2025优化设计一轮素能培优(五) 在导数应用中如何构造函数

素能培优(五)在导数应用中如何构造函数高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025近几年高考数学客观题压轴题,多考查以导数为工具解决大小比较、解不等式、求参数范围等问题,这类试题具有结构独特、综合性强、技巧性高等特点,而构造函数是解决这类问题的基本方法,以下介绍在导数应用中构造函数的一些技巧与规律.一、具体函数的构造根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究该函数的性质从而解决问题.A.b>c>a

B.b>a>cC.a>b>c

D.a>c>bD所以f(x)在(e,+∞)内单调递减,又因为e<3<π,所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b,故选D.A.a>b>c

B.a>c>bC.b>a>c

D.c>b>aB二、抽象函数的构造1.利用f(x)与x(xn)构造

例2(2024·福建福州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=2,则f(ex)>

的解集为(

)A.(0,+∞) B.(ln2,+∞)C.(1,+∞) D.(0,1)A[对点训练2](2024·广东佛山质检)已知定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,则f(ex)-ex>0的解集为(

)A.(-∞,ln2) B.(0,ln2)C.(ln2,+∞) D.(ln2,2)AA.(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2)C.(0,2)

D.(-2,0)∪(2,+∞)A解析

令g(x)=x2f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)内的奇函数,即f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)2·f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)=x2f(x)是奇函数.又因为当x>0时,g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增,所以g(x)在(-∞,0)内单调递增.[对点训练3](2024·辽宁大连模拟)f(x)在(0,+∞)内的导函数为f'(x),xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是(

)A.20212f(2022)>20222f(2021)B.20212f(2022)<20222f(2021)C.2021f(2022)>2022f(2021)D.2021f(2022)<2022f(2021)A2.利用f(x)与ex(或enx)构造

D[对点训练4]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是(

)A.e2f(2)>e3f(3)

B.e2f(2)<e3f(3)C.e3f(2)>e2f(3)

D.e3f(2)<e2f(2)A解析

令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3),故选A.例5(2024·安徽六安模拟)已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),对∀x∈R,有f'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2023)-e2x+4042f(2)<0(其中e为自然对数的底数)的解集为(

)A.(-2021,+∞) B.(-2025,+∞)C.(-∞,-2021) D.(-∞,-2025)C[对点训练5](2024·湖北武汉模拟)设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若3f(x)+f'(x)>0,f(1)=1,则不等式f(x)>e3-3x的解集是(

)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,0) D.(0,1)B解析

令g(x)=e3x-3·f(x),则g'(x)=3e3x-3f(x)+e3x-3f'(x)=e3x-3(3f(x)+f'(x)),因为3f(x)+f'(x)>0,所以3e3x-3·f(x)+e3x-3f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)=e3x-3f(x)在R上单调递增,而f(x)>e3-3x可化为e3x-3·f(x)>1,又因为g(1)=e3-3f(1)=