新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积学生用书新人教A版必修第二册

8.3简洁几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习任务1．通过对棱柱、棱锥、棱台的探讨，驾驭棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(逻辑推理)2．会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(数学运算)胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′．假如把建立金字塔的石块凿成均等的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大．问题：(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？(2)假如在金字塔的表面涂上一层疼惜液以防止风化腐蚀，如何计算疼惜液的运用量？学问点1棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的__．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的__．几何体的侧面积与表面积有何区分？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________学问点2棱柱、棱锥、棱台的体积1．一般地，假如棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝____．2．一般地，假如棱锥的底面面积是S，高是h，那么该棱锥的体积V棱锥＝____．3．假如棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝_______________．1．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为________．2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________．类型1棱柱、棱锥、棱台的表面积【例1】已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为32cm[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体绽开求其绽开图的面积进而得表面积．[跟进训练]1．(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A．3+34a2 B．3C．3+32a2 D．6+(2)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积为________．类型2棱柱、棱锥、棱台的体积【例2】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a．截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1，求V1，V2以及V1∶V2．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]在本例条件不变的状况下，求点A到平面A1BD的距离d．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求几何体体积的常用方法[跟进训练]2．在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3简洁组合体的表面积与体积【例3】现须要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形态是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形态是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应当怎样求，然后再依据公式求出各面的面积，最终再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简洁几何体的体积，然后再相加或相减．[跟进训练]3．若正方体的棱长为2，求以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积和体积．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．486 B．64C．16 D．962．已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为()A．148 B．168C．193 D．883．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________．4．一个正四棱锥的底面边长为32cm，侧棱长为5cm，则它的体积为________cm3，表面积为________cm2．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．如何求空间几何体的表面积？2．求几何体体积的常用方法有哪些？8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积[必备学问·情境导学探新知]学问点1和和思索提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．学问点21．Sh2．13Sh3．13h(S′＋S'课前自主体验1．934[关键实力·合作探究释疑难]例1解：如图所示，画出正三棱台ABC­A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝OO12+OD-O1D12＝322+3-322＝3，所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋跟进训练1．(1)A(2)160[(1)∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a∴S表＝34a2＋3×12×22a2(2)如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56．∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝AC22＋BD22＝∴AB＝8．∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160．]例2解：截面将正方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1­ABD，其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝12×AB×AD＝12a底面ABD上的高为h＝AA1＝a．所以其体积V1＝13Sh＝13×12a2×a＝1正方体的体积V＝a3，所以V2＝V－V1＝a3－16a3＝56a所以V1∶V2＝1∶5．母题探究解：三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝2a，取BD的中点H，连接A1H，则A1H⊥BD，BH＝HD＝12BD＝22所以A1H＝A1B2-BH则△A1BD的面积S2＝12BD·A1H＝12×2a×62a因为VA1-即16a3＝13S2·所以16a3＝13×32a2解得d＝33a，即点A到平面A1BD的距离为33跟进训练2．解：设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B∴VA1-ABC＝13S△ABC·VC-A1B1C1又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73∴VB-＝73Sh－Sh3－4Sh∴三棱锥A1-ABC，B-A1B1C与C-A1B1C1的体积比为1∶2∶4．例3解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8(m)．因为A1B1＝AB＝6(m)，所以正四棱锥P­A1B1C1D1的体积V锥＝13·A1B12·PO1＝13×62×2＝24(m3)，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥跟进训练3．解：所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为22的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝222所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8×12×1×1×sin60°＝23因为以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则该凸多面体的体积为V＝2×13×12×2×[学习效果·课堂评估夯基础]1．B[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．]2．A[棱台的侧面是等腰梯形，高h＝52-8-222＝4,∴一个侧面积S′＝12(2＋8)×4＝20，∴该棱台的表面积为：S＝20×4＋2×23．16[VD1-EDF＝VF-DD1E＝13S△D4．2418＋641[如图，∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为32cm，∴S正方形ABCD＝18cm2．连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝12AC＝12×32×又棱长PC＝5cm，