线l经过点(3,5)且与曲线f(x)=x2相切,则直线l的方程为____________________.

2x-y-1=0或10x-y-25=0

题组三

连线高考5.(2020·全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(

)A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1B解析

对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.6.(2019·全国Ⅲ,理6)已知曲线y=aex+xln

x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(

)A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1D解析

∵y'=aex+ln

x+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.研考点精准突破考点一导数的概念A.-3

B.3

C.-4

D.4B(2)(2024·云南昆明模拟)已知某容器的高度为20cm,现在向容器内注入液体,且容器内液体的高度h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为

,当t=t0时,液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s,则当t=t0+1时,液体上升高度的瞬时变化率为(

)A.5cm/s

B.6cm/sC.8cm/s

D.10cm/sC考点二导数的几何意义B(2)(多选题)(2024·福建厦门模拟)已知直线l与曲线f(x)=ln

x+x2相切,则下列直线中可能与l垂直的是(

)AC考点三导数几何意义的应用(多考向探究预测)考向1求曲线的切线方程例3(1)(2024·山东济南模拟)在曲线y=ex-3x的切线中与直线x-2y=0垂直的切线方程为(

)A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0 D.2x-y-1=0C(2)(2021·全国甲,理13)曲线

在点(-1,-3)处的切线方程为__________.5x-y+2=0(3)(2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为__________,__________.[对点训练](2024·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=ln

x+x2,则曲线y=f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为__________.

4x-2y-3=0考向2求参数的值或范围例4(1)(2024·广东惠州模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则实数a=(

)A.-1

B.1

C.2

D.3C(2)(2024·湖南师大附中模拟)已知曲线f(x)=aex+sin

x在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-4=0平行,则实数a的值为__________.

-3解析

因为f(x)=aex+sin

x,所以f'(x)=aex+cos

x,则f'(0)=a+1,则a+1=-2,解得a=-3.(3)(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______________.

(-∞,-4)∪(0,+∞)变式探究在本例(3)中,若条件不变,再增加条件“切点分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2))”,则(x1-1)(x2-1)=__________.

1解析

由例4(3)的解答过程可知,x1,x2是方程

+ax0-a=0的两个实数根,所以x1+x2=-a,x1x2=-a